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高三复习 正弦、余弦定理及解三角形


正弦、余弦定理及解三角形

【考纲要求】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题. 【知识网络】

正弦定理 解三角形 余弦定理 应用

【考点梳理】 要点一、三角形中的边与角之间的关系 约定: ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对应的三边分别为 a 、 b 、 c . 1.边的关系: (1) 两边之和大于第三边: a ? b ? c , a ? c ? b , c ? b ? a ; 两边之差小于第三边: a ? b ? c , a ? c ? b , c ? b ? a ; (2) 勾股定理: ?ABC 中, a ? b ? c ? C ? 90? .
2 2 2

2.角的关系:

?ABC 中, A ? B ? C ? ? ,
(1)互补关系:

A B C ? ? ? = 2 2 2 2

sin( A ? B) ? sin(? ? C ) ? sin C cos( A ? B) ? cos(? ? C ) ? ? cos C tan( A ? B) ? tan(? ? C ) ? ? tan C
(2)互余关系:

sin

A? B ? C C ? sin( ? ) ? cos 2 2 2 2 A? B ? C C cos ? cos( ? ) ? sin 2 2 2 2 A? B ? C C tan ? tan( ? ) ? cot 2 2 2 2

3.直角三角形中的边与角之间的关系 Rt ?ABC 中, C ? 90? (如图) ,有:

sin A ?

a b c , sin B ? , sin C ? 1 ? , c c c
1

b a cos A ? , cos B ? , cos C ? 0 . c c
要点二、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理:在—个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即:

a ? s iA n

b ? sB i n

c

?a ? 2 R sin A ? 2 ?R ( R 为 ?ABC 的外接圆半径) ? ?b ? 2 R sin B C s i n ?c ? 2 R sin C ?

2. 余弦定理:三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角 的余弦的积的两倍。即:

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? 2 ? a ? c2 ? b2 ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? ? ?cos B ? 2ac ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 2 ? ? a ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?
要点诠释: (1)正弦定理适合于任何三角形;每个等式可视为一个方程:知三求一. (2)利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边. (3)利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知三角形的两条边及夹角,求第三条边及其他两个角; ②已知三角形的三条边,求其三个角. (4) 利用余弦定理判断三角形形状: ①勾股定理是余弦定理的特殊情况, a ? b ? c ? C ? 90? ? cos C ? 0 .
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? A ? 90? ,所以 A 为 ②在 ?ABC 中, c ? b ? a ? cos A ? 2bc
2 2 2

锐角; 若 a ? c ? b , a ? b ? c ,同理可得角 B 、 C 为锐角.
2 2 2 2 2 2

当 a ? c ? b , a ? b ? c , c ? b ? a 都成立时, ?ABC 为锐角三角形.
2 2 2 2 2 2 2 2 2

③在 ?ABC 中,若 c ? b ? a ? cos A ?
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 0 ? A ? 90? , 2bc

所以 A 为钝角,则 ?ABC 是钝角三角形. 同理:若 a ? c ? b ,则 ?ABC 是钝角三角形且 B 为钝角;
2 2 2

若 a ? b ? c ,则 ?ABC 是钝角三角形且 C 为钝角.
2 2 2

2

要点三、解斜三角形的类型 1.已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解. 2.已知两边及其一边的对角, 用正弦定理, 有解的情况可分为以下情况, 在 ?ABC 中, 已知 a , b 和角 A 时,解的情况如下:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? b sin A (1)若 A 为锐角时: ? ?b sin A ? a ? b 二解(一锐,一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
如图:

(2)若 A 为直角或钝角时: ?

?a ? b 无解 ?a ? b 一解(锐角)

3.已知三边,用余弦定理有解时,只有一解. 4.已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解. 要点诠释: 1.在利用正弦定理理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进 而求出其他的边和角时,有时可能出现一解、两解或无解情况,应结合图形并根据“三角形 中大边对大角”来判断解的情况,作出正确取舍. 2.在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理 转化为角角关系或边边关系,再用三角变换或代数式的恒等变换(如因式分解、配方等)求 解,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会漏掉一种形状的可能. 要点四、三角形面积公式

1 a ? ha ( ha 表示 a 边上的高) ; 2 1 1 1 2. S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ; 2 2 2
1. S ? 3. S ? 2R sin A sin B sin C ;
2

4. S ? 5. S ?

abc ; 4R p( p ? a)( p ? b)( p ? c). p ? 1 (a ? b ? c ) 2
3

要点五、实际问题中的常用角 1. 仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方 时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角,如图所示:

2.方位角:一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为 0° ~360° . 如图,点 B 的方位角是 ? ? 135 。
0

3. 坡角和坡度 坡面与地平面所成的角度, 叫做坡角; 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者 坡比,常用字母 i 表示。坡比是坡角的正切值。 【典型例题】 类型一、利用正弦、余弦定理解三角形 例 1. 在 ?ABC 中,已知下列条件,解三角形. (1) a ? 10 , b ? 5 2 , A ? 45? ; (2) a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 45? .

举一反三: 【变式 1】在△ABC 中,a= .求角 A,C 和边 c. 3 ,b= 2 ,B=45°

【变式 2】在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于( ).
4

A. 5 C.

2
10 6 3
B.

B.10 D. 5

2

6
)

【变式 3】 在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ? BC ? 1 ,则 BC=( A.

3

7

C. 2

2

D.

23

例 2. 在△ABC 中,已知

tan A a 2 ? ,试判断△ABC 的形状. tan B b 2

举一反三: 【变式 1】在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 【变式 2】在 ?ABC 中,若 b=asinC,c=acosB,试判断 ?ABC 的形状.

类型二、解三角形及其综合应用 例 3. 在△ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 tan B ? 且 c=1。 (1)求 tanA; (2)求△ABC 的面积.

1 1 , tan C ? , 2 3

举一反三: 【变式 1】在 ?ABC 中 a ? 2 , b ? 2 2 , C ? 15? ,求 A , S? ABC .
5

【变式 2】在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

例 4. 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里的两个观测点. 现 位于 A 点北偏东 45°,B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速 度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多少时间? 举一反三: 【变式 1】如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速 直线航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两 船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?



【变式 2】如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在
6

观察站 C 的北偏东 20°,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 ( ) A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km

巩固练习
一、选择题 1.在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则 c=( A.5 2 C. 10 6 3 B.10 2 D.5 6 )

2.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶ 3,则此三角形的最大内角的度数是 ( A.60° C.120° B.90° D.135° )

3.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos

A+cos2B=(
1 A.- 2 C.-1

) B. 1 2

D.1
2 2

4.若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+b) -c =4,且 C=60°,则 ab 的值为( A. 4 3 ) B.8-4 3 D. 2 3
2 2

C.1

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a -b = 3bc,sin C=2 3sin

B,则 A=(
A.30° C.120°

) B.60° D.150°

6.在△ABC 中,D 为边 BC 的中点,AB=2,AC=1,∠BAD=30°,则 AD 的长度为 ( A. 3 C. 5 二、填空题
7

)

B.

3 2

D.2

π 1 7.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a=________. 4 3 8.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,S 是△ABC 的面积, 且 4S=a +b -c ,则角 C=________. 9.已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的 面积为__________. 三、解答题 10.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin A+csin C- 2asin C=bsin
2 2 2

B.
(1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c.

11.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. cos A-2cos C 2c-a 已知 = . cos B b sin C (1)求 的值; sin A 1 (2)若 cos B= , b=2,求△ABC 的面积 S. 4

1 12.已知向量 m=(sin A, )与 n=(3,sin A+ 3cos A)共线,其中 A 是△ABC 的内角. 2 (1)求角 A 的大小; (2)若 BC=2,求△ABC 的面积 S 的最大值,并判断 S 取得最大值时△ABC 的形状.

8


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