9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题


2011 年高考试题数学(理科)
函数与导数
4. (2011 年高考安徽卷理科 3)设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, x ? ? 时,f ( x) ? ?x ? x , f (?) ? 当 则 (A) ?? (B) ?? (C)1 (D)3
?

(A) ?? (B) ?? (C)1 (D)3 【命题意图】本题考查了函数的奇偶性和求值,是容易题. 【解析】∵设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ?x ? x , ∴ f (1) = ? f (?1) = ?[2 ? (?1)2 ? (?1)] =-3,故选 A. 5.(2011 年高考安徽卷理科 10)函数 f ( x ) = axm (1 ? x)n 在区间[0,1]上的图像如图所示,则 m,n 的值可 能是 (A)m=1, n=1 (C)m=2, n=1 图、用图能力,难度较大. 【解析】观察图像已知, a >0, f ( x ) 在(0,1)上先增后减,但在[0, (B)m=1, n=2 (D)m=3, n=1
?

【命题意图】本题考查利用导数判定函数的单调性的有关知识,考查识

1 ]上有增有减且不对称. 2

对于选项 A, f ( x ) = ax(1 ? x) 是二次函数,图像关于直线 x ?

1 对称,不符合题意. 2
2

对于选项 B, f ( x ) = ax(1 ? x) = a( x3 ? 2x2 ? x) , f ?( x ) = a(3x ? 4 x ? 1) ? 3a( x ? )( x ? 1) , f ( x ) 知

1 3

在[0,

1 1 ]是增函数,在[ ,1]是减函数,符合题意,选 B. 3 3 2 3 2 ]上是增函 3

对于选项 C, f ( x ) = ax2 (1 ? x) = a( x2 ? x3 ) , f ?( x ) = a(2 x ? 3x2 ) = ?3a ( x ? ) x ,在[0, 数,不适合;

3 3 4 2 3 对于选项 D, f ( x ) = ax (1 ? x) = a( x ? x ) , f ?( x ) = a(3x ? 4 x ) = ?4ax ( x ? ) ,在[0,
2

3 4

3 ]是增函 4

数,不适合. 【解题指导】排除法解决存在问题和不确定问题很有效

8.(2011 年高考浙江卷理科 1)设函数 f ( x) ? ? (A)-4 或-2 【答案】 B (B)-4 或 2 (C)-2 或 4

?? x, x ? 0,
2 ? x , x ? 0.

若f (? ) ? 4 ,则实数 ? =

(D)-2 或 2

【解析】 :当 a ? 0时,a2 ? 4 ? a ? 2, 当a ? 0时,-a ? 4 ? a ? ?4 ,故选 B 9. (2011 年高考全国新课标卷理科 2)下列函数中,既是偶函数又是区间 (0,??) 上的增函数的是 ( A )

y ? x3

B y ? x ?1

C

y ? ?x 2 ?1

D

y?2

?x

【答案】B 解析:由偶函数可排除 A,再由增函数排除 C,D,故选 B; 点评:此题考查复合函数的奇偶性和单调性,因为函数 y ? x 和y ? ? x 都是偶函数,所以,内层有 它们的就是偶函数,但是,它们在 (0,??) 的单调性相反,再加上外层函数的单调性就可以确定。 10. (2011 年高考全国新课标卷理科 9)由曲线 y ? (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(D)6

10 3

(B)4

(C)

16 3

【答案】C 解 析 : 因 为 ?

?y ? x ?y ? x ? 2

的 解 为 ?

?x ? 4 , 所 以 两 图 像 交 点 为 ( 4,2) , 于 是 面 积 ?y ? 2

S ??

4

0

xdx ? ? ( x ? 2)dx ?
0

4

3 4 16 2 24 1 2 x ? ( x ? 2 x) ? 故选 C 0 3 3 0 2

点评:本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积,就是 要求函数在某个区间内的定积分。 11. 12.

13.

14. (2011 年高考江西卷理科 3)若 f ( x) ?

? ,则 f ( x ) 的定义域为 log ? (? x ??)
?

A. (?

? , ?) ?

B. (? , ?]

? ?

C. (?

? , ??) ?

D. (?, ??)

【答案】A 【解析】要使原函数有意义,只须 log 1 (2 x ?1) ? 0 ,即 0 ? 2 x ? 1 ? 1 ,解得 ?
2

? ? x ? ? ,故选 A. ?

15. (2011 年高考江西卷理科 4)若 f ( x) ? x? ? ? x ? ? ln x ,则 f '( x) ? ? 的解集为 A. (?, ??) 【答案】C

-, ( + ) B. ( ? ? ? ?,?)

C.

(?, ??)

D. (-?, ?)

? ? x? ? ? x ? ? 【解析】因为 f '( x ) ? ? x ? ? ? ? ,原函数的定义域为 (0, ??) ,所以由 f '( x ) ? ? 可得 x x

x2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 C.
16. (2011 年高考湖南卷理科 6)由直线 x ? ? 积为

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面

A.

1 2

B. 1

C.

3 2

D.

3

答案:D
?

解析:由定积分的几何意义和微积分基本定理可知 S= 2

?

3 0

3 cos xdx ? 2 sin x 3 ? 2 ? ( ? 0) ? 3 。 2 0

?

故选 D 评析:本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识. 17. (2011 年高考湖南卷理科 8)设直线 x ? t 与函数 f ?x ? ? x , g ?x ? ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,
2

则当 MN 达到最小时的 t 值为

A. 1

B.

1 2

C.

5 2

D.

2 2

答案:D 解析:将 x ? t 代入 f ?x ? ? x 2 , g ?x ? ? ln x 中,得到点 M , N 的坐标分别为 t ,t 2 , ?t , ln t ? ,从而

? ?

MN ? t 2 ? ln t ?t ? 0?, 对其求导,可知当且仅当 t ?

2 时取到最小。故选 D 2

评析:本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质,以及建立距离函数,用导数法求最值. 18.(2011 年高考广东卷理科 4)设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立 的是( ) B. f ( x ) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x ) |- g(x)是奇函数

A. f ( x ) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x ) | +g(x)是偶函数

【解析】A.设 h( x) ? f ( x)? | g ( x) | ? h(? x) ? f (? x)? | g (? x) |? f ( x)? | ? g ( x) |? f ( x)? | g ( x) |

? h(x) ,所以 h(x) 是偶函数,所以选 A.
19. 20.

? ) 21 . (2011 年 高 考 陕 西 卷 理 科 3) 设 函 数 f ( x)( x? R)满 足 f (? x) ? f ( x), f ( x? 2) f (x, 则 y ? f ( x) 的图像可能是

【答案】B 【解析】 :由 f (? x) ? f ( x), 知 f ( x ) 为偶函数,由 f ( x ? 2) ? f ( x) 知周期为 2。故选 B 22.(2011 年高考陕西卷理科 6)函数 f ( x) ? (A)没有零点 (B)有且仅有一个零点

x ? cos x 在 [0, ??) 内

(C)有且仅有两一个零点(D)有无穷个零点

【答案】B 【解析】 :令 y1 ?

x , y2 ? cos x ,则它们的图像如图故选 B

23.(2011 年高考重庆卷理科 5)下列区间中,函数 f ( x) ? lg(2 ? x) ,在其上为增函数的是 (A) (??,1] (B) ? ?1, ? 3

? ?

4? ?

(C)

3 [0, ) 2

(D) [1, 2)

解析:选 D。用图像法解决,将 y ? lg x 的图像关于 y 轴对称得到 y ? lg ? ?x ? ,再向右平移两个单位, 得到 y ? lg ? ? x ? 2? , 将得到的图像在 x 轴下方的部分翻折上来, 即得到 f ( x) ? lg(2 ? x) 的图像。 由图像,选项中 f ( x ) 是增函数的显然只有 D 24. (2011 年高考四川卷理科 7)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? ( ) ? 1 , f ( x ) 则
x

?

?

1 2

的反函数的图像大致是

答案:A 解析:由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域,原函数的定义域为反函数的值域。 当 x ? 0, 0 ? ( ) ? 1, ? 1 ? y ? 2 ,故选 A
x

1 2

25. (2011 年高考全国卷理科 2)(2)函数 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数为

x2 ( x ? R) (A) y ? 4
(C) y ? 4 x ( x ? R)
2

x2 ( x≥0) (B) y ? 4
(D) y ? 4 x ( x≥0)
2

【思路点拨】先反解用 y 表示 x,注意要求出 y 的取值范围,它是反函数的定义域。

【答案】B 【精讲精析】在函数 y ? 2 x ( x≥0) 中, y ? 0 且反解 x 得 x ?

y2 ,所以 y ? 2 x ( x≥0) 的反函数 4

为y?

x2 ( x ? 0) . 4
?2 x

26. (2011 年高考全国卷理科 8)曲线 y= e 面积为 (A)

+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)1

【答案】A 【解析】 ? y ' ? ?2e?2 x ,? k ? ?2 ,切线方程为 y ? 2 ? ?2 x :

由?

?

y?x

? y ? ?2 x ? 2

2 ? ?x ? 3 ? 得? ?y ? 2 ? 3 ?

则S ?

1 2 1 ? 1? ? . 2 3 3

故选 A

27.(2011 年高考全国卷理科 9)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x(1 ? x) ,则

5 f (? ) = 2
(A) -

1 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

【答案】A 【解析】? f (? ) ? f (?

5 2

5 1 1 1 1 1 ? 2) ? f (? ) ? ? f ( ) ? ?2 ? ( )(1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 2

故选 A

28.(2011 年高考福建卷理科 5) A.1 【答案】C

? 0 (e +2x)dx 等于
2

1

B.e-1

C.e

D.e+1

【解析】由定积分的定义容易求得答案.

29.(2011 年高考福建卷理科 9)对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b ? R,c ? Z),选取 a,b,c 的一组值 计算 f(1)和 f(-1) ,所得出的正确结果一定不可能是 ..... A.4 和 6 【答案】D 30.(2011 年高考上海卷理科 16)下列函数中,既是偶函数,又是在区间 (0, ??) 上单调递减的函数为 ( ) B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2

A. y ? ln 【答案】A

1 | x|

B. y ? x3

C. y ? 2| x|

D. y ? cos x

【解析】由偶函数,排除 B;由减函数,又排除 B、D,故选 A. 二、填空题: 1. 2.(2011 年高考浙江卷理科 11)若函数 f ( x) ? x2 ? x ? a 为偶函数,则实数 a ? 【答案】 0 【解析】 f (?x) ? f ( x),即(-x)2 ? ?x ? a ? x2 ? x ? a , 则 x ? a ? x ? a ,? x ? R,?a ? 0 3. (2011 年高考广东卷理科 12)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在 x ?
3 2



处取得极小值.

【解析】2. f ( x) ? 3x ? 6x ? 3x( x ? 2)
1 2

令f 1 ( x) ? 0得x ? 2或x ? 0, 令f 1 ( x) ? 0 得

0 ? x ? 2 。所以函数的单调递增区间为 (??,0), (2,??) ,减区间为 (0,2) ,所以函数在 x=2 处取得极
小值。 4.(2011 年高考陕西卷理科 11)设 f ( x) ? ? 【答案】1
a 2 3 a 3 【解析】 f ( f (1)) ? f (lg1) ? f (0) ? 0 ? ? 0 3t dt ? t |0 ? a ? 1 ? a ? 1
1 ? 1 ? lg 25) ?100 2 = 4

?lg x, x ? 0 ,若 f ( f (1)) ? 1 ,则 a ? a x ? ? 0 3t 2 dx, x ? 0 ?

5. (2011 年高考四川卷理科 13)计算 (lg

.

答案: ?20 解析: (lg 6. 7.(2011 年高考江苏卷 2)函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________ 【答案】 (?
1 ? 1 1 1 ? lg 25) ?100 2 ? lg ? ? ?20 . 4 100 10

1 , ??) 2 1 , ??) ,由复合函数的单调性知: 2

【解析】考察函数性质,容易题。因为 2 x ? 1 ? 0 ,所以定义域为 (?

函数 f ( x) ? log5 (2 x ? 1) 的单调增区间是 (?

1 , ??) . 2 2 的图象 x

8.(2011 年高考江苏卷 8)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f ( x) ? 交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________ 【答案】4

【解析】考察函数与方程,两点间距离公式以及基本不等式,中档题。设坐标原点的直线方程为

? y ? kx 2k 2k ? y ? kx(k ? 0) ,则由 ? , 2k ) 、 (? , ? 2k ) ,即为 P、Q 两点,所 2 解得交点坐标为 ( k k y? ? x ?
以线段 PQ 长为 2 4. 9. (2011 年高考安徽卷江苏 11)已知实数 a ? 0 , 函数 f ( x) ? ? 则 a 的值为________ 【答案】 ?

2 2 ? 2k ? 2 2 ? 2k ? 4 ,当且仅当 k ? 1 时等号成立,故线段 PQ 长的最小值是 k k

?2 x ? a, x ? 1 , f (1 ? a) ? f (1 ? a) , 若 ?? x ? 2a, x ? 1

1 2 3 2 1 2

【解析】因为 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,所以 x ? 1 是函数 f ( x ) 的对称轴,所以 f ( ) ? f ( ) ,所以 a 的值为

1 ? . 2

?2 x?2 ? , 10.(2011 年高考北京卷理科 13)已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
的实根,则数 k 的取值范围是_______ 【答案】 (0,1) 【解析】画出函数图象与直线 y=k,观察,可得结果,考查了函数与方程、数形结合的数学思想. 11.(2011 年高考上海卷理科 1)函数 f ( x ) ?

1 的反函数为 f ?1 ( x) ? x?2



【答案】

1 ?2 x 1 1 1 ,则 x ? ? 2 ,故 f ?1 ( x) ? ? 2 . x?2 x y

【解析】设 y ?

12. (2011 年高考上海卷理科 13)设 g ( x) 是定义在 R 上, 1 为周期的函数, f ( x) ? x ? g ( x) 在 [3, 4] 以 若 上的值域为 [?2,5] ,则 f ( x ) 在区间 [?10,10] 上的值域为 【答案】 [?15,11] 【解析】本小题考查函数的性质. 三、解答题: 2. 4.(2011 年高考安徽卷理科 16) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 。

ex ,其中 a 为正实数 1 ? ax 2

(Ⅰ)当 a ?

4 时,求 f ( x ) 的极值点; 3

(Ⅱ)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。 【命题意图】 :本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系,求解二次 不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力。

【解析】 ? f ' ( x) ? :

e x (1 ? ax2 ) ? 2e x ax ax 2 ? 1 ? 2ax ? ex (1 ? ax 2 )2 (1 ? ax 2 )2

4 2 8 x ?1? x 4 3 , 由 f ' ( x )? 0得 4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 解 得 (1) 当 a ? 时 , f ' ( x) ? e x 3 4 2 2 3 (1 ? x ) 3
1 3 x1 ? , x2 ? 2 2
由 f ' ( x) ? 0 得 x ? 如下表: x

1 3 1 3 或x ? ,由 f ' ( x) ? 0 得 ? x ? ,当 x 变化时 f ' ( x) 与 f ( x) 相应变化 2 2 2 2

1 (??, ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2


3 2
0 极小值

3 ( , ??) 2
+ ↗

f ' ( x)
f ( x)
所以, x1 ?

1 3 是函数 f ( x ) 的极大值点, x2 ? 是函数 f ( x ) 的极小值点。 2 2

(2) 因为 f ( x ) 为 R 上的单调函数,而 a 为正实数,故 f ( x ) 为 R 上的单调递增函数

? f ' ( x) ? 0 恒成立,即 ax2 ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,因此
? ? 4a2 ? 4a ? 0 ,结合 a ? 0 解得 0 ? a ? 1
【解题指导】 极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号, : 不可盲目下结论。 同时还要注意“极 值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。 某区间(a,b)上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为:
' ' 若函数 f ( x ) 在区间(a,b)上单调递增(递减) ,则 f ( x) ? 0 ( f ( x) ? 0 ) ' ' 若函数 f ( x ) 的导数 f ( x) ? 0 ( f ( x) ? 0 ) ,则函数 f ( x ) 在区间(a,b)上单调递增(递减) ' 若函数 f ( x ) 的导数 f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x ) 在区间(a,b)上为常数函数。

5. (2011 年高考全国新课标卷理科 20)(本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 分析: (1)按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程; (2)把点到直线的距离用动点坐标表示,然 后化简,利用均值不等式求最值。 解: (Ⅰ)设动点 M 的坐标为 M ( x, y) ,则依题意: B( x,?3), A(0,?1),

?MA ? (?x ?1,? y), MB ? (0,?3 ? y), AB ? ( x,?2) , (MA ? MB) ? AB ? 0 由此可得 (? x,?4 ? 2 y)(x,?2) ? 0 ,即曲线 C 的方程为: y ?
1 2 x ?2 4

(Ⅱ)设点 P( x0 , y0 ) 是曲线 C 上任一点,又因为, y ? ?

1 1 x 所以,直线 L 的斜率 k ? x0 ,其直线方程 2 2

2 2 y 0 ? x0 1 2 为: y ? y 0 ? x 0 ( x ? x0 ), 即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 ,所以原点到该直线的距离 d ? , 2 2 x0 ? 4

又因为, y 0 ?

1 2 x0 ? 2 , 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 ?d ? 2 ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
所以,当且仅当 x0 ? 0 时,所求的距离最小为 2. 点评:此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。 要把握每一个环节的关键。 6. (2011 年高考全国新课标卷理科 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

分析: (1)利用导数的概念和性质求字母的值; (2)构造新函数,用导数判定单调性,通过分类讨论 确定参数的取值范围。

解: (Ⅰ)? f ?( x) ?

a(

x ?1 ? f (1) ? 1 ?b ? 1 ? ln x) b ? ? x ? 2 ,由题意知: ? 1 即 ?a 1 2 ( x ? 1) x ? f ?(1) ? ? 2 ? 2 ? b ? ? 2 ? ?

?a ? b ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

ln x 1 ? ,所以, x ?1 x

f ( x) ? (

ln x 1 1 ? )? x ?1 x 1? x2

? (k ? 1)(x 2 ? 1) ? 2 ln x ? ? ? x ? ?

设 h( x) ? 2 ln x ?

(k ? 1)(x 2 ? 1) (k ? 1)(x 2 ? 1) ? 2 x , ( x ? 0) 则, h?( x) ? x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 知,当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,而 h(1) ? 0 x2
1 h( x ) ? 0 1- x2

⑴如果 k ? 0 ,由 h?( x) ?

故,由当 x ? (0,1)时h?( x) ? 0,当x ? (1,??),时h?( x) ? 0 得:

从而,当 x ? 0 时, f ( x) ? (

ln x k ln x k ? ) ? 0, 即 f ( x) ? ? x ?1 x x ?1 x 1 ) 时,? (k ? 1)(x 2 ? 1) ? 2x ? 0, h?( x) ? 0 1? k

⑵如果 k ? (0,1) ,则当, x ? (1,

而 h(1) ? 0 ; h( x) ? 0 得:

1 h( x) ? 0 与题设矛盾; 1- x2 1 h( x ) ? 0 1- x2

⑶如果 k ? 1 ,那么,因为 h?( x) ? 0 而 h(1) ? 0 ,? x ? (1,??) 时,由 h( x) ? 0 得: 与题设矛盾; 综合以上情况可得: k ? ?? ?,0?

点评:本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思 想。要深入理解和把握并进行拓展。

7. (2011 年高考天津卷理科 19)(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 , x ? 0. ( f ( x ) 的图像连续不断) (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ?

1 3 时,证明:存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) ; 8 2 ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3

) (Ⅲ)若存在均属于区间 ?1,3? 的 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1,使 f (?) ? f( ? ,证明

【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知 识,考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法. (Ⅰ)解: f '( x) ?

2a 1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? , x ? (0, ??) ,令 f '( x) ? 0 ,解得 x ? . x x 2a

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
(0,
f '( x) f ( x)

2a ) 2a
+

2a 2a
0 极大值

(

2a , ??) 2a
-

所以 f ( x ) 的单调递增区间是 (0,

2a 2a ) ; f ( x) 的单调递减区间是 ( , ??) . 2a 2a

(Ⅱ)证明: 当 a ?

1 1 2 时, f ( x) ? ln x ? x .由(Ⅰ)知 f ( x ) 在(0,2)内单调递增,在 (2, ??) 内单调递 8 8 3 2 3 2

减.令 g ( x) ? f ( x ) ? f ( ) ,由 f ( x ) 在(0,2)内单调递增,故 f (2) ? f ( ) ,即 g (2) ? 0 ,

取x ?
'

3 3 41 ? 9e2 e ? 2 ,则 g ( x' ) ? ? 0 ,所以存在 x0 ? (2, ??) ,使 f ( x0 ) ? f ( ) . 2 2 32

(Ⅲ) 证明:由 f (? ) ? f ( ? ) 及 (Ⅰ) 的结论知 ? ?

2a ? ? ,从而 f ( x) 在 [? , ? ] 上的最小值为 f (? ) . 2a

又由 ? ? ? ? 1 , ? , ? ?[1,3] ,知 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 .故 ?

? f (2) ? f (? ) ? f (1) ?ln 2 ? 4a ? ?a ,即 ? , ? f (2) ? f ( ? ) ? f (3) ?ln 2 ? 4a ? ln 3 ? 9a

从而

ln 3 ? ln 2 ln 2 ?a? . 5 3

8.(2011 年高考江西卷理科 19) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax 3 2 2 3

(1)若 f ( x ) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围.

(2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [1, 4] 的最小值为 ?

16 ,求 f ( x ) 在该区间上的最大值. 3 2 3

解 析 : 1 ) f ?( x) ? ? x2 ? x ? 2a , 因 为 函 数 f ( x ) 在 ( , ??) 上 存 在 单 调 递 增 区 间 , 所 以 (

2 2 所以不等式 x ? x ? 2a ? 0 解集的右端 f ?( x) ? ? x2 ? x ? 2a ? 0 的解集与集合 ( , ??) 有公共部分, 3
点落在 ( , ??) 内,即

2 3

1 1 ? 1 ? 8a 2 ? ,解得 a ? ? . 9 2 3

( 2 ) 由 f ?( x) ? 2x ? x ? a ? 得 ? 2 0

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a ?x? , 又 0?a?2 , 所 以 2 2

1?

1 a ? 8 1 ? 1 ? 8a 1 ? 17 1 ? 1 ? 8a ? 0 ,1? ? ? 4 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ) 上单调增,在 2 2 2 2

1 40 1 ? 1 ? 8a ( , 4) 上单调减,又 f (1) ? 2a ? , f (4) ? 8a ? , 6 3 2
因为 0 ? a ? 2 ,所以 f (4) ? f (1) ,所以 8a ?

40 16 ? ? ,所以 a ? 1 . 3 3

最大值为 f (

1 ? 1 ? 8a 10 ) ? f (2) ? . 2 3

本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等. 9. 13.(2011 年高考陕西卷理科 19)(本小题满分 12 分)如图,从点 P (0, 0) 作 x 轴的垂线交曲线 y ? e x 1 于点 Q1 (0,1) ,曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P ,再从 P 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次 2 2 重复上述过程得到一系列点: P ,Q1 ; P ,Q2 ;? ; P ,Qn 记 P 1 2 n k 点的坐标为 ( xk ,0) ( k ? 1, 2,?, n ) (Ⅰ)试求 xk 与 xk ?1 的关系( 2 ? k ? n ) (Ⅱ)求 | PQ1 | ? | P Q2 | ??? | P Qn | 1 2 n 【 解 析 】:( Ⅰ ) 设 P ?1 ( xk ?1 ,0) k , 由 y? ? e x 得 Qk ?1 ( xk ?1 , e
xk ?1

)

点处切线方程为

y ? exk?1 ? exk?1 ( x ? xk ?1 ) ,由 y ? 0 得 xk ? xk ?1 ?1 ( 2 ? k ? n )
(Ⅱ)由 x1 ? 0 , xk ? xk ?1 ? ?1 ,得 xk ? ?(k ? 1) 所以 | P Qk |? e k 于
xk

? e?( k ?1) ,

1

| PQ ? PQ ??? P Qn ? ? e?1 ? e? ? ?? e? k ? 1 n
? 1 ? e? n e ? e1?n ? 1 ? e?1 e ?1

|

15.(2011 年高考重庆卷理科 18)(本小题满分 13 分。 (Ⅰ)小题 6 分(Ⅱ)小题 7 分。 ) 设 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? 1的导数 f ? ? x ? 满足 f ?(1) ? 2a, f ?(2) ? ?b, 其中常数 a, b ? R . (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? . 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程。 (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ?(x)e ? x . 求函数 g ? x ? 的极值。 解析: (Ⅰ)因 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? 1,故 f ? ? x ? ? 3x2 ? 2ax ? b , 令 x ? 1 ,得 f ? ?1? ? 3 ? 2a ? b ,由已知 f ? ?1? ? 2a ,解得 b ? ?3

又令 x ? 2 ,得 f ? ? 2? ? 12 ? 4a ? b ,由已知 f ? ? 2? ? ?b ,解得 a ? ?

3 2

因此 f ? x ? ? x ?
3

3 2 5 x ? 3x ? 1 ,从而 f ?1? ? ? 2 2

又 因 为 f ? ?1? ? 2a ? ?3 , 故 曲 线 y ? f ? x ? . 在 点 ?1 ,f

(? 1处 的 切 线 方 程 为 )

? 5? y ? ? ? ? ? ?3 ? x ? 1? ,即 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 2?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ? x ? ? 3 x ? 3 x ? 3 e . ,从而有 g ? ? x ? ? ?3 x ? 9 x e . ,
2 ?x 2 ?x

?

?

?

?

令 g? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 0, x2 ? 3 。 当 x? ? ??,0? 时, g? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? ??,0 ? 为减函数, 当 x ? ? 0,3? 时, g? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0,3? 为增函数, 当 x ? ? 3, ?? ? 时, g? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 3, ?? ? 为减函数, 从而函数 g ? x ? 在 x1 ? 0 处取得极小值 g ? 0? ? ?3 ,在 x2 ? 3 出取得极大值 g ? 3? ? 15e?3 . 16.(2011 年高考四川卷理科 22) (本小题共 l4 分) 已知函数 f(x)=

2 1 x+ , h(x)= 3 2

x.

(I)设函数 F(x)=f(x)一 h(x),求 F(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)设 a∈R,解关于 x 的方程 log4 [ (Ⅲ)试比较 f (100)h(100) ?
100

3 3 f ( x ? 1) ? ]=1og2 h(a-x)一 log2h (4-x); 2 4 1

? h(k ) 与 6 的大小.
k ?1

解析: (1) F ( x) ?

2 1 x? ? x , 3 2

2 1 ?1 F ( x) ? ? x 2 3 2
'

令 F ( x) ? 0 ? x ?
'

9 ; 16

F ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 9 16

9 , 16

F ' ( x) ? 0 ? x ?

所以 x ?

9 1 是其极小值点,极小值为 . 16 8

(2)

3 3 f ( x ? 1) ? ? x ? 1 ; 2 4

log 2 h(a ? x) ? log 2 (4 ? x) ? log 2

a?x 4? x

由 log 4 [

3 3 a?x f ( x ? 1) ? ] ? log 2 h(a ? x) ? log 2 (4 ? x) ? log 2 ( x ? 1) ? log 2 4 2 4? x

x ?1 ?

a?x a?x ? x2 ? 6 x ? a ? 4 ? 0 即 x ? 1 ? ,即 x2 ? 6 x ? 4 ? a ? 0(1 ? x ? 4) , 4? x 4? x

方程可以变为 x2 ? 6 x ? 4 ? ?a(1 ? x ? 4) ,

?a ? x 2 ? 6 x ? 4 ? ? x ? 3? ? 5(1 ? x ? 4) ,
2



?5 ? ?a ? ?4,即4 ? a ? 5时







x2 ? 6

x?4

?在 0 a ?

1上有两个解 x ? 4 ?



x1 ?

6+ 20 ? 4a ? 3+ 5 ? a , x2 ? 3- 5 ? a ; 2
2

当 ?4 ? ?a ? ?1,即 ? a ? 4时 ,方程 x ? 6 x ? 4 ? a ? 0在 ? x ? 4上有一个解 , x ? 3- 5 ? a ; 1 1 当 a ? ?5 时,方程有一个解 x ? 3 ;

即 时, 当 ?a ? ?5或-a ? ?1 a>5或a ? 1 方程无解.
⑶由已知得

? h(k ) ? ? k ,
k ?1 k ?1

100

100

设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? f ? n ? h ? n ? ?

1 ?n ? ?* ? , 6

从而有 a1 ? S1 ? 1. 当 2 ? k ? 100, ak ? S k ? S k ?1 ?

4k ? 3 4k ? 1 k? k ?1 , 6 6

又 ak ? k ?
2

1? ? 4k ? 3? k ? ? 4k ? 1? k ? 1? ? 6?
2

1 ? 4k ? 3? k ? ? 4k ? 1? ? k ? 1? = 6 ? 4k ? 3? k + ? 4k ? 1? k ? 1

?

1 1 ?0 6 ? 4k ? 3? k + ? 4k ? 1? k ? 1

对任意的 2 ? k ? 100, 有 ak ? k , 又因为 a1 ? 1 ? 1 ,所以
100

? ak ? ? k ,
k ?1 k ?1

100

100

故 f ?100 ? h ?100 ? ?

? h(k ) ? 6
k ?1

1

17.(2011 年高考全国卷理科 22)(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... (Ⅰ)设函数 f ( x ) ? ln(1 ? x) ?

2x ,证明:当 x>0 时, f ( x)>0 ; x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次, 设抽得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p ? (

9 19 1 ) ? 2 10 e

【解析】(Ⅰ) f ?( x) ? :

1 2( x ? 2) ? 2 x 1 4 ( x ? 2)2 ? 4(1 ? x) ? ? ? ? 1? x ( x ? 2)2 1 ? x ( x ? 2)2 (1 ? x)( x ? 2)2

x2 ? x>0 ? f ?( x) ? 0则f ( x)在(0,+?)上单调递增, ? (1 ? x)( x ? 2)2

于是 f ( x) ? f (0) 即f ( x) ? ln1 ?

0 ? 0 故 f ( x)>0 0?2 100 ? (k ? 1) 101 ? k ? , k ? 1, 2? 20 则抽得的 20 个号码互 100 100

(Ⅱ)法一:第 k 次抽取时概率为 pk ?

不相同的概率 p ? p1 ? p2 ? p20 ?

101 ? 1 101 ? 2 101 ? 20 ? ?? 100 100 100 99 98 81 99 81 98 82 91 89 90 ? ? ?? ?( )?( ? )? ( ? ) 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 99 81 98 82 91 89 ? ? ? 90 ? ( 100 100 )2 ? ( 100 100 )2 ?( 100 100 )2 2 2 2 100 90 2 90 2 90 2 90 9 19 ?( ) ?( ) ?( ) ?( ) 100 100 100 100 10

由(Ⅰ) ,当 x ? 0, f ( x) ? f (0) ? 0

即有 ln(1 ? x ) ?

2x 9 1 故 19ln ? 19ln(1 ? ) ? 19 x?2 10 10

2(? ?

1 ) 10

1 ?2? 2 10

? ?2

于是 e

19ln

9 10

9 1 9 1 ? e?2 即 ( )19 ? 2 。故 p ? ( )19 ? 2 10 e 10 e ? x ? ?0 x2 ln x1 ? ln x2 ? ? ? ln xn x ? x ? ? ? xn ? ln 1 2 n n

法二: (ln x)?? ? ? ?? ? ?

所以 y ? ln x 是上凸函数,于是

因此 ln p ? ln

100 99 98 81 ? ln ? ln ? ? ? ln 100 100 100 100

81 ? ? 100 99 98 ? 100 ? 100 ? 100 ? ? ? 100 ? 9 19 ?9? ? 19ln ? ? ? 19ln ? ? . 故 p<( ) 10 19 ? 10 ? ? ? ? ?
综上: p<(

9 19 1 ) < 2 10 e



更多相关文章:
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题直线与圆(word....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题直线与圆(word解析版) - 20
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_集合(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_集合(word解析版) - 金太阳
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题 数列(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题 数列(word解析版) - 金太阳
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_三角函数(wor....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_三角函数(word解析版) - 金
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_统计(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_统计(word解析版) 隐藏>
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版)[1] -
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版) - 金太阳
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版)。年高考试题
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版) - 201
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_数列(word解析版) 2 - 金
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_直线与圆(wor....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_直线与圆(word解析版) - 金
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_坐标系与参数....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_坐标系与参数方程(word解析版)
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之数列.doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之数列 - 大智学校是山东最大的一对一辅导
2011年高考数学试题分类汇编 专题集合 理.doc
2011年高考数学试题分类汇编 专题集合 理 - 年高考试题数学(理科) 2011 年高考试题数学(理科)集合 一、选择题: 选择题: ={x|1≤x≤3},则 1)设集合 1.(...
2011年高考数学试题分类汇编 专题统计 理.doc
2011年高考数学试题分类汇编 专题统计 理 隐藏>> 年高考试题数学(理科) 2011 年高考试题数学(理科)统计一、选择题: 选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 7) ...
2011年高考数学试题分类汇编 专题几何证明选讲 理_免费....doc
2011年高考数学试题分类汇编 专题几何证明选讲 理 隐藏>> 年高考试题数学(理科)选修系列: 2011 年高考试题数学(理科)选修系列:几何证明选讲一、选择题: 选择题:...
2011年高考数学试题分类汇编 专题复数 理.doc
2011年高考数学试题分类汇编 专题复数 理 隐藏>> 2011 年高考试题数学(理科)复数一、选择题: 1. (2011 年高考山东卷理科 2)复数 z= 为(A)第一象限 【答案...
2011年高考数学试题分类汇编 专题常用逻辑用语 理.doc
2011年高考数学试题分类汇编 专题常用逻辑用语 理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。年高考试题数学(理科) 2011 年高考试题数学(理科)常用逻辑用语一、选择题: ...
近七年(2011-2017)高考试题新课标Ⅱ卷理科数学分类汇编....doc
近七年(2011-2017)高考试题新课标Ⅱ卷理科数学分类汇编(word版,解析
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_坐标系与参数....doc
2011年高考试题分类汇编数学(理科)之专题_坐标系与参数方程 - 2011 年
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图