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2[1].3等差数列的前n项和公式


高斯( 高斯(Gauss,1777— 1855),德国著名数学 ),德国著名数学 ), 家,他研究的内容涉及 数学的各个领域, 数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之 被誉为“ 一,被誉为“数学王 子”.

等差数列的前n项和 等差数列的前n

德国古代著名数学家高斯10 德国古代著名数学家高斯 岁的时候很快就解决了这个问题: 岁的时候很快就解决了这个问题 : 1+2+3+…+ 100=?你知道高斯 + + + ? 是怎样算出来的吗? 是怎样算出来的吗?

高斯的算法
计算: + + 计算: 1+ 2+ 3 +… + 99 + 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50 50组 个数可以分为50组: 中间的一 第一个数与最后一个数一组; 第一个数与最后一个数一组; 组数是什 首尾 么呢? 么呢 第二个数与倒数第二个数一组; 第二个数与倒数第二个数一组; ? 配对 第三个数与倒数第三个数一组, 第三个数与倒数第三个数一组,…… 相加 法 每组数的和均相等,都等于101 50个 101, 每组数的和均相等,都等于101,50个 101就等于 5050了 就等于5050 101 就等于 5050 了 。 高斯算法将加法问题 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果. 转化为乘法运算,迅速准确得到了结果.

平行四 三角形 边形

形架的的最下面一层放一支铅笔, 若V形架的的最下面一层放一支铅笔,往上每 形架的的最下面一层放一支铅笔 一层都比它下面一层 多放一支, 多放一支,最上面 一层有很多支铅笔, 一层有很多支铅笔, 老师说有n支。问: 老师说有 支 这个V形架上共放 这个 形架上共放 着多少支铅笔? 着多少支铅笔? 问题就是: + + 问题就是: 1+ 2+ 3 +… + (n-1) + n 若用首尾配对相加法,需要分类讨论 若用首尾配对相加法,需要分类讨论.

倒序相加法
计算: 1 +
分析: 分析:这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 列前 项 和.

2

+

3

+ L + (n ? 1) + n ①
2 +1 ②

n + (n-1) + (n-2) +…+

2 × [1 + 2 + 3 + L+ (n ?1) + n] = n × (n +1)
n × (n +1) ∴1 + 2 + 3 + L+ (n ?1) + n = 2

那么,对一般的等差数列,如何求它的 项和呢? 前n项和 项和

倒序相加法
如何才能将 等式的右边 已知等差数列{ 的首项为a 已知等差数列{ an }的首项为 1,项数 化简? 化简?

项为a 求前n项和S 是n,第n项为an,求前n项和Sn . , 项为

Q S n = a1 + a2 + a3 + L + an S n = an + a n ?1 + an ? 2 + L + a1

① ②

∴2Sn = ( a1 + an ) +( a2 + an?1) +( a3 + an?2 ) +L+( an + a1 )

又Qa1 + an = a2 + a n?1= a3 + an?2 = L= an + a1
n(a1 + an ) ∴ 2 Sn = n(a1 + an ) 即Sn = 2

求和公式 等差数列的前n项和的公式: 等差数列的前 项和的公式: 项和的公式 n(a1 + an ) Sn = 2
an = a1 + (n ? 1)d

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n ? 1)d

n(a1 + an ) Sn = 2
n(n ? 1) S n = na1 + d 2

1。对于这两个公式分别有四个未知数,如果 对于这两个公式分别有四个未知数,

已知其中的任何三个可以求另外一个

2。请注意这两个公式的灵活运用

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 项和公式. 列前 n 项和公式

a1 n an

n(a1 + an ) Sn = 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 项和公式. 列前 n 项和公式

a1 n a1 an (n-1)d

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

将图形分割成一个平行四边形和一个三角形. 将图形分割成一个平行四边形和一个三角形

根据下列条件, 例1:根据下列条件,求相应的等差数列 根据下列条件

{an }



(1) a 1 = 5 , a n = 95 , n = 10 ;
∴ S 10

( 2 ) a 1 = 100 , d = ? 2 , n = 50 ;
S 50

10 × ( 5 + 95 ) = = 500 . 2

n(a1 + an ) Sn = 2
n(n ?1) Sn = na1 + d 2

Sn

50 50 ? 1) ( = 50 × 100 + × ( ? 2 ) = 2550 2

( 3 ) a 1 = 14 . 5 , d = 0 . 7 , a n = 32 .
32 ? 14.5 + 1 = 26, ∴ n= 0. 7

S 26

26 × (14 . 5 + 32 ) an = =1604 n5? 1)d a +(. . = 2

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 2000年11月14日教育部下发了《 日教育部下发了 中小学实施“校校通”工程的通知》 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标: 2001年起用10年 年起用10 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 2001年该市用于 校校通”工程的经费为500 年该市用于“ 500万 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 为了保证工程的顺利实施, 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么, 2001年起的未来 50万元 年起的未来10 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 由题意,该市在“ 求什么, 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析: 找关键句; 求什么,如何求; 分析:①找关键句;②校校通” 如何求; 的资金构成等差数列{a , 的资金构成等差数列 n},且a1=500,d=50,n=10. 该市在未来10年内的总投入为 年内的总投入为: 故,该市在未来 年内的总投入为:
10 × (10 ? 1) S10 = 10 × 500 + × 50 = 7250 ( 万元 ) 2



例3 求集合 M = m | m = 7n, n ∈ N + , 且m < 100 的元素个数,并求这些元素的和. 的元素个数,并求这些元素的和

{

}

100 解:Q 7 n < 100 ∴ n < 7
所以集合M中的元素共有 个 所以集合 中的元素共有14个. 中的元素共有

2 = 14 7

将它们从小到大列出, 将它们从小到大列出,得

7 , 2×7, 3×7, 4×7,


L,

14 × 7,
n(a1 + an ) Sn = 2

7,14,21,28,…,98 , , , , , 这个数列是成等差数列, 这个数列是成等差数列,记为 {an }

Q a1 = 7, a14 = 98, n = 14
14 × (7 + 98) ∴ S14 = = 735. 2

共有14个元素 答:集合M共有 个元素,它们的和等于 集合 共有 个元素,它们的和等于735.

例4、已知一个等差数列的前 项的和是 、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是 项的和是1220,由此可以确定 , 项的和是 , 求其前n项和的公式吗? 求其前 项和的公式吗? 项和的公式吗
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 由于 , , 入公式 n(n ? 1) 可得

2 ? ? 10a1 + 45d = 310 于是,a1 = 4 ? ? ?d = 6 20a1 + 190d = 1220 ?

S n = na1 +

d

所以

n(n ? 1) 2 Sn = n × 4 + × 6=3n + n 2

例4、已知一个等差数列的前 项的和是 、已知一个等差数列的前10项的和是 310,前20项的和是 项的和是1220,由此可以确定 , 项的和是 , 求其前n项和的公式吗? 求其前 项和的公式吗? 项和的公式吗
1 0 ( a1 + a1 0 ) 另解: 1 0 = = 3 1 0 ? a1 + a1 0 = 6 2 ① S 2 2 0 ( a1 + a 2 0 ) S 20 = = 1 2 2 0 ? a1 + a 2 0 = 1 2 2 ② 2

两式相减得

( n ? 1) n S n = a1 n + d = 3n 2 + n 2

∴d = 6

a20 ? a10 = 60 ∴10d = 60

a1 = 4

两个等差数列2, , 两个等差数列 ,6, 10,…,190和2,8, , , 和 , , 14,…200,由这两个等差 , 由这两个等差 数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,求 的顺序组成一个新数列 求 这个新数列的各项之和. 这个新数列的各项之和

解法:通项公式分别是an=2+(n-1)·4 bn=2+(n-1)·6 观察:
2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,… 2,8,14,20,26,32,38,77,50,39,43,47,51,…

因此,这两个数列相同项组成一个首项c1=2, 公差 d=12的等差数列{cn} 因为,相同的项不大于190和200中的较小者, 1 所以, cn=2+(n-1)·12≤190 得 n≤16 又 n∈N* 3 故这两个数列中相同的项共有16个。从而这个 16 ×15 新数列的各项之和为

S = 16 × 2 +

2

×12 = 1472

练习1 练习1、计算 提示: 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+ +(2n-1) n2 1+3+5+…+ 法二: 法二: 3)1-2+3-4+5-6+ +(2n-1)-2n -n 2+3-4+5-6+…+ n(
1 ( 2 ) 解:+ 3 + 5 + …+ ( 2n ? 1) = 2 n ? 2n 2 = =n 2 ( 3 ) 解:原式=1 + 3 + 5 + …+ ( 2n ? 1) ? ( 2+4+6+…+2n ) n ?1 + ( 2 n ? 1) ? n ( 2 + 2 n ) ?? 2 = ? = n ? n ( n + 1) = ? n

n ?1 + ( 2 n ? 1) ? ? ?

2

2

练习2.已知等差数列 的前n项和为 练习 已知等差数列{an}的前 项和为 n, 已知等差数列 的前 项和为S 若a4+a5=18,则S8等于(D 等于( ) , A.18 B.36 C.54 D.72

课堂小结

( 1.等差数列前n项和的公式; 两个) 等差数列前n项和的公式; 两个)

n(a1 + an ) Sn = 2

n(n ? 1) S n = na1 + d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— 等差数列前n项和公式的推导方法 —倒序相加法; 倒序相加法; 倒序相加法 3.公式的应用(知三求一) 3.公式的应用(知三求一)。 公式的应用

课后作业
1.教材P52 A组1(3)(4),2,3,4,5,6 2. 在等差数列 n}中, 在等差数列{a 中 (1)已知 2+a5+a12+a15=36,求a16; )已知a 求 (2)已知 6=20, 求S11. )已知a
3.在等差数列 n}中, 在等差数列{a 中 在等差数列 (1)若a1+a2=p,a3+a4=q.求其前 项的和 6; 若 项的和S , .求其前6项的和 (2)若a2+a4=p,a3+a5=q.求其前 项的和 6. 若 项的和S , .求其前6项的和

2.(1)18(2)220 3. (1) 2p+2q (2)3(p+q)/2



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