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2018-2019数学同步导学练人教A版选修2-1全国通用版课件:第一章 常用逻辑用语1.1.2-1.1.3_图文

1.1.2 四种命题 1.1.3 四种命题间的相互关系 1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题. 2.会分析四种命题间的相互关系. 1.四种命题 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论和条件,那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题. 其中一个命题叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆命题为“若q,则p”. 对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的条件的否定和结论的否定,我们把这样的两个命题叫做 互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原 命题的否命题. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的否命题为“若? p ,则 ? q”. 对于两个命题,如果其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命 题的结论的否定和条件的否定,我们把这样的两个命题叫做 互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题,那么另一个叫 做原命题的逆否命题. 也就是说,如果原命题为“若p,则q”,那么它的逆否命题为“若 ? q, 则? p”. 2.四种命题间的相互关系 归纳总结在写四种命题时,首先要把原命题改写成“若p,则q”的形 式,其次一定要记清条件和结论的位置的变化.在写否命题和逆否 命题时,条件和结论要同时否定.另外,在写命题时,为了使句子更通 顺,可适当添加一些词语,但不能改变原来命题的含意. 【做一做1】 命题“若a>b,则a-8>b-8”的逆否命题是 ( A.若a<b,则a-8<b-8 B.若a-8>b-8,则a>b C.若a≤b,则a-8≤b-8 D.若a-8≤b-8,则a≤b 答案:D ) 3.四种命题的真假之间的关系 两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题互为逆 命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 名师点拨可以通过判断一个命题的逆否命题的真假来确定原命 题的真假. 【做一做2】 命题“若a≠0,且b≠0,则ab≠0”的逆否命题 是 ,原命题是 命题.(填“真”或 “假”) 解析:原命题的逆否命题是“若ab=0,则a=0或b=0”.因为逆否命题 显然为真命题,故由互为逆否的命题具有相同的真假性可知,原命 题也为真命题. 答案:若ab=0,则a=0或b=0 真 1.互为逆否的命题的真假性一致 剖析:原命题与它的逆否命题同真假,原命题的逆命题和否命题 互为逆否命题,也具有相同的真假性.因此,对于一些命题的真假判 断(或证明),我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来 判断(或证明). 2.用反证法证明命题的真假 剖析:(1)反证法是常用的数学证明方法之一,适用于下列情况下 的证明题:①证明唯一性、无数个等问题;②命题以否定形式出现 (如不存在,不相交等),并伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没 有……”等指示性词语;③正难则反,即从正面解决不好入手或比较 麻烦,可以从问题的反面入手解决. (2)用反证法证明命题的一般步骤: ①假设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; ②归谬:从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; ③结论:由矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 题型一 题型二 题型三 题型四 判断四种命题的真假 【例1】 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判 断其真假: (1)正偶数不是质数; (2)末位数字是偶数的整数能被2整除. 分析:先将原命题改写成“若p,则q”的形式,再分别写出其逆命题、 否命题、逆否命题.在判断各种形式命题的真假时,要注意利用互 为逆否命题等价的原理. 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)逆命题:若一个正数不是质数,则这个正数是偶数.(假命题) 否命题:若一个正数不是偶数,则这个正数是质数.(假命题) 逆否命题:若一个正数是质数,则这个正数不是偶数.(假命题) (2)逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数.(真命 题) 否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除.(真 命题) 逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶 数.(真命题) 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在写四种命题时,要找出原命题的条件和结论,把结论作为条 件,条件作为结论就得到逆命题;否定条件作为条件,否定结论作为 结论就得到否命题;否命题的逆命题就为原命题的逆否命题.判断 四种命题的真假时,要注意利用其他知识判断命题的真假,需要对 其他知识熟练掌握. 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 写出命题“若四边形的对角互补,则该四边形是 圆的内接四边形”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假. 分析:本题已具备“若p,则q”的形式,因此可直接写出逆命题、否 命题、逆否命题,然后根据命题间的相互关系判断其真假. 解:逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互 补.(真命题) 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边 形.(真命题) 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边形,则这个四边形的对角 不互补.(真命题) 题型一 题型二 题型三 题型四 互为逆否命题真假性等价的应用 【例2】 (一题多解)判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题的真假. 分析:判断这个命题的逆否命题的真假,可先写出它的逆否命题 再判断,也可以利用互为逆否命题的两个命题的等价性来判断. 解法一:原命题的逆否命题为:“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的 不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”. 判断真假如下: 抛物线y=x2+(2a+1)x+a2+2开口向上,对应的方程的判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a≥2,∴4a-7>0,即抛物线与x轴有交点, ∴关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤


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