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二项式定理(1)-特定项的求法
汪静文 二项式定理复习课计划安排两个课时,本课是第一课时,主要复习二项展开式和 通项。

知识与技能
(1)理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展 开式。 (2)会运用展开式的通项公式求展开式的特定项。

过程与方法
在教学中中教给学生怎样记忆数学公式,如何提高记忆的持久性和准确性, 从而优化记忆品质。记忆力是一般数学能力,是其它能力的基础。在解题时树立 由一般到特殊的解决问题的意识。

情感、态度、 情感、态度、价值观
通过对二项式定理的复习,有意识地让学生演练一些试题,使学生体验到成 功,树立学好数学的信心。

教学重点
运用展开式的通项公式求展开式的特定项

教学难点
转化思想的培养

教学方法
讲练结合

学法指导
在例题中培养解题常规方法及思想,通过课堂即时练习强化巩固。 教学过程

一.复习回顾: 复习回顾:
(任务 1)写出二项式定理。

(a + b )n

0 r n = C n a n b 0 + L + C n a n ? r b r + L + C n a 0 b n , (n ∈ N * )所表示的定理,叫做二
n

项式定理,右边的多项式叫做 (a + b ) 的二项式展开式。 1.展开式的特点 (1) 项数 (2) 系数 n+1 项 都是组合数,依次为 C 1 ,C 2 ,C n ,…,C n n n n
n

1)a 的指数 由 n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由 0 n(升幂) 。 3)a 和 b 的指数和为 n。 2.二项展开式的通项: (3)指数的特点
r Tr +1 = C n a n ? r b r

(任务 2)热身练习 按二项式定理展开(1) (1 + x )
n

(2) (1 + 2 x )3
二.经典例题
题型一 求指定项
2 10 ) x (1 )求展 开求展开4项的二项式系数; 例1.已知( x ? ( 2)求展 开求展4项的系数; ( 3)求展 开求展开4项.
分析:第 k+1 项的二项式系数 --第 k+1 项的系数--具体数值的积。 。

解:
3 因为T4 = T3+1 = (?1) 3 C10 ( x ) 7 (

2 3 ) , x 3 所以第4项的二项式系数是C10 = 120.
3 第4项的系数是 - C10 × 8 = ?960.

第4项是 ? 960x 2 . (1)二项式系数与系数的区别. 例题点评:注意:
r (2) Tr +1 = C n a n ? r b r 表示 r+1 项。 1 反馈练习:二项式 ( x x + 4 )n的展开式中第三项系数比第二项系数大 44,求第 4 项的 x 系数.

题型二

求特定项
1 3 x )18 展开开式中的常数. 项。

例 2 (1) 求(9x ?

(2)求 (

x + 1)6 (2 x ? 1)5 的展开式中 x

6

项的系数.。 的项。

解: (1)分析:常数项是含 x 0 的项,即不含 x

k Tk +1 = C18 (?1) k (9 x)18? k ( 3

1 k ) x

= C (?1) 9
k 18 k

18 ? k

1 18? k ? k ?x 2 3

3

3k = 0, 则k = 12. 2 1 12 6 ∴ T13 = T12+1 = C18 ? 9 6 ? 12 = C18 = 18564 3 令18 ?

例题点评: 求二项展开式的某一项,或者求 满足某种条件的项,或者求某种性质 的项,如常数项等,通常要用到二项式的通项求解. (2)分析:本题可以转化为二项式展开的问题,视为两个二项展开式相乘; 解:

( x + 1)

6

的通项是

C ( x)

r 6

6?r

=C x
r 6

6? r 2

(

C5s (2x)5?s (?1)s = C5s (?1)s 25?s x5?s 16? r ? 2 s s r s 5? s 6 5 的通项是 C5 C6 (?1) 2 x 2 x +1) (2x ?1)
(2 x ? 1)5 的通项是

由题意知:r

+ 2 s = 4 (r = 0L 6, s = 0L5)

解得: ? r = 0 所以
2 5 0 6

?r = 2 ?r = 4 ? ? ? = ?s 6 2 ?s = 1 ?s = 0

x

的系数为:

1 2 0 4 C C (?1) 2 23 + C5C6 (?1)2 4 + C5 C6 (?1) 0 25

= ?640

例题点评: 对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算 4 反馈练习:1 + x + x 2 + x 3 )(1 ? x) 7 的展开式中 x 的系数_______。 ( 题型三 求有理项
例3 求( 5 + 3 7 )100 的展开展开式中有多少理项。 .

分析:有理项定义:系数为有理数,次数为整数的项叫做有理项
k 解:由Tk +1 = C100 5 (100? k) 2 7 k 3 知

100 ? k k , 均为为整数, T 为有理数. 2 3 ∴ k为6的倍数, 且0 ≤ k ≤ 100. 即k为0,6,12,? ? ?,96, 展开开式中共17项有理项. n 反馈练习:.已知 ? x + 2 ? 的展开式中第五项是常数, ? ? x? ? (1)求 n; (2)展开式中共有多少有理项?

课时小结

本节课主要学习了如何求取展开式中的特定项, 对于二项展开式运用通项公 式。对于三项展开式转化为二项展开或者运用组合知识讨论解决;遇到 n 不确定 的首先确定 n 。

课后作业
排列组合二项式的试卷

课后反思
准备这节课我主要思考了这样几个问题: (1) 如何上好一节复习课?是采用 “复习回顾——习题——总结” 这样的模式, 还是“习题——知识回顾——总结”这样的模式,在我反复思考及听取几 位老师的意见后, 我决定采用两者结合, 对简单的一些知识点, 采用前者; 对这节课的重点:以二项展开式(或多项展开式)中某一项(或某一项的 系数)的问题我决定采用后者。 (2) 采用什么样的课堂模式?我还是要求学生自主的去探索去发现。 这样也符 合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。 通过本节课的学习, 使同学们对以二项展开式 (或多项展开式) 中某一项 (或 某一项的系数)的问题有了深入的了解,也使自己对自己的一些优缺点有了一定 的了解。细节做的不太到位,提的问题更加具体以及高效,语言有待精炼等,这 些问题在以后的教学中要更加努力去改进。


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