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caolii.net:安徽省六安一中2013届高三年级第一次月考 数学理

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六安一中 2013 届高三年级第一次月考 数学试卷(理科)
时间:120 分钟 分值:150 分
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每一小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数 z 满足 z (2 ? i) ? 1 ? 2i , 则 z ? ( ) A. i B. ? i C. 1 ? i D.1 ? i 2.设全集 U 为实数集 R, M ? ?x || x |? 2?, N ? x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,则图中阴影部分所表示 的集合是( ) B. ?x | ?2 ? x ? 2? D. ?x | x ? 2?
U N M

?

?

A. ?x | ?2 ? x ? 1? C. ?x | 1 ? x ? 2? 3.已知双曲线 ( A. )

x2 y2 3 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程为 y ? x ,则此双曲线的离心率为 2 4 a b
B.

5 4

4 3

C.

5 3

D.

7 4

4.设 ?a n ?为等差数列,公差 d ? ?2 , S n 为其前 n 项和,若 S10 ? S11 ,则 a1 ? ( A.18 B.20 C.22 D.24 )



5.已知命题 p: ?x ? R , x ? 2 ? lg x ,命题 q: ?x ? R , x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是假命题 B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是真命题

6.学校准备从 5 位报名同学中挑选 3 人,分别担任校运会中跳高、跳远和铅球 3 个不同项目比赛 的志愿者.已知其中同学甲不能担任跳高比赛的志愿者,则不同的安排方法共有( ) A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 7.已知 a , b 是非零向量,且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是( A. )

? 6

B.

? 3


C.

2? 3

D.

5? 6

8.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M (2 , y0 ) . 若点 M 到该抛 物线焦点的距离为 3,则|OM|=( A. 2 2 B. 2 3
·1·

C.4

D. 2 5

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9.函数 y ? e

ln x

? x ? 1 的图象大致是(



10.已知函数 f ( x) ? e x ? 1 , g ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 3 .若存在实数 a ,b ,使得 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围是( A. [2 ? 2 ,2 ? 2 ] C. [1,3] ) B. (2 ? 2 ,2 ? 2 ) D. (1,3)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填写在答题卷相应位置上.. 11.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 .

12.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , 已知 a ? 5 , b ?

5 2 ? , A ? ,则 cos B ? 3 4



13. 观察下列各等式:55 ? 3125 ,5 6 ? 15625 ,57 ? 78125 , ?, 则 5 2013 的末四位数字为 .
y C P O B x A

14. (1 ? 3x) n (其中 n ? N 且 n ? 6 )的展开式中, x 5 与 x 6 的系数相等,则 n ? .

15.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿轴滚动. 设顶点 P ? x, y ? 的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则 y ? f ( x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区域的面 积为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos 2

x ? 3 sin x . 2
·2·

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期和值域;

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(II)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?

?

1 cos 2? 的值. ) ? ,求 3 3 1 ? cos 2? ? sin 2?

17. (本小题满分 12 分) 某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主 选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁 4 名 参加保险人员所在的地区附近有 A,B,C 三家社区医院,并且他们对社区医院的选择是相互独 立的. (I)求甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率; (II)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率; (III)设 4 名参加保险人员中选择 A 社区医院的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E-ABCD 中,AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE, AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=1200. (I)求证:平面 ADE⊥平面 ABE ; (II)求二面角 A—EB—D 的大小的余弦值.
E D B C A

19. (本小题满分 12 分) 等差数列 {a n } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n , {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且

b2 S 2 ? 64 , b3 S3 ? 960.
(I)求 a n 与 bn ; (II)求

1 1 1 ? ??? . S1 S 2 Sn
·3·

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20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? (I)求 a 与 b 满足的关系式; (II)若 a ? 3 ,求函数 f (x) 的单调区间; (III)若 a ? 3 ,函数 g ( x) ? a 2 x 2 ? 3 ,若存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立, 求 a 的取值范围.

b 在 x ? 1处取得极值. x

1 2

21. (本小题满分 13 分) 已 知 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的 左 右 焦 点 分 别 是 F1 ? ?c, 0 ? , F2 ? c, 0 ? , 直 线 a 2 b2

3 ? c M恰为椭圆 C 的上顶点, 当 时, 此时△ MF1 F2 l : x ? m y 与椭圆 C 交于两点 M ,N . m ? ? 3
的周长为6. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的左顶点为A,直线 AM , AN 与直线

x ? 4 分别相交于点 P , Q ,问当 m 变化时,
以线段 PQ 为直径的圆被 x 轴截得的弦长是否为 定值?若是,求出这个定值,若不是,说明理由.

六安一中 2013 届高三年级第一次月考
理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 B 5 D
·4·

6 C

7 B

8 B

9 D

10 B

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二、填空题 11.0; 三、解答题 16.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 1 ? cos x ? 3 sin x ……………………1 分 ……………………2 分 ……………………4 分 12.

2 2 ; 13.3125; 3

14.7;

15. ? ? 1

? 1 ? 2 c o x (? ,) s 3
所以函数 f ( x) 的周期为 2? ,值域为 [?1,3] . (Ⅱ)因为 f (? ?

?

1 )? , 3 3 1 1 所以 1 ? 2cos ? = ,即 cos ? ? ? . 3 3
cos 2? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2? ? sin 2? 2cos 2 ? ? 2sin ? cos ?

?

……………………5 分

因为

……………………8 分

?

(cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) cos ? ? sin ? , ………………10 分 ? 2 cos ? (cos ? ? sin ? ) 2cos ?
2 2 . 3
………………11 分

又因为 ? 为第二象限角, 所以 sin ? ?

1 2 2 ? ? cos ? ? sin ? 3 ? 1? 2 2 . 所以原式 ? ? 3 2 2 cos ? 2 ? 3

…………13 分

17.解: (Ⅰ)设“甲、乙两人都选择 A 社区医院”为事件 A ,那么 P( A) ? ? 所以甲、乙两人都选择 A 社区医院的概率为 .

1 1 1 ? . 3 3 9

1 9

…………………… 2 分

1 1 1 ? , 3 3 3 2 所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是 P( B) ? 1 ? P( B) ? .………… 6 分 3 1 (Ⅲ)依题意 ? ~ B(4, ) , 3
(Ⅱ)设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件 B ,那么 P( B) ? 3 ? ?
k k 所以 ξ 的分布列为 P(? ? k ) ? C4 ? ( ) k ? ( ) 4?k ? C4 ?

1 3

2 3

24? k , k ? 0,1, 2,3, 4 .即 81
4

?

0

1
·5·

2

3

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P

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81
……10 分 ………………12 分

所以 E? ? 4 ?

1 4 ? . 3 3

18.(Ⅰ) 证明:取 BE 的中点 O,AE 的中点 F,连 OC,OF,DF,则 2OF / / BA ∵AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE,∴2CD / / BA, ∴OF / / CD,∴OC∥FD ∵BC=CE,∴OC⊥BE,又 AB⊥平面 BCE,从而 OC ? AB . ∴ OC⊥平面 ABE, ∴ FD⊥平面 ABE. 从而平面 ADE⊥平面 ABE. ……………………………… 6 分

(Ⅱ)取 BE 的中点 O,连 OC.∵BC=CE, ∴OC⊥BE,又 AB⊥平面 BCE,∴ OF⊥平面 BCE. 故可以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O-xyz, 由已知条件有:, B 0, 3, 0 , E (0,? 3 ,0) D ?1, 0,1? ,

? ? 设平面 BDE 的法向量为 p ? ? x2 , y2 , z2 ? , ?? ??? ? 则由 p · ? ? x2 , y2 , z 2 ? ? 1, 3,1 ? x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0. ED ?? ??? ? 及 p · ? ? x2 , y2 , z2 ? ? 0, 2 3, 0 ? 2 3 y2 ? 0. 可取 p ? (1,0,?1) , EB ?? E ∵ 平面 ABE 的法向量可取为 m = ?1, 0, 0 ? ?? ? ? ?? ? ? | m? p | 2 ? ∴ 二面角 A—EB—D 的余弦值为 cos ? m, p ?? ?? ? = , | m |?| p | 2

?

?

z A F

?

?

? ?

D B O C x y

∴二面角 A—EB—D 的余弦值为

2 . 2

……………………………… 12 分

19、解: (1)设 {a n } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则 d 为正数, an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n?1 .

依题意有

?S 2 b2

? (6 ? d )q ? 64

S 3 b3 ? (9 ? 3d )q 2 ? 960

,

6 ? d ?? , ?d ? 2 ? ? 5 .或? 解得 ? (舍去) 40 ?q ? 8 ?q ? . ? 3 ?

…………… 4 分

故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8n?1. (2) S n ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2), 所以

……………………………… 6 分

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S 2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
·6·

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1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2
? 3 2n ? 3 ? . 4 2(n ? 1)( n ? 2)
……………………………… 12 分

20.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 1 ?

a b ? , x x2

由 f ?(1) ? 0 得 b ? 1 ? a .

…………3 分

(Ⅱ)函数 f (x) 的定义域为 (0,??) , 由(Ⅰ)可得 f ?( x) ? 1 ?

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (a ? 1)] ? 2 ? ? . x x x2 x2
………………5 分

令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? 1 , x2 ? a ? 1 . 当 a ? 3 时, a ? 1 ? 1 , x

(0,1)
+ ↗

1 0

(1, a ? 1)


a ?1
0

(a ? 1,??)
+ ↗

f ?( x) f (x)

所以单调递增区间为 (0,1) , (a ? 1,??) ,单调递减区间为 (1, a ? 1) . …………9 分 (Ⅲ)当 a ? 3 时, f (x) 在 [ ,1) 上为增函数,在 (1, 2] 为减函数, 所以 f (x) 的最大值为 f (1) ? 2 ? a ? 0 . 因为函数 g (x) 在 [ , 2] 上是单调递增函数,所以 g (x) 的最小值为 g ( ) ? a 2 ? 3 ? 0 .

1 2

1 2

1 2

1 4

1 ……………………12 分 2 1 要使存在 m1 , m2 ? [ , 2] ,使得 f (m1 ) ? g (m2 ) ? 9 成立, 2 1 1 只需要 g ( ) ? f (1) ? 9 ,即 a 2 ? 3 ? (2 ? a) ? 9 ,所以 ? 8 ? a ? 4 . 2 4
所以 g ( x) ? f ( x) 在 [ , 2] 上恒成立. 又因为 a ? 3 , 所以 a 的取值范围是 a ? (3, 4) . ………………14 分

? 2 a ? 2c ? 6 ? 3 21.解: (I)当 m ? ? 时,直线的倾斜角为 120? ,所以: ? c 3 ? a ? cos 60? ?
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解得: a ? 2, c ? 1 ? b ? 3 ,所以椭圆方程是:

x2 y2 ? ? 1; 4 3

…………… 5分

(II)当 m ? 0 时,直线 l : x ? 1 ,此时, M (1, ) , N (1,? ) ,又 A 点坐标是 ? ?2, 0 ? ,据此 可得 P(4,3) , Q(4,?3) ,故以 PQ 为直径的圆过右焦点,被 x 轴截得的弦长为6.由此猜测 当 m 变化时,以 PQ 为直径的圆恒过焦点 F2 ,被 x 轴截得的弦长为定值6. …8分 证明如下:设点 M , N 点的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则直线 AM 的方程是:

3 2

3 2

? y x?2 ? 6 y1 ? 6 y2 ? ? ,所以点 P 的坐标是 ? 4, ? ,同理,点 Q 的坐标是 ? 4, x ? 2 ? , y1 x1 ? 2 ? 2 ? ? x1 ? 2 ?
? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由方程组 ? 4 得到: 3 ? my ? 1? ? 4 y ? 12 ? ? 3m ? 4 ? y ? 6my ? 9 ? 0 , 3 ? x ? my ? 1 ?
所以: y1 ? y2 ?

?6m ?9 , y1 y2 ? , 2 3m ? 4 3m2 ? 4

…………………………………11分

从而: F2 P ? F2Q ? ? 4 ? 1?? 4 ? 1? ?

???? ???? ? ?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 9? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? my1 ? 3?? my2 ? 3?

?9?

36 y1 y2 ?9 ? 36 ?9? =0, 2 m y1 y2 ? 3m ? y1 ? y2 ? ? 9 ?9m ? 18m 2 ? 27m 2 ? 36
2

所以:以 PQ 为直径的圆一定过右焦点 F2 ,被 x 轴截得的弦长为定值 6. ………13 分

·8·


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