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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
平面向量

第二章

平面向量

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第二章
2.4 平面向量的数量积

第二章

平面向量

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第二章
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

第二章

平面向量

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第二章

2.4 2.4.1

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课前自主预习

第二章

2.4 2.4.1

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温故知新 → → 1.若O(0,0),A(1,2)且 OA′ =2 OA ,则点A′坐标为 ( ) A.(1,4) B.(2,2) C.(2,4) D.(4,2)

[答案] C

第二章

2.4 2.4.1

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2.已知 a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若 a- 2b+3c=0,则 c=(
? 8? A.?1,3? ? ? ?13 4? C.? 3 ,3? ? ?

)
?13 8? B.? 3 ,3? ? ? ? 13 4? D.?- 3 ,-3? ? ?

[答案]

D

第二章

2.4 2.4.1

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3.已知点 A、B 的坐标分别为(2,-2)、(4,3),向量 p 的 → 坐标为(2k-1,7),且 p∥AB,则 k 的值为( 9 A.- 10 19 C.-10
[答案] D

)

9 B. 10 19 D.10

第二章

2.4 2.4.1

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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴 人请教,砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”.于是猴子高兴 地飞奔回去,立刻把刀放在一块石头上拼命地磨.直到它发现 刀口和刀背差不多厚了,便停下来??结果当然是失败的.难 道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功 ≠成功.

第二章

2.4 2.4.1

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物理学当中的做功在数学中叫做什么?是如何表示的 呢? 自主预习 阅读教材P103-105回答下列问题. 1.平面向量的数量符号

第二章

2.4 2.4.1

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定义

|a||b|cosθ 已知两个非零向量a与b,我们把数量_________

叫做a与b的数量积(或内积),其中θ是a与b的夹角

记法 记作a· b,即a· b=|a||b|cosθ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 投影
|a|cosθ _______

(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向

上)的投影

几何 数量积a· b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影
|b|cosθ 意义 ________的乘积

第二章

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[破疑点](1)两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向 量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0° ≤θ<90° 时),也可以为负 (当a≠0,b≠0,90° <θ≤180° 时),还可以为0(当a=0或b=0或θ =90° 时).

第二章

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(2)向量b在a上的投影不是向量而是数量,如图所示,即 为|b|cosθ,它的符号取决于角θ的范围. (3)a· b也等于|b|与a在b的方向上的投影的乘积,其中a在b 的方向上的投影与b在a的方向上的投影是不同的.

第二章

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已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向 量 a 和向量 b 的数量积 a· b=________.

[答案]
[解析]

3
根据两向量的数量积公式可得

a· b=|a||b|cos〈a,b〉=2× 3×cos30° 3 =2× 3× 2 =3.

第二章

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量 a 在向量 b 上的投影为( 3 2 A. 2 C.4 B.3 D.5

)

[答案]

A
2 3 2 向量 a 在向量 b 上的投影为|a|· cosθ=3× = . 2 2

[解析]

第二章

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2.两个向量数量积的性质 设 a、b 都是非零向量,
b=0 . (1)a⊥b? a·

(2)当 a 与 b 同向时,a· |a||b| ;当 a 与 b 反向时,a· b= b = -|a||b|
|a|2 或|a|= a· .特别地,a· a=a = a.
2

(3)|a· b|≤

|a||b|

.

第二章

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给出以下命题: → → ①a· 0=0;②0a=0;③0-AB=BA;④|a· b|=|a||b|;⑤若 a≠0,则对任一非零向量 b 有 a· b≠0;⑥a· b=0,则 a 与 b 中 至少有一个为 0;⑦a 与 b 是两个单位向量,则 a2=b2. 其中正确命题的序号是____________.

[答案] ③⑦

第二章

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[解析]

本题考查数量积的概念及向量运算.上述 7 个命

题中只有③⑦正确.对于①,两个向量的数量积是一个实数, 应有 0· a=0;对于②,应为 0a=0;对于④,由数量积定义, 有|a· b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,这里 θ 是 a 与 b 的夹角,只有 θ=0 或 θ=π 时,才有|a· b|=|a||b|;对于⑤,若非零向量 a、b 垂直, 有 a· b=0;对于⑥,由 a· b=0 可知 a⊥b,即可以都非零.

第二章

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3.平面向量数量积的运算律 已知向量 a、b、c 和实数 λ.
a (1)交换律:a· b= b·

. .

b)=a· (λb) (2)结合律:(λa)· b= λ(a· c (3)分配律:(a+b)· a· c= c+b· .

第二章

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已知|a|=4,|b|=5,且 a 与 b 的夹角为 60° ,求: (1)a· b;(2)(a+b)2;(3)(a-b)2;(4)a2-b2;(5)(2a+3b)· (3a -2b). [分析] 运算. 根据向量数量积的运算律计算,类似于多项式的

第二章

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[解析]

(1)a· b=|a||b|cos〈a,b〉=4×5cos60° =10.

(2)(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2=16+20+25=61. (3)(a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2=16-20+25=21. (4)a2-b2=|a|2-|b|2=16-25=-9. (5)(2a+3b)· (3a-2b)=6|a|2 +5a· b-6|b|2 =6×16+5×10 -6×25=-4.

第二章

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课堂典例讲练

第二章

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思路方法技巧
命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a 与 b 的夹角为 60° 时,分别求 a 与 b 的数量积. [分析] a∥b 时其夹角为 0° 180° a⊥b 时其夹角为 90° 或 , , 将两向量的模及夹角代入数量积公式计算即可.

第二章

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[解析]

(1)∵a∥b,若 a 与 b 同向,则 θ=0° ,

∴a· b=|a||b|cos0° =4×5=20; 若 a 与 b 反向,则 θ=180° , ∴a· b=|a||b|cos180° =4×5×(-1)=-20. (2)当 a⊥b 时,θ=90° ,∴a· b=|a||b|cos90° =0. (3)当 a 与 b 夹角为 60° 时, 1 a· b=|a||b|cos60° =4×5× =10. 2

第二章

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已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为θ=150° ,求a· b,(a -b)2,|a+b|. [分析] 利用数量积的定义求解,特别注意|a|2=a· a.

第二章

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[解析]

a· b=|a||b|cos150° =-6 3.

∵(a-b)2=|a|2-2a· b+|b|2=25+12 3. ∴|a+b|= ?a+b?2= |a|2+2a· b+|b|2 = 25-12 3, 即|a+b|= 25-12 3.

第二章

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命题方向 2

求一个向量在另一个向量方向上的投影
2π 已知|a|=4,e 为单位向量,它们的夹角为 ,则 a 3

在 e 方向上的投影是____________;e 在 a 方向上的投影是 ____________. [分析] 将已知量代入 a 在 b 方向上的投影公式|a|cosθ 中计 算即可.
[答案] 1 -2 - 2

第二章

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3 已知|b|=3,a 在 b 方向上的投影是 ,则 a· 为( b 2 A.3 C.2
[答案]
[解析]

)

9 B.2 1 D. 2
B
a· b=|a||b|cosθ=|b||a|cosθ

3 9 =3×2=2.
第二章 2.4 2.4.1

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命题方向 3

待定系数法求抛物线的标准方程
已知 a、b 是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a

-b|,求 a 与 a+b 的夹角. [分析] 根据模长的关系,利用两向量的夹角公式计算.

第二章

2.4 2.4.1

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[解析]

根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,

又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a· b+|b|2, 1 2 ∴a· |a| . b= 2 而|a+b|2=|a|2+2a· b+|b|2=3|a|2, ∴|a+b|= 3|a|. 设 a 与 a+b 的夹角为 θ, 1 2 a· ?a+b? |a| +2|a| 3 则 cosθ= = =2. |a||a+b| |a|· 3|a|
2

又 0° ≤θ≤180° ,∴θ=30° .
第二章 2.4 2.4.1

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设 n 和 m 是两个单位向量,其夹角是 60° ,求向量 a=2m +n 与 b=2n-3m 的夹角.

第二章

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[解析]

1 由|m|=1,|n|=1,其夹角为 60° ,得 m· 2. n=

∵|a|=|2m+n|= ?2m+n?2 = 4m2+4m· n+n2= 7. |b|= ?2n-3m?2= 4n2-12m· n+9m2= 7. 所以 a· b=(2m+n)· (2n-3m) 7 =m· n-6m +2n =-2,
2 2

7 -2 1 设 a、b 的夹角为 θ,得 cosθ= =- . 7 2 所以 a、b 的夹角为 120° .
第二章 2.4 2.4.1

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命题方向 4

求向量的模
π 已知|a|=|b|=5, 向量 a 与 b 的夹角为 , 求|a+b|, 3

|a-b|的值. [分析] 积的问题. 先分别求|a+b|2、|a-b|2,将模的计算转化为数量

第二章

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[解析]

因为 a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,

π 25 a· b=|a||b|cosθ=5×5×cos = , 3 2 所以|a+b|= ?a+b?2= a2+b2+2a· b = 25+25+25=5 3, |a-b|= ?a-b?2= a2+b2-2a· b = 25+25-25=5.

第二章

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已知 x=1 是方程 x2+|a|x+a· b=0 的根,且 a2=4, 〈a,b〉 =120° . 求:(1)向量 b 的模; (2)向量 λb 的模.

第二章

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[解析]

(1)∵a2=4,∴|a|2=4,即|a|=2.

把 x=1 代入方程 x2+|a|x+a· b=0, 得 1+|a|+a· b=0,∴a· b=-3. 则 a· b=|a|· cos〈a,b〉 |b|· =2|b|cos120° =-3,∴|b|=3. (2)由(1)知|b|=3, |λb|=|λ|· |b|=3|λ|.

第二章

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探索延拓创新
命题方向 5 判断平面图形的形状
→ → → 在△ABC 中,AB=c,BC=a,CA=b,且 a· b=b· c =c· a,试判断△ABC 的形状. [分析] 易知 a+b+c=0,分别将 a、b、c 移至等号右边, 得到三个等式,分别平方可得 a· b、b· c、c· a,选取两个等式相 减即可得到 a、b、c 中两个向量的长度之间的关系.

第二章

2.4 2.4.1

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[解析]

→ → → 在△ABC 中,易知AB+BC+CA=0,

即 a+b+c=0, 因此 a+c=-b,a+b=-c,
??a+b?2=?-c?2, ? 从而? ??a+c?2=?-b?2, ?

两式相减可得 b2+2a· 2-2a· 2-b2, b-c c=c 则 2b2+2(a· b-a· c)=2c2, 因为 a· b=c· a=a· c,

第二章

2.4 2.4.1

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所以 2b2=2c2,即|b|=|c|. → → → 同理可得|a|=|b|,故|AB|=|BC|=|CA|,即△ABC 是等边三 角形.

第二章

2.4 2.4.1

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规律总结:依据向量数量积的有关知识判断平面图形的 形状,关键是由已知条件建立数量积、向量的长度、向量的夹 角等之间关系,移项、两边平方是常用手段,这样可以出现数 量积及向量的长度等信息,为说明边相等、边垂直指明方向.

第二章

2.4 2.4.1

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→ → 已知△ABC中, AB =a, AC =b,若a· b<0,则△ABC是 ( ) A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.任意三角形

[答案]

A

[解析]

由a· b<0易知〈a,b〉为钝角.

第二章

2.4 2.4.1

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建模应用引路
命题方向6 用数量积证明几何问题
求证:△ABC的三条高交于同一点. [分析] 证明两条高的交点在第三条高上,使用向量数量

积为零说明.

第二章

2.4 2.4.1

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[证明]

如图所示,已知AD、BE、CF是△ABC的三条

→ → → 高.设BE、CF交于点H,且令AB=b,AC=c,AH=h,

第二章

2.4 2.4.1

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→ → 可得BH=h-b,CH=h-c, → BC=c-b. → → → → ∵BH⊥AC,CH⊥AB, ∴(h-b)· c=0,(h-c)· b=0. ∴(h-b)· c=(h-c)· b. 化简得h· (c-b)=0. → → ∴AH⊥BC.∴AH与AD在同一直线上. ∴AD、BE、CF相交于同一点H.
第二章 2.4 2.4.1

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在等腰直角三角形ABC中,C是直角,AC=BC,D是BC 的中点,E是AB上一点,且AE=2EB. 求证:AD⊥CE.

第二章

2.4 2.4.1

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→ → → → → → [证明] AD· =(AC+CD)· +AE) CE (CA →2 → 2→ 1→ 2→ =-AC +AC·AB+ CB·AB 3 2 3 →2 2 → → 2 1 → → 2 =-AC +3|AC||AB|·2 +3|CB||AB|·2 →2 2→2 1→2 =-|AC| +3|AC| +3|AC| =0, → → ∴AD⊥CE,即AD⊥CE.

第二章

2.4 2.4.1

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名师辨误作答
混淆向量的模与实数的运算 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120° ,求|a+b| 及|a-b|的值. [错解] 由题意,得a· b=|a||b|cos120° =-3.

∴|a+b|= a2+2a· 2 b+b = 22+2×?-3?+32= 7. |a2-b2| 5 5 ∴|a-b|= = =7 7. |a+b| 7
第二章 2.4 2.4.1

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[错因分析] 该解法错误地类比实数运算中的法则,实际 上|a2-b2|=|(a+b)· (a-b)|≤|a+b||a-b|. [思路分析] 直接利用完全平方和(差)公式.
[正解] 由题意,得a· b=|a||b|cos120° =-3.

∴|a+b|= a2+2a· 2 b+b = 22+2×?-3?+32= 7, |a-b|= a2-2a· 2 b+b = 22-2×?-3?+32= 19.

第二章

2.4 2.4.1

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课后强化作业(点此链接)

第二章

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