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2013届高考文科数学第一轮复习测试题4


命题要点: ?1?函数图象的识辨?′11 年 2 考, ′10 年 3 考?; ?2?函数图象的应用?′11 年 4 考,′10 年 2 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (★)一次函数 y=ax+b(a≠0)与二次函数 y=ax 2 +bx+c(a≠0)在同一坐标系中 的图象大致是( ). 满分:60 分)

解析

(筛选法)选项 A 中,一次函数的斜率 a>0,而二次函数开口向下,相互

矛盾,排除 A,同理排除 D. b y=ax 2 +bx+c 的对称轴为 x=- , 2a b 当 a>0,b>0 时,x=- <0,∴排除 B. 2a b 当 a<0,b<0 时,x=- <0,∴C 符合. 2a 答案 C

【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数的特殊元素、特 殊位置等内容确定它们是否吻合. 2.(2012· 北京海淀模拟)函数 f(x)=loga |x|+1(0<a<1)的图象大致为( ).

解析 答案

f(x)在(0,+∞)上为减函数,只能是 A 或 D.f(1)=1,只能是 A. A ).

?-2x,-1≤x≤0, 3.已知 f(x)=? 则下列函数的图象错误的是( ? x,0<x≤1,

解析

先在坐标平面内画出函数 y=f(x)的图象,再将函数 y=f(x)的图象向右平

移 1 个长度单位即可得到 y=f(x-1)的图象,因此 A 正确;作函数 y=f(x)的图象 关于 y 轴的对称图形,即可得到 y=f(-x)的图象,因此 B 正确,y=f(x)的值域是 [0,2],因此 y=|f(x)|的图象与 y=f(x)的图象重合,C 正确;y=f(|x|)的定义域是[- 1,1],且是一个偶函数,当 0≤x≤1 时,y=f(|x|)= x,相应这部分图象不是一条 线段,因此选项 D 不正确.综上所述,选 D. 答案 D ).

4.函数 y=2x-x2 的图象大致是(

解析

由于 2x-x2 =0 在 x<0 时有一解;在 x>0 时有两解,分别为 x=2 和 x=

4.因此函数 y=2x-x2 有三个零点,故应排除 B,C.又当 x→-∞时,2x→0,而 x2 →+∞,故 y=2x-x 2 →-∞,因此排除 D. 答案 A ). B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

5.(2011· 陕西)方程|x|=cos x 在(-∞,+∞)内( A.没有根 C.有且仅有两个根 解析

把原方程根的个数问题转化为两函数 y=|x|,y=cos x 的交点问题,再由

这两个函数均为偶函数, 只需画出这两个函数在[0, +∞)上的图象即可(如下图).

答案

C

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.把函数 f(x)=(x-2)2 +2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所 得图象对应的函数解析式是________. 解析 把函数 f(x)=(x-2)2 +2 的图象向左平移 1 个单位,得 y=[(x+1)-2]2 +2

=(x-1)2 +2,再向上平移 1 个单位,得 y=(x-1)2 +2+1=(x-1)2 +3. 答案 y=(x-1)2 +3.

x+1 7.函数 f(x)= 的图象的对称中心为________. x 解析 答案 x+1 1 f(x)= =1+ ,故 f(x)的对称中心为(0,1). x x (0,1)

?1? 8.已知 f(x)=? ?x,若 f(x)的图象关于直线 x=1 对称的图象对应的函数为 g(x), ?3? 则 g(x)的表达式为________. 解析 ?1? 在函数 g(x)的图象上任取一点(x,y),在函数 f(x)=? ?x 的图象上任取一点 ?3?

?x0 =2-x, (x 0 ,y0 ),则? ?y0 =y. ?1? - - ∴y=? ?2 x=3x 2 . ?3? 答案 y=3x
-2

三、解答题(共 23 分) 9. 分)(2011· (11 南昌五校联考)已知函数 y=f(x)的图象关于原点对称, x>0 时, 且 f(x)=x 2 -2x+3,试求 f(x)在 R 上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它 的单调区间. 解 ∵f(x)的图象关于原点对称,

∴f(-x)=-f(x),又当 x>0 时,f(x)=x2 -2x+3, ∴当 x<0 时,f(x)=-x 2 -2x-3.当 x=0 时,f(x)=0. ∴函数解析式为:

?x -2x+3,x>0. f(x)=?0,x=0, ?-x2-2x-3,x<0.
2

作出函数的图象如图.根据图象可以得函数的增区间为:

(-∞,-1),(1,+∞). 函数的减区间为:(-1,0),(0,1). 10.(12 分)(2011· 郑州)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时的 f(x)的表达式. (1)证明 设 P(x 0 ,y0 )是函数 y=f(x)图象上任一点,则 y0 =f(x0 ),点 P 关于直线 x

=2 的对称点为 P′(4-x 0 , 0 ). y 因为 f(4-x 0 )=f[2+(2-x 0 )]=f[2-(2-x 0 )]=f(x 0 ) =y0 , 所以 P′也在 y=f(x)的图象上,所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. (2)解 当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],

所以 f(-x)=-2x-1. 又因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0]. 当 x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2],所以 f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7, 而 f(4+x)=f(-x)=f(x), 所以 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2]. ?2x+7,x∈[-4,-2], 所以 f(x)=? ?-2x-1,x∈[-2,0].

B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) ?a,a≤b, 1.(2011· 沈阳六校联合)定义运算 a⊕b= ? 则函数 y=1⊕2x 的图象只 ?b,a>b, 可能是( ). 满分:40 分)

解析

由 y=2x 的图象知,当 x<0 时,0<2x<1;当 x≥0 时,2x≥1,结合题目

?1,x≥0, 中的定义知 1⊕2x=? x ?2 ,x<0. 答案 A ).

2.已知函数 f(x)=|lg x|,若 a≠b,且 f(a)=f(b),则 a+b 的取值范围是( A.(1,+∞) 解析 B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)

如图,由 f(a)=f(b),得|lg a|=|lg b|.设 0<a<b,则 lg a+lg b=0.

∴ab=1,∴a+b>2 ab=2.

答案

C

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(★)(2012· 苏州模拟)设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5]时,f(x)的 图象如下图,则不等式 f(x)<0 的解集是________.

解析

(数形结合法)利用函数 f(x)的图象关于原点对称.

∴f(x)<0 的解集为(-2,0)∪(2,5). 答案 (-2,0)∪(2,5)

【点评】 本题采用了数形结合法,根据奇函数的性质作出 y 轴左边的图象.

4.(★)已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+1)=f(x-1),且 x∈[-1,1]时,f(x)=x2 , 则函数 y=f(x)与 y=log5 x 的图象交点的个数为________. 解析 (数形结合法)根据 f(x+1)=f(x-1),得 f(x)=f(x+2),则函数 f(x)是以 2 为

周期的函数,分别作出函数 y=f(x)与 y=log5 x 的图象(如图),可知函数 y=f(x) 与 y=log5 x 的图象的交点个数为 4.

答案

4

【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合,其实质是将抽象的数学语言与直观 的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直 观对抽象的支持作用,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽 象为直观. 三、解答题(共 22 分) 5.(★)(10 分)已知函数 f(x)=|x 2 -4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根, 求实数 a 的取值范围. 思路分析 解 分别作出函数 y=f(x)与 y=x+a 的图象,观察它们的交点个数.

??x-2?2 -1,x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, f(x)=? 2 ?-?x-2? +1,x∈?1,3?,

作出图象如图所示.

(1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1),(2,3). (2)由题意|x 2 -4x+3|=x+a. 于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象.如图所示.则当直 线 y=x+a 过点(1,0)时 a=-1; 当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2 +4x-3 相切时, ?y=x+a, 由? ?x2 -3x+a+3=0. 2 ?y=-x +4x-3

3 由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=- . 4 3? ? 由图象知当 a∈?-1,- ?时方程至少有三个不等实根. ? 4? 【点评】 数形结合思想是高考每年必考内容,它对选择题、填空题、解答题均 有很大的帮助,但对于解答题而言,图形只是起到帮助分析问题的作用,步骤还 要有适当数学语言来表示. 6.(12 分)已知函数 f(x)=- a ax+ a ,(a>0,a≠1).

1? ?1 (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于点? ,- ?对称; ?2 2? (2)求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. (1)证明 1? ?1 函数 f(x)的定义域为 R, 任意一点(x, y)关于点? ,- ?对称的点的坐标 ?2 2?

为(1-x,-1-y). a 由已知,f(x)=- x , a+ a a ax 则-1-y=-1+ x =- x . a+ a a+ a a a a·x a ax f(1-x)=- 1 -x =- =- =- x , a a + a a+ a·x a a+ a + a ax ∴-1-y=f(1-x). 1? ?1 即函数 y=f(x)的图象关于点? ,- ?对称. ?2 2? (2)解 由(1)知有-1-f(x)=f(1-x).

即 f(x)+f(1-x)=-1. ∴f(-2)+f(3)=f(-1)+f(2)=f(0)+f(1)=-1,

∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.



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