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2013-2014学年高中数学 第二章 点、直线、平面学练考课件 新人教A版必修2_图文

第二章 点、直线、平面 之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间
的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定

及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定 及其性质

本章总结提升

第二章 点、直线、平面 之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面 之间的位置关系

2.1.1 平



2.1.1 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 (1) 能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的 “ 平 面”; (2)理解平面的无限延展性; (3)理解公理 1、2、3.

2.1.1 │ 三维目标
2.过程与方法 (1)正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们 之间的关系; (2)初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言 之间的转化; (3)初步应用公理 1、2、3 解决简单的点、线共线共面 问题. 3.情感、态度与价值观 (1)提高空间想象能力; (2)通过图形、符号、语言的转换体会数学的美,激发 学习兴趣.

2.1.1 │ 教学重点 教学重点
[重点] 平面基本性质的三个公理.

2.1.1 │ 教学难点 教学难点
[难点] 三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、 共线、共面问题.

2.1.1 │ 教学建议 教学建议
(1)教学生画平面时应注意平面的直观性,当两个平面 相交时,被遮住部分画成虚线或不画,以增强立体感; (2)处理三个公理时应充分展现三种数学语言的转换与 翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换; (3)为了使学生更好地掌握三个公理,教学中应当多给 学生观察实物,用三个公理进行判断的机会,特别是要充 公利用长方体这类模型.

2.1.1 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象,数学中 的平面概念是现实平面加以抽象的结果,你知道数学中的平面具有 什么样的特征吗?
[答案] 平面没有大小、 厚薄和宽窄, 平面在空间是无限延伸的.

2.1.1 │ 新课导入
[导入二] 一、创设情境 观察长方体(图 1),你能发现长方体的顶点、棱所在的 直线,以及侧面、底面之间的关系吗?

图1

2.1.1 │ 新课导入
二、学生活动 长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些 面是平行的,有些面是相交的;有些棱所在的直线与面平 行,有些棱所在的直线与面相交;每条棱所在的直线都可 以看成是某个面内的直线等等. 空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢?本 节我们将讨论这个问题.

2.1.1 │ 新课导入
[导入三] [情境导入] 大家都看过电视剧《西游记》吧,如来佛对孙悟空说: “ 你一 个跟 头虽有 十万 八千 里,但 不会 跑出 我的手掌 心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心,孙悟空可 以看作是一个点,他的运动成为一条直线,大家说如来佛 的手掌像什么?
[答案] 像一个平面.

2.1.1 │ 新课感知 新课感知
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象, 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果, 你知道数学 中的平面具有什么样的特征吗?

2.1.1 │ 新课感知

解: 平面没有大小、 厚薄和宽窄, 平面在空间是无限延伸的.

2.1.1 │ 自学探究 自学探究
? 知识点一 平面 无限延展的 几何里的平面是__________ .我们通常把水平的平面画成一个 平行四边形 __________.平面没有大小、厚度等. 1.平面的画法:水平放置的平面通常画成一个 平行四边形 __________________ ,锐角画成 45°,且横边长画成邻边长的 2 倍, 如图 2-1-1.

图 2-1-1

2.1.1 │ 自学探究
2.画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把 它延展开来,如同画直线一样,直线是可以无限延展的,但在 画直线时却只画出一条线段来表示. 3.加“通常”两字的意思是因为有时根据需要也可用其 他平面图形来表示平面. 4 .两个相交平面的画法:当一个平面的 一部分被另一个平面遮住时, 应把被遮住部 虚线 或者不画, 分的线段画成________ 以增加立 体感,如图 2-1-2. 图 2-1-2

2.1.1 │ 自学探究
[ 探究 ] 一个平面把空间分成几部分?两个平面把空间分 成几部分? 解:一个平面把空间分成两部分;两个平面相交时,把空 间分成四部分,平行时把空间分成三部分.

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点二 符号的规定 A、B、C、D? 1.在数学中我们用大写字母____________ 表示点;用小 a、b、c? 表 示 直 线 ; 平 面 通 常 用 希 腊 字 母 写 字 母 __________ α、β、γ? __________________ 等表示,如平面 α、平面 β 等,也可以用 表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大 写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等. A∈α 2. (1)点 A 在平面 α 内, 记作________ ; 点 B 在平面 α 外, ∈l B?α 记作________ ;(2)点 A 在直线 l 上,记作A ________ ;点 B 在 B?l l?α 直线 l 外, 记作________; (3)直线 l 在平面 α 内, 记作________ ; l?α 直线 l 在平面 α 外,记作________ .

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点三 公理 1 1.文字语言:如果一条直线上的两点在一个平面内,那 么这条直线在________ 此平面内 . 2.图形语言:如图 2-1-3.

图 2-1-3 l?α 3.符号语言:A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α?_________. 4. 公理的作用: 公理 1 是判定直线是否在平面内的依据, 即利用公理 1 可以证明直线在平面内或证明直线上的点在平 面内.

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点四 公理 2

图 2-1-4 有且只有 一个平 文字语言: 过不在一条直线上的三点, __________ 面. 图形语言: 三点 A、B、C 确定唯一平面 α 符号语言:A∈l,B∈l,C?l?___________________.

2.1.1 │ 自学探究
1.正确理解公理中“有且只有”:“有”是说 图形唯一 图形存在 ________________ , “只有一个”是说____________,即强调 了“存在性”和“唯一性”. 2.正确理解“过不在一条直线上”和“三点”,如果去 掉则不成立,如:经过一点、两点或同一直线上的三点可有 无数个平面 ______________ ;任给不在同一直线上的四点,不一定 __________ 有一个平面同时过这四个点.

2.1.1 │ 自学探究
3.根据公理 2 我们可以得到三个推论: 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点, 有且只有一个平面 _____________ . 有且只有一个平面 推论 2: 经过两条相交直线, _________________________. 有且只有一个平面 推论 3:经过两条平行直线,_____________________. 4.公理的作用:一是确定平面;二是证明点共面问题.

图 2-1-5

2.1.1 │ 自学探究
? 知识点五 公理 3 文字语言:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它 有且只有一条过该点 们________________________ 的公共直线. 图形语言: α∩β=l,且 P∈l . 符号语言:P∈α,且 P∈β?__________________ 1.公理 3 研究平面与平面的关系,只要两个不重合的平 面有公共点,它们的位置关系就是相交,并且交线只有一条.

2.1.1 │ 自学探究
2.对于这个公理应进一步理解下面三点: (1) 如果两个相交平面有两个公共点,那么过这两点的直 线就是它们的交线; (2)如果两个相交平面有三个公共点,那么这三点共线; (3) 如果两个平面相交,那么一个平面内的直线和另一个 平面的交点必在这两个平面的交线上. 3.公理 3 的作用:一是判定两个平面是否相交的依据; 二是证明三点共线、三线共点、点在线上的依据.

2.1.1 │ 典例类析 典例类析
? 题组一 对平面概念的理解 【例题演练】

例 1 判断下列说法是否正确.(填“对”或“错”) (1)平面就是平行四边形;( ) (2)任何一个平面图形都可以表示平面;( ) (3)平面 ABCD 的面积为 10 cm2;( ) (4)空间图形中,后引的辅助线都是虚线.( )

2.1.1 │ 典例类析

[答案]

(1)错 (2)错 (3)错 (4)错

2.1.1 │ 典例类析

例 2 若点 A 在直线 b 上,b 在平面 β 内,则 A,b,β 之间的 关系可以记作( ) A.A∈b∈β B.A∈b?β C.A?b?β D.A?b∈β

2.1.1 │ 典例类析
【答案】B

2.1.1 │ 典例类析

(

【变式巩固】 [2013· 西安期末] 如图 2-1-6 所示,用符号语言可表达为 ) A.α ∩β =m,n?α , m∩n=A B.α ∩β =m,n∈α,m∩n=A C.α ∩β =m,n?α ,A?m,A?n D.α ∩β =m,n∈α,A∈m,A∈n 图 2-1-6

2.1.1 │ 典例类析

[答案] A [解析] 线与面看成点的集合,点与线、面是属于关系, 线与面是包含关系.

2.1.1 │ 典例类析

?

题组二

证明共点、共线问题 【例题演练】

例 如图 2-1-7,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记作 γ,则 γ 与 β 的交线必 通过( ) A.点 A B.点 B C.点 C 但不过点 M D.点 C 和点 M 图 2-1-7

2.1.1 │ 典例类析
[答案] D
[解析] ∵AB?γ ,M∈AB,∴M∈γ.又 α∩β=l,M∈l, ∴M∈β.根据公理 3 可知,M 在 γ 与 β 的交线上.同理可知, 点 C 也在 γ 与 β 的交线上.

2.1.1 │ 典例类析
【变式巩固】 如图 2-1-8 所示,平面 ABD∩平面 CBD=BD,E,F, G,H 分别在 AB,BC,CD,DA 上,求证:EH 与 FG 的交点 P 与 B,D 三点共线.

图 2-1-8

2.1.1 │ 典例类析

证明:如图,因为直线 EH∩直线 FG=P,所以 P∈直 线 EH,而 EH?平面 ABD,所以 P∈平面 ABD;同理 P∈ 平面 CBD,即点 P 是平面 ABD 与平面 CBD 的公共点.显 然,点 B,D 是平面 ABD 和平面 CBD 的公共点,由公理 3 知,点 B,D,P 都在平面 ABD 和平面 CBD 的交线上,即点 B,D, P 共线.

2.1.1 │ 典例类析

?

题组三

共面问题

【例题演练】
例 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)AA1 与 CC1 是否在同一平面内? (2)点 B,C1,D 是否在同一平面内? (3)画出平面 AC1 与平面 BC1D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.

2.1.1 │ 典例类析
解:(1)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ∵AA1∥CC1,∴AA1 与 CC1 可确定平面 AC1, ∴AA1 与 CC1 在同一平面内. (2)∵点 B,C1,D 不共线,∴点 B, C1,D 可确定平面 BC1D, ∴点 B,C1,D 在同一平面内. (3)∵AC∩BD= O , D1C ∩ DC1 = E , ∴点 O∈平面 AC1,O∈平面 BC1D. 又 C1∈平面 AC1,C1∈平面 BC1D, ∴平面 AC1∩平面 BC1D=OC1, 同理平面 ACD1∩平面 BDC1=OE.

2.1.1 │ 典例类析
【变式巩固】 已知三个命题:①若点 P 不在平面 α 内,A,B,C 三点都 在平面 α 内,则 P,A,B,C 四点不在同一平面内;②两两相 交的三条直线在同一平面内;③两组对边分别相等的四边形是 平行四边形.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

2.1.1 │ 典例类析

[答案] A [解析] 当 A,B,C 三点都在平面 α 内,且三点共线时, P,A,B,C 四点在同一个平面内,故①错误;三棱锥的三 条侧棱所在的直线两两相交,但三条直线不在同一平面内, 故②错误;两组对边分别相等的四边形也可能是空间四边 形,故③错误.

2.1.2 空间中直线与直线之间 的位置关系

2.1.2│ 三维目标 三维目标
1.知识与技能 正确理解空间中直线与直线的位置关系, 特别是两直线 的异面关系. 2.过程与方法 以公理 4 和等角定理为基础, 正确理解两异面直线所成 角的概念以及它们的应用. 3.情感、态度与价值观 进一步培养学生的空间想象能力, 以及有根有据、 实事 求是等严谨的科学态度和品质.

2.1.2│ 教学重点 教学重点
[重点] 异面直线的概念;公理 4 及其应用.

2.1.2│ 教学难点 教学难点
[难点] 两直线异面的判定方法,以及两异面直线所成角的求 法.

2.1.2│ 教学建议 教学建议
(1)异面直线的教学,应遵循由具体例子到抽象概念的 原则,除了正例外,还要注意使用反例以帮助学生辨析.特 别 是 要让 学生 理解 “ 不 同在 任 何一 个平 面内的 两 条 直 线”,是指这两条直线不能同在任何一个平面内,即这两 条直线既不平行也不相交;

2.1.2│ 教学建议

(2)对于折叠问题中的异面直线的判断,可以先引导学 生把图画在纸上,复原成几何体来观察,也可以直接画出 几何体的直观图,再根据定义来判断; (3)公理 4 是空间等角定理的基础,而等角定理又是定 义两异面直线所成角的基础,请注意知识之间的相互关系, 准确把握两异面直线所成角的概念.

2.1.2│ 新课导入 新课导入
[导入一] 创设情景、导入课题 问题 1:在平面几何中,两直线的位置关系如何? 问题 2:没有公共点的直线一定平行吗? 问题 3:没有公共点的两直线一定在同一平面内吗? 1.通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异 面直线的概念:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 2.师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题)

2.1.2│ 新课导入
[导入二] [事例导入] 观察长方体(图 1),发现长方体 ABCD—A′B′C′D′ 中, 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线的位置关 系如何?

图1

2.1.2│ 新课导入

[答案] 线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在的直线 既不平行也不相交,所以线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在的直线为异面直线.

2.1.2│ 新课感知 新课感知
在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过( 假设它们的轨迹为 直线),请同学们讨论这两直线的位置关系.

2.1.2│ 新课感知

解:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系是不平行 也不相交.

2.1.2│ 自学探究 自学探究
? 知识点一 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线.两条直 ___________________________________ 既不相交也不平行 . 线是异面直线即等价于这两条直线__________________ [ 思考] 若两条直线分别在两个不重合的平面内,则它们是否一 定为异面直线?

解:不一定,当两条直线在两个平面内时,它们也可能相 交或平行,此时共面,只有不相交也不平行时才异面.

2.1.2│ 自学探究
? 知识点二 空间两条直线的位置关系 空间的两条直线有如下三种关系:
? ? ; ?相交直线: ?共面直线:? 同一平面内,没有公共点 ? ; ? ?平行直线: ? W. ? 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点 ? 知识点三 公理 4 互相平行 . 文字语言:平行于同一条直线的两条直线_________

同一平面内,有且只有一个公共点

2.1.2│ 自学探究
符号语言:设 a,b,c 是三条直线, a∥b? ?
a∥c ??__________ . c∥b ? ?

1.公理 4 又叫平行公理,公理的实质是说平行具有传递 性,在平面内、空间内这个性质都适用. 2.公理 4 作用是:判断空间两条直线是否平行.

2.1.2│ 自学探究
? 知识点四 空间中的等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 相等或互补 . ________________ [ 探究 ] 当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时, 试问两个角在什么情况下相等、互补?
解:当两个角的两边分别平行且方向相同或相反时,两个角 相等;当两个角的一组边的方向相同,而另一组边的方向相反时, 这两个角互补.

2.1.2│ 自学探究
? 知识点五 异面直线所成的角 已知两条异面直线 a,b,经过空间中任一点 O 作直线 a 锐角(或直角) 叫做异面直 ′∥a,b′∥b,我们把 a′与 b′所成的____________ 线 a 与 b 所成的角(夹角).如图 2-1-9 所示:

图 2-1-9

2.1.2│ 自学探究
(1)a′与 b′所成的角的大小只由 a,b 的相互位置来确定, 无关 与 O 的选择________ ,为了简便,点 O 一般取在两直线中的 一条直线上; (2)两条异面直线所成的角的范围是:θ∈(0°,90°]; (3)当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条 a⊥b 异面直线互相垂直,记作__________. [思考] 试总结求两条异面直线所成角的一般步骤?

2.1.2│ 自学探究

解:求两条异面直线所成角的一般步骤: (1) 作:根据异面直线的定义,用平移法作出异面直线所 成的角; (2)证:证明作出的角就是要求的; (3)求:求角度,常利用三角形; (4) 答:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直 线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直 线所成的角.

2.1.2│ 典例类析 典例类析
? 题组一 异面直线的判定 【例题演练】

例 已知:如图 2-1-10 是空间四边形 ABCD,求证:它 的对角线 AC 和 BD 是异面直线.

图 2-1-10

2.1.2│ 典例类析
证明:设 BC 和 CD 所确定的平面为 α,则对角线 BD 在 平面 α 内,对角线 AC 与平面 α 交于 BD 外一点 C,且 A 点 在平面 α 外,A∈AC,所以 AC 和 BD 是异面直线.

2.1.2│ 典例类析

【变式巩固】 如图 2-1-11,G,H,M,N 分别是三棱柱的顶点或所在棱 的中点,则表示直线 GH 与 MN 是异面直线的图形有________.

图 2-1-11

2.1.2│ 典例类析
[答案] ②④

[解析] ①③中,GM∥HN,所以 G,M,N,H 四点共面, 从而 GH 与 MN 共面;②④中,根据异面直线的判定定理,易 知 GH 与 MN 异面.

2.1.2│ 典例类析

?

题组二

证明空间中两直线平行 【例题演练】

例 1 [2013· 西安期末] 点 E,F,G,H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB,BC,CD,AD 的中点,若 AC=BD,且 AC 与 BD 所成角的大小为 90°,则四边形 EFGH 是( ) A.菱形 B.梯形 C.正方形 D.空间四边形

2.1.2│ 典例类析
[答案] C
1 1 [解析] 由题意得 EH BD,FG BD,∴EH FG, 2 2 AC=BD,所以 EH=EF,即四边形 EFGH 为菱形.又∵AC 与 BD 所成角的大小为 90°,∴EF⊥EH,即四边形 EFGH 为正方形.

2.1.2│ 典例类析
例 2 如图 2-1-12,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G, H 分别是边 AC,CD,BD,AB 的中点,且 AD=BC,求证: 四边形 EFGH 是菱形.

图 2-1-12

2.1.2│ 典例类析

证明:在△ABC 中,E,H 分别是边 AC,AB 的中点, 1 所以 EH 是△ABC 的中位线,EH∥BC,且 EH=2BC. 1 同理在△DBC 中,FG∥BC,且 FG= 2BC. 由公理 4,可知 EH 綊 FG,所以四边形 EFGH 是平行 四边形. 1 同理在△ADB 和△ABC 中可证,HG∥AD,且 HG=2 1 AD,EH∥BC 且 EH=2BC,且 AD=BC,所以 HG=EH. 所以四边形 EFGH 是菱形.

2.1.2│ 典例类析

?

题组三

求异面直线所成的角 【例题演练】

例1 如图 2-1-13,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分别是 AD,AA1 的中点.则 (1)直线 AB1 和 CC1 所成的角为_______; (2)直线 AB1 和 EF 所成的角为__________.

图 2-1-13

2.1.2│ 典例类析

【答案】(1)45° (2)60°

2.1.2│ 典例类析
例 2 如图 2-1-14, 在空间四边形 ABCD 中, AB, BC, CD 的中点分别是 P,Q,R,且 PQ=2,QR= 5,PR=3,求 异面直线 AC 和 BD 所成的角.

图 2-1-14

2.1.2│ 典例类析

解:∵P,Q,R 分别为 AB,BC,CD 的中点, ∴PQ∥AC,QR∥BD, ∴∠PQR 是异面直线 AC 和 BD 所成的角或其补角. ∵PQ=2,QR= 5,PR=3, ∴PQ2+QR2=PR2,∴∠PQR=90°, ∴异面直线 AC 和 BD 所成的角为 90°.

2.1.2│ 典例类析
【变式巩固】 正方体的表面展开图如图 2-1-15,A,B,C 为其上的三 个顶点,则在正方体中,∠ABC 的大小为________.

图 2-1-15

2.1.2│ 典例类析

[答案]

60°

[解析] ∠ABC 为正方体相邻两面对角线所成角, 正方体 相邻三面的对角线可构成正三角形,所以∠ABC=60°.

2.1.3 空间中直线与平面 之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的 位置关系

2.1.3

2.1.4 │ 三维目标

三维目标
1.知识与技能 (1)结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系; (2)结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系.

2.1.3

2.1.4 │ 三维目标

2.过程与方法 进一步熟悉文字语言、 图形语言、 符号语言的相互转换. 3.情感、态度与价值观 进一步培养学生的空间想象能力, 以及有根有据、 实事 求是的科学态度和品质.

2.1.3

2.1.4 │ 教学重点

教学重点
[重点] (1)判定直线与平面的位置关系; (2) 空间平面与平面之间的位置关系;平面与平面的相 交和平行.

2.1.3

2.1.4 │ 教学难点

教学难点
[难点] (1)正确判定直线与平面的位置关系; (2)用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.

2.1.3

2.1.4 │ 教学建议

教学建议
(1)教学时,除了引导学生以长方体为载体分析相应的 直线与平面的位置关系外,还可以引导学生观察教室内地 面、天花板、墙面的相交线等能反映直线和平面间存在不 同位置关系的几何体,给学生关于直线与平面位置关系的 直观感知; (2)对于空间中平面与平面之间的位置关系的教学也可 以从直线与直线、直线与平面的各种位置关系,类比联想 平面与平面的位置关系,并给出相应的定义.

2.1.3

2.1.4 │ 新课导入

新课导入
[导入一] [问题导入] 问题 1:空间中直线和直线有几种位置关系? 问题 2: 一支笔所在的直线和一个作业本所在的平面有几种位置 关系?

2.1.3

2.1.4 │ 新课导入
[师生互动] 生 1:平行、相交、异面 生 2:有三种位置关系: (1)直线在平面内; (2)直线与平面相交; (3)直线与平面平行. 教师肯定并板书,点出主题.

2.1.3

2.1.4 │ 新课导入

[导入二] [事例导入] 观 察 长 方 体 ( 图 1) , 你 能 发 现 长 方 体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与长方 体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置 关系?

图1

2.1.3

2.1.4 │ 新课导入

[答案] 线段 A′B 所在的直线在平面 A′B 内, 与平面 A′D、A′C′、AC、BC′相交,与面 CD′平行.

2.1.3

2.1.4 │ 新课感知

新课感知
观察长方体,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线 段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在 平面有几种位置关系吗?

图 2-1-16

2.1.3

2.1.4 │ 新课感知

解:线段 A′B 所在的直线在平面 AB′内,与平面 AD′、平面 AC、平面 BC′、平面 A′C′相交,与平面 CD′平行.

2.1.3

2.1.4 │ 自学探究

自学探究
? 知识点一 一条直线和一个平面的位置关系 空间的直线与平面有如下三种位置关系: 无数个公共点 (1)直线在平面内——直线与平面有_______________________ ; 有且只有一个公共点 ; (2)直线与平面相交——直线与平面______________________ 没有公共点 (3)直线与平面平行——直线与平面_____________________ (其 中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外) [思考] 直线 a 与平面 α 平行,直线 b?α ,则 a 与 b 有怎样的位 置关系? 解: 由直线 a 与平面 α 平行, 直线 b?α 知 a 与 b 没有公共点, 所以 a 与 b 平行或异面.

2.1.3

2.1.4 │ 自学探究

? 知识点二 两个平面之间的位置关系 两个平面之间有两种位置关系: 平行 ——没有公共点; (1)两个平面______ 相交 ——有一条公共直线. (2)两个平面______

2.1.3

2.1.4 │ 典例类析

典例类析
? 题组一 直线与平面的位置关系 【例题演练】

例 1 若一直线上有一点在已知平面外, 则下列命题正确的 是( ) A.直线上所有的点都在平面外 B.直线上有无数多个点都在平面外 C.直线上有无数多个点都在平面内 D.直线上至少有一个点在平面内

2.1.3

2.1.4 │ 典例类析

[答案]

B

[解析] 直线上有一点在平面外,则直线不在平面内,直 线上有无数多个点在平面外.

2.1.3

2.1.4 │ 典例类析

例 2 一条直线 l 上有相异三个点 A,B,C 到平面 α 的距离相 等,那么直线 l 与平面 α 的位置关系是( ) A.l∥α B.l⊥α C.l 与 α 相交但不垂直 D.l∥α 或 l?α

2.1.3

2.1.4 │ 典例类析

【答案】D [解析] l∥α 时,直线 l 上任意点到 α 的距离都相等,l? α 时,直线 l 上所有的点到 α 的距离都是 0,l⊥ α 时,直线 l 上有两个点到 α 距离相等,l 与 α 斜交时,也只能有两点到 α 距离相等.

2.1.3

2.1.4 │ 典例类析

?

题组二

平面与平面的位置关系 【例题演练】

例 一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且 不为零,则这两个平面( ) A.平行 B.相交 C.垂直相交 D.平行或相交

[答案] D

2.1.3

2.1.4 │ 典例类析

例 2 若三个平面两两相交,则它们的交线有( A.1 条 B.1 条或 2 条 C.1 条或 3 条 D.3 条

)

[答案] C

2.2 直线、平面平行的 判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定

2.2.1

2.2.2│ 三维目标

三维目标
1.知识与技能 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理; (2)通过图形探究平面与平面平行的判定定理; (3)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力. 2.过程与方法 学生通过观察图形, 借助已有知识, 掌握直线与平面平 行、平面与平面平行的判定定理.

2.2.1

2.2.2│ 三维目标

3.情感、态度与价值观 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想; (3)进一步培养学生的空间想象能力以及逻辑思维能力.

2.2.1

2.2.2│ 教学重点

教学重点
[重点] 直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用.

2.2.1

2.2.2│ 教学难点

教学难点
[难点] 直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用.

2.2.1

2.2.2│ 教学建议

教学建议
(1)在直线与平面平行、平面与平面平行判定的教学上, 注重平行问题以无公共点为基本特征,抓住这一点,直线 与直线平行、直线与平面平行和平面平行问题就容易解决 了; (2)对于空间中的平行问题,在教学中要注意“空间问 题平面化”的转化思想的运用.

2.2.1

2.2.2│ 新课导入

新课导入
[导入一] 将课本的一边 AB 紧靠桌面,并绕 AB 转动,观察 AB 的对边 CD 在各个位置时(CD 不在桌面内),是不是都与桌面所在的平面平行? 直线 AB、 CD 各有什么特点?有什么关系?从中你能得出什么结论?

图1

2.2.1

2.2.2│ 新课导入

[答案] CD 是桌面外一条直线,AB 是桌面内一条直线, CD∥AB ,则 CD∥桌面.

2.2.1

2.2.2│ 新课导入

[导入二] [事例导入] 观 察 长 方 体 ( 图 2) , 你 能 发 现 长 方 体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与长方 体 ABCD—A′B′C′D′的侧面 C′D′DC 所在平面的 位置关系吗?

图2

2.2.1

2.2.2│ 新课导入

[答案] 线段 A′B 所在的直线与长方体 ABCD—A′B′C′D′的 侧面 C′D′DC 无公共点,所以平行.

2.2.1

2.2.2│ 新课感知

新课感知
当门扇绕着一边转动时, 门扇转动的一边所在直线与门 框所在平面具有什么样的位置关系?将课本放在桌面上, 翻 动书的封面, 封面边缘所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

2.2.1

2.2.2│ 新课感知

解:门扇转动的一边所在直线在门框所在平面内,封面边缘 所在直线与桌面所在平面相交或平行.

2.2.1

2.2.2│ 自学探究

自学探究
? 知识点一 直线与平面平行的判定定理 1.语言叙述:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 平行 .该定理常表述为:“线线平行,则线面平 该直线与此平面________ 行.” 2.符号语言:若 a?α ,b?α ,且 a∥b,则________ a∥α . 用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时,必须具备三个条件:(1) 直线 a 不在平面 α 内,即 a?α ;(2)直线 b 在平面 α 内,即 b?α ;(3) 两直线 a,b 平行,即 a∥b.三个条件缺一不可. [ 思考 ] 在直线与平面平行的判定定理中最容易忽略的条件是 该直线必须在平面外 ________________________ .

2.2.1

2.2.2│ 自学探究

? 知识点二 平面与平面平行的判定定理

图 2-2-1 1.平面与平面平行的判定定理 语言叙述:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 平行 行,则这两个平面________ . 图形语言: 符号语言:若 a?β ,b?β ,a∥α,b∥α,a∩b =P,则 β ∥α.

2.2.1

2.2.2│ 自学探究

2. 利用判定定理证明两个平面平行应当必须具备的条件: (1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面; (2)这两条直线必须相交. [ 探究 ] 若两个平面平行,则这两个平面内的直线是否都 平行?

解:若两个平面平行,则这两个平面内的直线没有交点, 所以它们只能是平行或异面.

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

典例类析
? 题组一 直线与平面平行的判定 【例题演练】

例 1 已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,Q 是 PA 的中点,则 PC 与平面 BDQ 的位置关系为( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.无法确定

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

[答案]

A

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

例 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E, F 分别为棱 BC, C1D1 的中点.求证:EF∥平面 BB1D1D.

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

证明:连接 AC 交 BD 于 O,连接 OE,则 OE∥DC,OE 1 =2DC. ∵DC∥D1C1,DC=D1C1,F 为 D1C1 的中 点, ∴ OE ∥ D1F , OE = D1F , ∴ 四 边 形 D1FEO 为平行四边形, ∴EF∥D1O. 又 ∵EF ? 平 面 BB1D1D , D1O ? 平 面 BB1D1D, ∴EF∥平面 BB1D1D.

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

?

题组二

平面与平面平行的判定 【例题演练】

例 1 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G 分别为 B1C1,A1D1,A1B1 的中点,则平面 EBD 与平面 FGA 的位置关 [平行 . 系为________

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

例 1 已知四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边 形.点 M,N,Q 分别在 PA,BD,PD 上,且 PM ∶MA=BN∶ ND=PQ∶QD. 求证:平面 MNQ∥平面 PBC.

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

证明:∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, ∴MQ∥AD,NQ∥BP, 而 BP?平面 PBC,NQ?平面 PBC,∴NQ∥平面 PBC. 又∵四边形 ABCD 为平行四边形, ∴BC∥AD,∴MQ∥BC, 而 BC?平面 PBC,MQ?平面 PBC, ∴MQ∥平面 PBC. 由 MQ∩NQ=Q, 根据平面与平面平行的判定定理, ∴平面 MNQ∥平面 PBC.

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

【变式巩固】 [2013· 大连模拟] 已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是 两个不同的平面,有下列命题: ①若 m?α , n∥α, 则 m∥n; ②若 m∥α , m∥β,则 α∥β; ③若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.0

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

[答案] D [解析] ①错, 两直线可平行或异面; ②中两平面可相交, 只需直线 m 平行于两平面的交线即可,故命题错误;③错, 直线 n 可在平面内.

2.2.1
?

2.2.2│ 典例类析
线面平行、面面平行的综合应用 【例题演练】

题组三

例 如图 2-2-2,P 是△ABC 所在平面外的一点,A′,B′,C′ 分别是△PBC,△PCA,△PAB 的重心. (1)求证:平面 ABC∥平面 A′B′C′; (2)求△A′B′C′与△ABC 的面积之比.

‘ 图 2-2-2

2.2.1

2.2.2│ 典例类析

解:(1)证明:连接 PA′,PB′,PC′并延长交 BC,AC,AB 于 D,E,F,连接 DE,EF,DF. ∵A′,C′分别是△PBC,△PAB 的重心, 2 2 ∴PA′=3PD,PC′= 3PF,∴A′C′∥DF. ∵A′C′?平面 ABC,DF?平面 ABC, ∴A′C′∥平面 ABC,同理,A′B′∥平面 ABC. 又 A′C′∩A′B′=A′,A′C′,A′B′?平面 A′B′C′, ∴平面 ABC∥平面 A′B′C′. 2 1 1 (2)由(1)知 A′C′ 3DF,又 DF 2AC,∴A′C′ 3AC. 1 1 同理,A′B′ 3AB,B′C′ 3BC,∴△A′B′C′∽△ABC. ∴S△A′B′C′∶S△ABC=1∶9.

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质

2.2.3

2.2.4│ 三维目标

三维目标
1.知识与技能 (1)探究直线与平面平行的性质定理; (2)通过图形探究平面与平面平行的性质定理. 2.过程与方法 (1)体会直线与平面平行的性质定理的应用; (2)熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用.

2.2.3

2.2.4│ 三维目标

3.情感、态度与价值观 (1)通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣; (2)进一步培养学生的空间想象能力以及逻辑思维能力.

2.2.3

2.2.4│ 教学重点

教学重点
[重点] 通过直观感知、 提出猜想进而操作确认, 获得直线与平 面平行、平面与平面平行的性质定理.

2.2.3

2.2.4│ 教学难点

教学难点
[难点] 综合应用线面平行的性质定理进行线线平行、 线面平行 及面面平行的相互转化.

2.2.3

2.2.4│ 教学建议

教学建议
1.本节知识与学生的日常生活联系密切,教学中,可 引导学生从生活实际出发, 将所学知识与生活中与之相关的 现象联系起来, 同时要注意让学生经历从实际背景中抽象出 空间图形的过程. 2. 对于平行关系的性质定理, 只要求学生理解和应用, 暂时不要求进行证明, 在选修系列 2 中, 将用向量的方法对 此进行严格的证明.

2.2.3

2.2.4│ 教学建议

3.本节的教学,要充分发挥长方体模型的作用.长方 体模型容易将平行关系展示出来, 引导学生观察长方体, 便 可直观感知、 再经过探究思考、 归纳确认获得平行关系的判 定定理. 4.教学中,要注意让学生在课外用纸板、游戏棒或细 铁丝作空间几何体模型,让学生在制作的过程中直接感受 点、线、面之间的关系.除了使用实物模型外,还可利用现 代技术手段帮助学生提高几何直观能力.

2.2.3

2.2.4│ 新课导入

新课导入
[导入一] [情境导入] 教室内日光灯管所在的直线与地面平行,是不是地面内的所有 直线都与日光灯管所在的直线平行?
[答案] 不是,应是平行或异面.

2.2.3

2.2.4│ 新课导入

[导入二] [事例导入] 观 察 长 方 体 ( 图 1) , 可 以 发 现 长 方 体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与长方 体 ABCD—A′B′C′D′ 的 侧 面 C′D′DC 所在平面平行, 你能在侧 面 C′D′DC 所在平面内作一条直 线与 A′B 平行吗? 图1

2.2.3

2.2.4│ 新课导入

[答案] CD′∥A′B,由平行四边形的性质可得.

2.2.3

2.2.4│ 新课感知

新课感知
直线与平面有什么样的位置关系?对应的图形语言如 何表示?

2.2.3

2.2.4│ 新课感知

解:直线与平面的位置关系有直线在平面内、与平面平行、 与平面相交: 1.直线在平面内——有无数个公共点; 2.直线与平面相交——有且只有一个公共点; 3.直线与平面平行——没有公共点. 对应的图形语言如下:

2.2.3

2.2.4│ 自学探究

自学探究
? 知识点一 直线和平面平行的性质定理 文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行. 此性质简称为“线面平行,则线线平行”. 符号语言:若 l∥α,l?β ,α∩β=m,则 l∥m ___________ .

图 2-2-3

2.2.3

2.2.4│ 自学探究

图形语言: 性质定理中有三个条件:(1)直线 l 和平面 α 平行;(2)平 面 α 和平面 β 相交于直线 m;(3)直线 l 在平面β 内.这三个条 件阐明了一条直线与两个平面及它们的交线之间的位置关系, 是判断直线与直线平行时缺一不可的条件. [ 思考 ] 如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和 这个平面内的直线有怎样的位置关系?

2.2.3

2.2.4│ 自学探究

解:平行或异面,图示如下:

2.2.3

2.2.4│ 自学探究

? 知识点二 两个平面平行的性质定理 文字语言: 如果两个平行平面同时和第三 平行 . 个平面相交,那么它们的交线________ 符号语言: α∥β ,α∩γ = a , β∩γ =b a∥b ?__________ . 图形语言: 定理的说明: 性质定理的实质就是:面面平行?线线平行.图 2-2-4 [探究] 若两个平面平行,则一个平面内的直线 a 与另一 个平面内的直线有怎样的位置关系?

2.2.3

2.2.4│ 自学探究

解:平行或异面,图示如图:

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

典例类析
? 题组一 证明直线与直线平行 【例题演练】

例 1 设 α,β,γ 为三个不同的平面,m,n 是两条不同的 直线,在命题“α∩β=m,n?γ ,且________ ,则 m∥n”中的 横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α ∥γ ,n?β ;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ . 可以填入的条件有( ) A.①或② B.②或③ C.①或③ D.①或②或③

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

[答案] C [解析] 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m? γ 时,n 和 m 在同一平面内,且没有公共点,所以平行,③正确.

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

例 2 如图 2-2-5,已知 P 是?ABCD 所在平面外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过点 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:PA∥GH.

图 2-2-5

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

证明:如图,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO. ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴O 是 AC 的中点.又 M 是 PC 的中点,∴AP∥OM. 又∵PA?平面 BDM,OM?平面 BDM, ∴ PA ∥ 平 面 BDM.∵ 平 面 PAHG∩ 平 面 BDM = GH , ∴PA∥GH.

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

?

题组二

证明直线与平面平行 【例题演练】

例 1 如图 2-2-6,在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 D 是 AB 的中点.则 AC1 与平面 CDB1 的关系为( ) A.AC1∥平面 CDB1 B.AC1 在平面 CDB1 中 C.AC1 与平面 CDB1 相交 D.无法判断关系
[答案] A

图 2-2-6

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

例 2 如图 2-2-7,平行四边形 EFGH 的顶点分别在空间 四边形 ABCD 各边上, 求证: BD∥平面 EFGH.

图 2-2-7

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

证明:∵EH∥FG,EH?平面 BCD,FG?平面 BCD, ∴EH∥平面 BCD.又∵EH?平面 ABD,平面 BCD∩平面 ABD = BD ,∴EH∥BD. 又∵EH ? 平面 EFGH , BD ? 平面 EFGH,∴BD∥平面 EFGH.

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

?

题组三

平行性质定理的应用 【例题演练】

例 1 下列说法正确的个数是( ) ①两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等;②两平面 平行,夹在两平面间的相等的线段平行;③如果一条直线和两 个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;④两 平行直线被三平行平面截得的线段成比例. A.1 B.2 C.3 D.4

[答案] B

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

例 2 如图 2-2-8,CD,AB 均与平面 EFGH 平行,E, F,G,H 分别在 BD,BC,AC,AD 上,且 CD⊥AB. 求证:四边形 EFGH 是矩形.

图 2-2-8

2.2.3

2.2.4│ 典例类析

证明: ∵CD∥平面 EFGH, 而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF,∴四边形 EFGH 为平行四边形. 由 CD∥EF,HE∥AB, ∴∠HEF 为异面直线 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB,∴HE⊥EF. ∴平行四边形 EFGH 为矩形.

2.3 直线、平面垂直的判定 及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定

2.3.1

│ 三维目标

三维目标
1.知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握直线与平面所成的角的求法; (3) 培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操 作确认的基础上学会归纳、概括结论.

2.3.1

│ 三维目标

2.过程与方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直 的定义的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法; (3)掌握直线与平面垂直的判定定理的应用,培养学生 分析问题、解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位; 培养 学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.

2.3.1

│ 教学重点

教学重点
[重点] (1)直线与平面垂直的定义和判定定理; (2)直线与平面所成的角.

2.3.1

│ 教学难点

教学难点
[难点] 直线与平面垂直的判定定理的探究, 准确找出直线与平 面所成的角.

2.3.1

│ 教学建议

教学建议
(1)在讲解直线与平面垂直的定义时,除了认真分析教 科书中的例子外,还应当借助其他直线与平面垂直的例子, 让学生多感知.例如可以借助长方体模型来感知直线与平 面的垂直关系; (2)有关直线与平面所成角的教学中,注意体现斜线与 平面所成的角的概念的形成过程,重点是斜线在平面上射 影的概念,教学时可通过直观作图具体说明.

2.3.1

│ 新课导入

新课导入
[导入一] [创设情境]

①请同学们观察图片,说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的 位置有什么关系? ②请把自己的数学书打开直立在桌面上,观察书脊与桌面的位 置有什么关系?

2.3.1

│ 新课导入

[答案] 垂直.

2.3.1

│ 新课导入

[导入二] [问题导入] 1.教师首先提出问题:在现实生活中,我们经常看到 一些直线与平面垂直的现象,例如:“旗杆与地面,大桥 的桥柱和水面等的位置关系”,你能举出一些类似的例子 吗?然后让学生回忆、思考、讨论,教师对学生的活动给 予评价; 2.教师指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什 么?并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出 课题内容.

2.3.1

│ 新课感知

新课感知
(折纸试验)请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做 一个试验:过三角形的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD(如图 2-3-1) ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC 与 桌面接触),折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直?

图 2-3-1

2.3.1

│ 新课感知

解:不一定垂直,容易发现,当且仅当折痕 AD 是 BC 边上 的高时,AD 所在直线与桌面所在的平面 α 垂直. 如图.

所以,当折痕 AD 垂直平面内的一条直线时,折痕 AD 与平 面 α 不一定垂直,当折痕 AD 垂直平面内的两条相交直线时,折 痕 AD 与平面α 垂直.

2.3.1

│ 自学探究

自学探究
? 知识点一 直线与平面垂直的定义 任意 定义:如果直线 l 与平面 α 内的________ 一条直线都垂直,我们 l⊥α 就说直线 l 与平面 α 互相垂直,简称线面垂直.记作________ .直线 l 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时, 垂足 它们唯一的公共点 P 叫做________ . 画法:画直线和平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行 四边形的一边垂直.

2.3.1

│ 自学探究

用符号语言表示为: m是平面α内任意一直线? ? a⊥m
??________. ? ?

a⊥α

[ 思考 ] 如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那 么这条直线是否与这个平面垂直?举例说明.

2.3.1

│ 自学探究

解: 不一定垂直.如图,直线 AC1 与直线 BD、EF、GH 等无数条直线垂 a⊥α 直,但直线 AC1 与平面 ABCD 不垂直.

2.3.1

│ 自学探究

? 知识点二 直线与平面垂直的判定定理 两条相交直线 文字语言:一条直线与一个平面内的________________ 都垂直,则这条直线垂直于这个平面. 符号语言:若 l⊥m,l⊥n ,m∩n =B,m?α ,n?α , l⊥α . 则________ 图形语言:

图 2-3-2

2.3.1

│ 自学探究

? 知识点三 直线和平面所成角 1.斜线,垂线,射影定义 (1)垂线:自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面 上的__________ . 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面 射影 垂线段 . 的__________ (2)斜线:一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂 直,这条直线叫做这个平面的斜线.斜线和平面的交点叫 斜足 ________ . (3)射影:过斜线上斜足外的一点 A 向平面引垂线,过垂 射影 足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的__________ .

2.3.1

│ 自学探究

这里要注意两点:一是点 A 的任意性,可通过取不同点来说明; 二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. 2.直线和平面所成角

图 2-3-3 锐角 叫做 定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________ ∠ABO就是斜线 AB 这条直线和这个平面所成的角.如图 2-3-3,________ 直角 和平面 α 所成的角.特别:一直线垂直于平面,所成的角是________ ; 0°角 .因此,直线和 一直线平行于平面或在平面内,所成角为__________ 平面所成角范围为__________________ . [0°,90°]

2.3.1

│ 自学探究

[ 探究 ] 斜线与平面所成的角是否为该直线与平面内任一 直线所成角中最小的角?
解:直线与平面所成角是直线与其在该平面内的射影所成角,斜 线上同一点与平面内任一点的连线中,垂线段最短,即三角形的一条 边不变,当另一边最短时所对的角最小.

2.3.1

│ 典例类析

典例类析
? 题组一 判断直线与平面垂直 【例题演练】

例 1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 若 M 为 CC1 的中点,AC 与 BD 交于 O,则 ⊥ A1O________平面 MBD.

图 2-3-4

2.3.1

│ 典例类析

例 2 如图 2-3-5, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等腰 直角三角形,∠ACB=90°,C 点到 AB1 的距离为 CE,D 为 AB 的 中点. 求证:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面 CED.

图 2-3-5

2.3.1

│ 典例类析

证明:(1)由题意,得 AA1⊥平面 ABC,CD?平面 ABC, 所以 CD⊥AA1. (2)因为 D 是 AB 中点, △ABC 为等腰直角三角形, ∠ACB =90°,所以 CD⊥AB. 又 CD⊥AA1,AB∩A1A=A,所以 CD⊥平面 A1B1BA, ∵AB1?平面 A1B1BA,所以 CD⊥AB1. 又 CE⊥AB1,CD∩CE=C,所以 AB1⊥平面 CED.

2.3.1

│ 典例类析

【变式巩固】 如图 2-3-6,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱 AA1⊥底面 ABC, 底面是以∠ABC 为直角 的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中点,点 F 在线段 AA1 上,当 AF= ________时,CF⊥平面 B1DF.

图 2-3-6

2.3.1

│ 典例类析

[答案]

a 或 2a

[解析] 由题意易知, B1D⊥平面 ACC1A1, 所以 B1D⊥CF. 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥DF 即可. 令 CF⊥DF,设 AF=x,则 A1F=3a-x. 由 Rt△CAF∽Rt△FA1D, AC AF 2a x 得 = ,即 = , A1F A1D 3a-x a 整理得 x2-3ax+2a2=0, 解得 x=a 或 x=2a.

2.3.1

│ 典例类析

?

题组二

求直线与平面所成的角 【例题演练】

例 1 如图 2-3-7,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为________________; (2)B1B 与平面 A1C1B 所成角的正切值为__________.

图 2-3-7

2.3.1

│ 典例类析

[答案]

2 (1)30° (2) 2

2.3.1

│ 典例类析

例2 [2013· 湖南师大附中期末] 如图 2-3-8 所示,AB 是圆柱的母线,BD 是圆柱底面圆的直径,C 是底面圆周上一 点,E 是 AC 中点,且 AB=BC=2,∠CBD= 45°. (1)求证:CD⊥面 ABC; (2)求直线 BD 与面 ACD 所成角的大小.

图 2-3-8

2.3.1

│ 典例类析

解:(1)证明:∵BD 是底面圆直径,∴CD⊥BC. 又 AB⊥面 BCD,CD?面 BCD,∴AB⊥CD, 从而,CD⊥面 ABC. (2)连接 DE,由(1)知 BE⊥CD, 又 E 是 AC 中点,AB=BC=2,∠ABC=90°, 则 BE⊥AC,所以,BE⊥面 ACD, 于是,直线 BD 与面 ACD 所成角为∠BDE. 而 BE⊥面 ACD, 则 BE⊥ED, 即△BED 为直角三角形. 又 AB=BC=2,∠CBD=45°,则 BD=2 2. 而 BE= 2,所以∠BDE=30°.

2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.2

│ 三维目标

三维目标
1.知识与技能 (1) 使学生正确理解和掌握 “二面角 ”“二面角的平面角 ” 及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念; (2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)使学生体会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用.

2.3.2

│ 三维目标

2.过程与方法 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳 “二面角 ”的度量方法及两个平面 垂直的判定定理. 3.情感、态度与价值观 通过揭示概念的形成、 发展过程, 使学生体会数学存在于观 实生活周围,从而激发学生积极思维,培养学生观察、分析、解 决问题的能力.

2.3.2

│ 教学重点

教学重点
[重点] 平面与平面垂直的判定.

2.3.2

│ 教学难点

教学难点
[难点] 找出二面角的平面角.

2.3.2

│ 教学建议

教学建议
(1)在二面角的概念教学中可多举生活中的一些实例, 如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度;书本翻 开的过程中,两张纸面呈一定的角度;桔子掰下一瓣后, 桔瓣呈现角等,以增加学生对二面角的感性认识; (2)在二面角的教学中,要让学生体会: ①二面角的大小是用平面角来度量的; ②二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯 一确定,与棱上点的选择无关;

2.3.2

│ 教学建议

③平面角的两边分别在二面角的两个平面内,且两边 都与二面角的棱垂直,由这个角所确定的平面和二面角的 棱垂直. (3)两个平面互相垂直的概念与两条直线相垂直的概念 都是通过所成的角是直角定义的,教学中可以对这两个概 念进行类比.

2.3.2

│ 新课导入

新课导入
[导入一] 创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中,“异面直线所成的角”“直线和平面所 成的角”又是怎样定义的?它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题: 在生产实践中,有许多问题要涉及两个平面相交所成的角的情形, 你能举出这个问题的一些例子吗?如修水坝、发射人造卫星等,而 这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们先利用具体的实物来 进行观察,研究.

2.3.2

│ 新课导入

[ 答案 ] 平面几何中的角是借助两条射线来定义的; “异面直线所成的角”“直线和平面所成的角 ”转化成线 线角;它们的共同特征都是由线线角来确定的.

2.3.2

│ 新课导入

[导入二] [直接导入] 前边举过门和墙所在平面的关系,随着门的开启,其 所在平面与墙所在平面的相交程度在变,怎样描述这种变 化呢?今天我们一起来探究两个平面所成角问题.

2.3.2

│ 新课感知

新课感知
在铁路、公路旁,为防止山体滑坡,常用石块修筑护坡 斜面,并使护坡斜面与水平面成适当的角度;修筑水坝时, 为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角 度,如何从数学的观点认识这种现象?

2.3.2

│ 自学探究

自学探究
? 知识点一 二面角的概念 从一条直线出发的____________________ 两个半平面所组成 的图形叫做二面角.其 中这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面,棱为 l, 两个平面分别为 α,β 的二面角记为 α-l-β.

2.3.2
?

│ 自学探究

知识点二 二面角的平面角

图 2-3-9 如图 2-3-9,在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O, 以 O 为垂足,在半平面α 和 β 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 射线 OA 和 OB 构成的∠AOB 和 OB,则__________________________________ 叫做二面角 α -l-β 的平面角.二面角的平面角的范围是 ______________ . [0 °,180°]

2.3.2

│ 自学探究

特别地,当平面角是直角时,二面角叫做直二面角. 二面角的平面角的画法有两种: 1.定义法:在棱上取点作为平面角的顶点,在两个半平 面内作棱的垂线(如图 2-3-10①); 2.垂面法:用垂直于棱的平面与二面角相交,交线所成 的角, 特别有其中一个半平面的垂线时, 作一条垂直于棱的直 线就可找到垂直于棱的平面,也就作出了二面角的平面角(如 图 2-3-10②).

图 2-3-10

2.3.2

│ 自学探究

[ 思考 ] 在两个半平面内分别向棱作垂线,所得到的图形 是否为二面角的平面角?与二面角的平面角的大小有什么关 系?
解:当两条直线相交时,所得到的图形即为二面角的平面角.当两 直线不相交时,其对应的图形不是二面角的平面角,但这两条异面直线 所成的角或其补角与二面角的大小一样.

2.3.2

│ 自学探究

? 知识点三 两平面垂直的判定定理 垂线 文字语言: 一个平面过另一个平面的__________ , 则这两 个平面垂直. 符号语言:若直线 AB?平面 α,AB⊥平面 β,垂足为 B,则 α⊥β _____________ (简称:线面垂直?面面垂直). 图形语言:(如图 2-3-11 所示)

图 2-3-11

2.3.2

│ 典例类析

典例类析
? 题组一 求二面角的大小 【例题演练】

例 1 如图 2-3-12,已知在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC= 2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.则二面角 B-AP-C 的正弦值为( ) 6 A. 3 1 B. 2 3 C. 3 3 D. 2

图 2-3-12

2.3.2

│ 典例类析

[答案]

A

2.3.2

│ 典例类析

例 2 如图 2-3-13,在正三角形 ABC 中,AD⊥BC 于 D, 1 沿 AD 折成二面角 B-AD-C 后,BC= AB,求二面角 B-AD-C 2 的大小.

图 2-3-13

2.3.2

│ 典例类析

解:连接 BC,在等边三角形 ABC 中, ∵D 为 BC 的中点,∴AD⊥BD,AD⊥DC, ∴∠BDC 为二面角 B-AD-C 的平面角. 1 设 AB=AC=a,则 BD=CD= a. 2 1 1 又∵BC=2AB,∴BC=2a, ∴△BCD 为等边三角形,∴∠BDC=60°, ∴二面角 B-AD-C 的大小为 60°.

2.3.2

│ 典例类析

?

题组二

证明面面垂直 【例题演练】

例 1 若 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的 平面,则下列命题中的真命题是( ) A.若 m?β ,α⊥β,则 m⊥α B.若 α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则 α∥β C.若 m⊥β,m∥α,则 α⊥β D.若 α⊥γ,α⊥β,则 β⊥γ

2.3.2

│ 典例类析

[答案] C
[解析] 对于 A,由 m?β ,α⊥β 显然不能得知 m⊥α ; 对于 B,由条件也不能确定 α∥β;对于 C,由 m∥α 得,在 平面 α 上必存在直线 l∥m.又 m⊥β,因此 l⊥β,且 l?α , 故 α⊥β;对于 D,垂直于同一平面的两个平面不一定垂直, 因此 D 也不正确.

2.3.2

│ 典例类析

例 2 如图 2-3-14,已知直四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的 底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F 为棱 BB1 的中点, M 为线段 AC1 的中点. (1)求证:直线 MF∥平面 ABCD; (2)求证:平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.

图 2-3-14

2.3.2

│ 典例类析

证明:(1)延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N,连接 AN. ∵F 是 BB1 的中点,∴F 为 C1N 的中点,B 为 CN 的中 点. 又 M 是线段 AC1 的中点,故 MF∥AN. 又∵MF?平面 ABCD,AN?平面 ABCD,∴MF∥平面 ABCD.

2.3.2

│ 典例类析

(2)连接 BD,由直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 可知,AA1 ⊥平面 ABCD,又∵BD?平面 ABCD,∴A1A⊥BD.∵四边 形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A=A,AC,A1A?平面 ACC1A1,∴BD⊥平 面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中,DA∥BN 且 DA=BN,∴四边形 DANB 为平行四边形,故 NA∥BD,∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA?平面 AFC1,∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1.

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.3

2.3.4

│ 三维目标

三维目标
1.知识与技能 (1) 使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性 质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3) 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性 质定理间的相互关系.

2.3.3

2.3.4

│ 三维目标

2.过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得 对性质定理正确的认识; (2)性质定理的推理论证. 3.情感、态度与价值观 通过“直观感知、操作确认,推理证明”,培养学生空间概 念、空间想象能力以及逻辑推理能力.

2.3.3

2.3.4

│ 教学重点

教学重点
[重点] 直线与平面垂直、 平面与平面垂直的性质定理及其应用.

2.3.3

2.3.4

│ 教学难点

教学难点
[难点] 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理及其应用.

2.3.3

2.3.4

│ 教学建议

教学建议
(1)直线与平面垂直的性质定理教材中使用了反证法, 而学生对反证法不太熟悉,在教学中教师应当进行适当引 导; (2)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平 行的又一种方法,显然,在立体几何中判定两条直线平行 的方法比在平面几何中多,可让学生归纳总结,但解题的 基本思路还是通过平面或直线为桥梁,在“平行”与 “平 行”、“平行”与“垂直”之间相互转化来实现;

2.3.3

2.3.4

│ 教学建议

(3)学完了直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和 性质定理,教学中可以引导学生思考这些定理之间的相互 联系.

2.3.3

2.3.4

│ 新课导入

新课导入
[导入一] [情境导入] 大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ,在广阔的西北平原上,矗 立着一排排白杨树,它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白 杨树,它们都垂直地面,那么它们之间的位置关系如何呢?
[答案] 由直观可得这些白杨树都是平行的.

2.3.3

2.3.4

│ 新课导入

[导入二] [情境导入] 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能否在黑板上 画一条直线与地面垂直?

2.3.3

2.3.4

│ 新课导入

[答案] 在黑板所在平面内作一条直线和黑板与地面的 交线垂直即可.

2.3.3

2.3.4

│ 新课感知

新课感知
大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》 ,在广阔的西北平 原上,矗立着一排排白杨树,它们像哨兵一样守卫着祖国疆 土.一排排的白杨树,它们都垂直地面,那么它们之间的位 置关系如何呢?

2.3.3

2.3.4

│ 新课感知

解:由直观可得这些白杨树都是平行的.

2.3.3

2.3.4

│ 自学探究

自学探究
? 知识点一 直线和平面垂直的性质定理 文字语言:垂直于同一平面的两条直线 平行 . ________ 符号语言:已知直线 a,b 和平面 α,若 a⊥α, a∥b . b⊥α,那么________ 图 2-3-15

2.3.3

2.3.4

│ 自学探究

图形语言: 前面我们学习了空间中两直线的平行, 现在让我们回顾一 下证明两直线平行的方法: (1)平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线 平行; (2)公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行; (3)线面平行的性质:一条直线与一个平面平行,则过这 条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行; (4)面面平行的性质:如果两个平行平面同时和第三个平 面相交,那么它们的交线平行; (5)线面垂直的性质:垂直于同一个平面的两条直线平行.

2.3.3

2.3.4

│ 自学探究

[探究] 直线 a∥直线 b,a⊥面 α,则 b 与 α 的位置关系为 b⊥α ______________ .

2.3.3

2.3.4

│ 自学探究

? 知识点二 两个平面垂直的性质定理 垂直于交线 文字语言: 两个平面垂直, 则一个平面内_________________ 的直线与另一个平面垂直.简记为“若面面垂直,则线面垂 直”. 符号语言:若平面 α⊥β,α∩β=CD,AB AB⊥β ?α 且 AB⊥CD 于 B,则________________ .

图 2-3-16

2.3.3

2.3.4

│ 自学探究

图形语言: 面面垂直的性质定理的作用: (1)判定直线与平面垂直; (2)由平面外一点作平面的垂线时,确定垂足的位置. [ 讨论 ] 由线面垂直的性质定理知垂直于同一个平面的两 条直线平行,试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗?

解:这两个平面平行或相交,可借助于教室墙壁间的关系来解决.

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

典例类析
? 题组一 利用线面垂直的性质解决平行、垂直问题 【例题演练】

例 1 若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的 平面,则下列命题中的真命题个数是( ) ①若 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线; ②若 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线; ③已知 α,β 互相垂直,m,n 互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④m,n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m,n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

[答案]

A

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

例 2 如图 2-3-17 所示, △ABC 为正三角形, EC⊥平面 ABC, BD∥CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点. (1)求证:DE=DA; (2)求证:平面 BDM⊥平面 ECA; (3)求证:平面 DEA⊥平面 ECA.

图 2-3-17

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

证明:(1)取 AC 的中点 N,连接 MN、BN. ∵EC⊥平面 ABC,BN?平面 ABC,∴EC⊥BN. ∵△ABC 为正三角形,CN=NA,∴BN⊥CA. 又 EC∩CA=C,∴BN⊥平面 ECA. ∵△AEC 中,M、N 分别为 AE、AC 的 中点, 1 1 ∴MN EC.∵BD EC, 2 2 ∴MN BD,∴四边形 MNBD 为平行四边形, ∴MD∥BN, ∴MD⊥平面 ECA.又∵EA?平面 ECA,∴MD⊥EA. 又∵EM=MA,∴DE=DA.

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

(2)由(1)知 MD⊥平面 ECA, 又∵MD?平面 BDM, ∴平面 BDM⊥平面 ECA. (3)由(1)知 MD⊥平面 ECA,又∵MD?平面 EDA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA.

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

?

题组二

利用面面垂直的性质解决相关的垂直问题 【例题演练】

例 1 已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线,给出以下四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中 3 个为条件,余下 1 个为结论,写出你认为正确的 一个命题________.

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

[解析] ①③④?②或②③④?① [解析] 二面角为直角时两平面垂直得①③④?②; 由线 面、面面垂直的性质可得②③④?①.

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

例 2 如图 2-3-18(a),在直角梯形 ABCD 中,∠ADC= 90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC 沿 AC 折起, 使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D-ABC,如图(b)所示. (1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积.

图 2-3-18

2.3.3

2.3.4

│ 典例类析

解:(1)证明:在图(a)中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC. 因为平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC, BC⊥AC, BC?平面 ABC, 所以 BC⊥平面 ACD. (2)由(1)可知 BC 为三棱锥 B-ACD 的高, BC=2 2,S△ACD=2, 1 1 4 2 所以 VB-ACD=3Sh=3×2×2 2= 3 . 4 2 由等积性可知几何体 D-ABC 的体积为 . 3

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本章总结提升 │ 单元回眸 单元回眸

本章总结提升│ 整合创新 整合创新
? 题组一 空间中的平行、垂直关系 【例题演练】 无数 经过平面外一点,可作________ 个平面与此平面

例 1 垂直.

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例 2 如图 T2-1, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是∠DAB=60°的菱形, 侧面 PAD 为正三角形, 其所在平面 垂直于底面 ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若 E 为 BC 边的中点,能否在棱 PC 上找到一点 F,使平面 DEF⊥平面 ABCD?证明你的结论.

图 T2-1

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解:(1)证明:如图,取 AD 中点 G,连接 PG,BG,BD, ∵△PAD 为等边三角形,∴PG⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴PG⊥平面 ABCD. 在△ABD 中,∠DAB = 60 °, AD = AB , ∴△ABD 为等边三角形, ∴BG⊥AD,∴AD⊥平面 PBG,∴AD⊥PB.

本章总结提升│ 整合创新
(2)能找到,理由如下:连接 CG,与 DE 相交于点 H,在△PGC 中,作 HF∥PG,交 PC 于点 F, ∴FH⊥平面 ABCD.又∵FH?平面 DEF, ∴平面 DEF⊥平面 ABCD. 由题易知 H 是 CG 的中点,∴F 是 PC 的中点. ∴在 PC 上存在一点 F,即为 PC 的中点, 使得平面 DEF⊥平面 ABCD.

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? 题组二 线线角的求解 【例题演练】 例 在正方体 AC1 中, E, F 分别是 A1B1, B1C1 的中点, 求异面直线 DB1 与 EF 所成角的大小.(要求用多种方法)

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解:解法一:如图,连接 A1C1,B1D1,并设它们相交于点 O, 取 DD1 的中点 G,连接 OG. 则 OG∥B1D,EF∥A1C1,∴∠GOA1 为异面 直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. ∵ GA1 = GC1 , O 为 A1C1 的 中 点 , ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.

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解法二:如下图,取 A1D 的中点 H,连接 HE, 1 则 HE 2DB1. ∴∠HEF 为所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角或其补角. 2 3 连接 HF, 设 AA1=1, 则 EF= 2 , HE= 2 , 取 A1D1 的中点 I, 连接 IF, 则 HI⊥IF, ∴HF2 5 2 2 =HI +IF = . 4 ∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异 面直线 DB1 与 EF 所成的角为 90°.

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解法三:如图,分别取 AA1,CC1 的中点 M,N,连接 MN, 则 MN∥EF. 连接 DM,B1N,DN,MB1,则 B1N DM, ∴四边形 DMB1N 为平行四边形, ∴MN 与 DB1 必相交,设交点为 P,则∠DPM 即为所求角. 2 5 3 设 AA1=1,则 MP= ,DM= ,DP= , 2 2 2 ∴DM2=MP2+DP2, ∴异面直线 DB1 与 EF 所成角为 90°.

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线线、线面、面面的位置关系 【例题演练】 例 如图 T2-2 所示,在三棱锥 P-ABC 中,PA =3, AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D,E 分别是 BC,AC 的中 点,F 为 PC 上的一点,且 PF∶FC=3∶1. (1)求证:PA⊥BC; (2)试在 PC 上确定一点 G, 使平面 ABG∥ 平面 DEF; (3)在满足(2)的情况下,求二面角 G-AB -C 的平面角的正切值. 图 T2-2 ? 题组三

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解:(1) 证明:在△PAC 中, ∵PA=3,AC=4,PC=5, ∴PA2+AC2=PC2,∴PA⊥AC. 又 AB=4,PB=5, ∴在△PAB 中,同理可得 PA⊥AB, ∵AC∩AB=A,∴PA⊥平面 ABC. ∵BC?平面 ABC,∴PA⊥BC.

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(2)如图所示,取 PC 的中点 G, 连接 AG,BG.∵PF∶FC=3 ∶1, ∴F 为 GC 的中点. 又 D、E 分别为 BC、AC 的中点, ∴AG∥EF,BG∥FD. 又 AG∩GB=G, EF∩FD=F, ∴平面 ABG∥平面 DEF. 即 PC 的中点 G 为所求的点.

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(3)由(2)知 G 为 PC 的中点,连接 GE,得 EG∥PA. 又∵PA⊥平面 ABC,∴GE⊥平面 ABC. 过 E 作 EH⊥AB 于 H,连接 GH,则 GH⊥AB, ∴∠EHG 为二面角 G-AB-C 的平面角. 1 5 39 ∵S△ABE= S△ABC= , 2 8 1 又 S△ABE= AB·EH, 2 5 39 2S△ABE 4 5 39 ∴EH= = 4 = 16 . AB

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1 3 EG 3 16 又 GE = 2 PA = 2 , ∴tan ∠ EHG = = × = EH 2 5 39 8 39 , 65 8 39 ∴二面角 G-AB-C 的平面角的正切值为 65 .

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1.[2012· 浙江卷] 设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面 ) A.若 l∥α,l∥β ,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β ,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α ,则 l⊥β

(

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[解析] B 本题考查了线面、面面平行,线面、面面 垂直等简单的立体几何知识,考查学生对书本知识的掌 握情况以及空间想象、推理能力.对于选项 A,若 l∥α, l∥β,则 α∥β 或平面 α 与 β 相交;对于选项 B,若 l∥α, l⊥β,则 α⊥β;对于选项 C,若 α⊥β,l⊥α,则 l∥β 或 l 在平面 β 内;对于选项 D,若 α⊥β,l∥α,则 l 与 β 平 行、相交或 l 在平面 β 内.

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2. [2012· 浙江卷] 已知矩形 ABCD, AB=1, BC= 2. 将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在 翻折过程中,( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直

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[ 解析 ] B 本题主要考查空间几何体的判定与分析问 题.考查空间想象能力和动手操作能力. 对于 AB⊥CD,因为 BC⊥CD,由线面垂直的判定可得 CD⊥平面 ACB,则有 CD⊥AC,而 AB=CD=1,BC=AD= 2,可得 AC=1,那么存在 AC 这样的位置,使得 AB⊥CD 成立,故应选 B.

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3. [2012· 四川卷] 如图 T2-3 所示, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 CD,CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成 的角的大小是________.

图 T2-3

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[答案] 90° [解析] 因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,故 A1 在平面 CDD1C1 上的射影为 D1, 即 A1M 在平面 CDD1C1 上的射影为 D1M, 1 而在正方形 CDD1C1 中,由 tan∠DD1M=tan∠ CDN= , 2 可知 D1M⊥DN, 由三垂线定理可知,A1M⊥DN.

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4.[2012· 山东卷] 如图 T2-4 所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为 ________.

图 T2-4

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1 [答案] 6 [解析] 本题考查棱锥的体积公式, 考查空间想象力与转化能力, 容易题. 1 1 1 VA-DED1=VE-DD1A=3×2×1×1×1=6.

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5.[2012· 湖北卷] 某个实心零部件的形状是如图 T2-5 所示的几何 体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等 的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1 -ABCD ,上部是一个底面与四棱台的上底面 重合,侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2. (1)证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知 AB =10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:cm) ,每平 方厘米的加工处理费为 0.20 元, 需加工处理费多少元? 图 T2-5

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解:(1)证明:因为四棱柱 ABCD-A2B2C2D2 的侧面是全等的矩形, 所以 AA2⊥AB,AA2⊥AD,又因为 AB∩AD=A,所以 AA2⊥平面 ABCD. 连接 BD,因为 BD?平面 ABCD,所以 AA2⊥BD. 因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD. 根据棱台的定义可知,BD 与 B1D1 共面. 又已知平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,且平面 BB1D1D∩平面 ABCD =BD, 平面 BB1D1D∩平面 A1B1C1D1=B1D1,所以 B1D1∥BD.于是 由 AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得 AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1, 又因为 AA2∩AC=A,所以 B1D1⊥平面 ACC2A2.

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(2)因为四棱柱 ABCD-A2B2C2D2 的底面是正方形, 侧面是全等 的矩形,所以 S1=S 四棱柱上底面+S 四棱柱侧面 =(A2B2)2+4AB· AA2=102+ 4×10×30=1 300(cm2). 又因为四棱台 A1B1C1D1-ABCD 的上、下底面均是正方形,侧 面是全等的等腰梯形.

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所以 S2=S 四棱台下底面+S 四棱台侧面 1 2 =(A1B1) +4×2(AB+A1B1)h 等腰梯形的高 1 =20 +4×2(10+20)
2

13

2

?1 ?2 -?2(20-10)? ? ?

=1 120(cm2). 于是该实心零部件的表面积为 S= S1 + S2= 1 300 +1 120 = 2 420(cm2), 故所需加工处理费为 0.2S=0.2×2 420=484(元).

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6. [2012· 江苏卷] 如图 T2-6, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, A1B1 =A1C1, D, E 分别是棱 BC, CC1 上的点(点 D 不同于点 C), 且 AD⊥DE, F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

图 T2-6

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证明: (1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC, 又 AD?平面 ABC,所以 CC1⊥AD. 又因为 AD⊥DE,CC1,DE?平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD?平面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1.

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(2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点, 所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1,且 A1F?平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1,B1C1?平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以 A1F∥AD. 又 AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, 所以 A1F∥平面 ADE.



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