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2012年新课标理科数学高考模拟试题


南宫中学高三年级易错题训练( 南宫中学高三年级易错题训练(一) 中学 理科数学 理科数学
命题人 王震 本卷分第 Ι 卷(选择题)和第 ΙΙ 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 Ι 卷(选择题,共 60 分) 一 选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上.) 1.已知全集 U = R .集合 A = {x | x < 3}, B = {x | log 2 x < 0} ,则 A ∩ CU B = ( A. )

C.

80 3

D.

8 +8 2 3

8.算法如图,若输入 m=210,n = 119,则输出的 n 为 ( A .2 B.3 C.7 D. 11
3 9. 函数 f ( x ) = x + x, x ∈ R ,当 ?

)

{ x 1 < x < 3}

B.

{ x 1 ≤ x < 3}

C.

{ x x < 3}

D. {x | x ≤ 0或1 ≤ x < 3} ) D. ?i

π
2

[来源:Z|xx|k.Com]

< θ ≤ 0 时,


2.已知复数 z 满足 ( z ? 2) i = 1 + i ,那么复数 z 的虚部为( A.1 B.-1 C. i

f ( m cos θ ) + f (1 ? m) > 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是(
A. (0,1) B. ? ? ∞, ?

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线的离心率为 5 ,则它的渐近线方程为 A. y = ±2 x

? ?

1? 2?

C. (? ∞,1)

D. ( ?∞,1]

5 B. y = ± x 2
,则 B. 4
2

1 C. y = ± x 2
= ( C.3.5 )

D. y = ± 6 x

10.棱长均为 1 三棱锥 S ? ABC ,若空间一点 P 满足 SP = xSA + ySB + zSC ( x + y + z = 1) ,则 | SP | 的 最小值为( ) B.

uur

uur

uur

uuu r

uur

4.已知 A. 3

A. 1 D. 4.5

6 3

C.

3 6

D.

3 2

5.已知命题 p1 : ?x ∈ R ,使得 x + x + 1 < 0 ; p2 : ?x ∈ [1,2] ,使得 x ? 1 ≥ 0 .以下命题为真命题
2

11. 点 A、B、C、D 均在同一球面上,其中 体积为 ( ) B.
2

是正三角形,AD 平面 ABC,AD=2AB=6,则该球的

的为 (

) A. C. D. B. p1 ∨ ?p2 C. ?p1 ∧ p2 D. p1 ∧ p2 12. 设 F1 、 F2 是 双 曲 线 x ?

A. ?p1 ∧ ?p2

6.某农科院在 3×3 的 9 块试验田中选出 3 块种植某品种水稻进行试验, 则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为 ( ) A.

y2 =1 的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点 P,使 4


1 56

B.

1 7

C.

1 14

D.

3 14
)

uuu uuuu uuuu r r r (OP + OF2 ) ? F2 P = 0 (O 为坐标原点)且 | PF1 |= λ | PF2 | 则 λ 的值为(
A.2 B.

7.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

1 2

C.3

D.

1 3

A.

64 3

第 ΙΙ 卷(非选择题,共 90 分) 二 填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上.) B.32 13.学校要安排 4 名学生在周六、周日参加社会实践活动,每人必须参加且只参加一次,要求每天至 少 1 人,则学生甲被安排在周六的不同排法的种数为
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(用数学作答).

14. 若圆 x + y ? 4 x ? 4 y ? 10 = 0 上恰有三个 不同的点到直线 l : y = kx 的距离为 2 2 ,则 k = ____
2 2

(1)求椭圆 M 的标准方程; (2)设点 N(t,0)是一个动点,且 ( NA + NB ) ⊥ AB ,求实数 t 的取值范围。 21.(本小题满分 l2 分)已知函数 f ( x ) = ln x ? a ( x ? 1) , a ∈R. (I)讨论函数 f (x ) 的单调性; (Ⅱ)当 x ≥ 1 时, f ( x ) ≤

uuu uuu r r

uuu r

y = 1的右焦点为F,点P是渐近线上的点,且 OP = 2,则 PF = ____ 3 16 . 已 知 ?ABC 中 , 角 A , B , C 所 对的 边 分 别 为 a , b , c , 外 接圆 半 径 是 1 , 且 满 足 条件
15. 双曲线x 2 ?

2

2 sin 2 A ? sin 2 C = (sin A ? sin B )b ,则 ?ABC 的面积的最大值为
17.(本小题满分 l2 分) 在等比数列 {a n } 中,已知 a 2 a3 = 32, a 5 = 32 .

(

)

.

三 解答题(本大题 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

ln x 恒成立,求 a 的取值范围. x +1

(Ι) 求数列 {a n } 的通项公式; (ΙΙ ) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,求 S1 + 2 S 2 + L nS n .
18.(本小题满分 l2 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为菱形,

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,以 B 为圆心的圆 B 与圆 O 的一个交点为 P.过点 A 作直线交圆 O 于点 Q,交圆 B 于点 M、N.

∠ ABC=60 o ,EC ⊥ 面 ABCD,FA ⊥ 面 ABCD,G 为 BF 的中点,
若 EG//面 ABCD.

(I )求证:QM=QN; (I)求证:EG ⊥ 面 ABF; ( I I ) 设圆 O 的半径为 2,圆 B 的半径为 1,当 AM= (Ⅱ)若 AF=AB,求二面角 B—EF—D 的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)某班甲、乙两名同学参加 l00 米达标训练,在相同条件下两人 l0 次训练的成绩 (单位:秒)如下: 23(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线 l 时,求 MN 的长.

的参数方程为 (I)请画出适当的统计图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比赛,从成绩的稳定性 方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统计图直接回答结论). (Ⅱ)从甲、乙两人的 10 次成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个低于 12.8 秒的概率. (III)经过对甲、乙两位同学的若干次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5]之间, 现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 M 的中心为坐标原点 ,且焦点在 x 轴上,若 M 的一个顶点恰好是 ( I ) 求不等式

(t 为参数,

),曲线 C 的极坐标方程为



(I )求曲线 C 的直角坐标方程: (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值.

24(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 . 的解集 S :

1 抛物线 y = 8 x 的焦点,M 的离心率 e = ,过 M 的右焦点 F 作不与坐标轴垂直的直线 l ,交 M 2
2

(II )若关于 X 不等式

有解,求参数 t 的取值范围.

于 A,B 两点。
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易错题答案 选择:DBCCCC/CCCDB/AA 填空: 13. 7 14. 2 ± 3
n

15. 2或2 3

16.

3 3 4

17 解: (1) a n = 2 ……………..5 分 (2)设所求和为 Tn = ( n ? 1) 2 18. (本小题满分 12 分)
n+2

? n 2 ? n + 4 ………………12 分

EF =(0,-2,1) , EB =( 3 ,-1,-1),
解:(Ⅰ)取 AB 的中点 M,连结 GM,MC,G 为 BF 的中点, 设平面 BEF 的法向量 n1 =( x, y , z )则

DE =( 3 ,1, 1),………………8 分

?? 2 y + z = 0 ? ? 3x ? y ? z = 0

令 y = 1 ,则 z = 2, x =

3,

∴ n1 =( 3 ,1,2 )…………………10 分 同理,可求平面 DEF 的法向量 设所求二面角的平面角为 θ ,则 所以 GM //FA,又 EC ⊥ 面 ABCD, FA ⊥ 面 ABCD, ∵CE//AF, 19.(本小题满分 12 分) ∴CE//GM,………………2 分 解:(Ⅰ) Ⅰ ∵面 CEGM ∩ 面 ABCD=CM, EG// 面 ABCD, ∴EG//CM,………………4 分 ∵在正三角形 ABC 中,CM ⊥ AB,又 AF ⊥ CM ∴EG ⊥ AB, EG ⊥ AF, ∴EG ⊥ 面 ABF.…………………6 分 (Ⅱ)建立如图所示的坐标系,设 AB=2, 则 B( 3 ,0,0 )E(0,1,1) F(0,-1,2) 或
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n2 =(- 3 ,1,2 )

cos θ = ?

1 .…………………12 分 4

2分

如图阴影部分面积即为 3 × 3 ? 2.2 × 2.2 = 4.16 ,则

P ( x ? y < 0.8) = P (?0.8 + x < y < 0.8 + x) =
…………12 分

4.16 104 = . 3 × 3 225

20. (Ⅰ)椭圆 M 的标准方程:

x2 y2 + =1 4 3

(4 分)

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,设 l : x = my + 1 (m ∈ R, m ≠ 0 )

………………2 分 从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小,应选派乙同学代表班级 同学代表班级参加比赛更 同学代表班级 好;………………4 分 (Ⅱ)设事件 A 为:甲的成绩低于 12.8,事件 B 为:乙的成绩低于 12.8,

? x = my + 1 ? 2 ? 3m 2 + 4 y 2 + 6my ? 9 = 0 y2 ?x + =1 ?4 3 ?

(

)

由韦达定理得 y1 + y 2 = ?

6m 3m 2 + 4



(6 分)

( NA + NB) ⊥ AB ? NA = NB ?

(x1 ? t )2 + y1 2 = (x2 ? t )2 + y 2 2 ? (x1 ? x 2 )(x1 + x2 ? 2t ) + (y1 2 ? y 2 2 ) = 0
将 x1 = my1 + 1 , x 2 = my 2 + 1 代入上式整理得:

( y1 ? y 2 )[(m 2 + 1)( y1 + y 2 ) + m(2 ? 2t )] = 0 ,由 y1 ≠ y 2 知

(m
6 6 16 × = 则甲、乙两人成绩至少有一个低于 12.8 秒的概率为: 1 ? ;………8 分(此部分,可根据 10 10 25
解法给步骤分:2 分) (Ⅲ)设甲同学的成绩为 x ,乙同学的成绩为 y , 则 x ? y < 0.8 ,……………10 分 得 ?0.8 + x < y < 0.8 + x ,

2

+ 1 ( y1 + y 2 ) + m(2 ? 2t ) = 0 ,将①代入得 t =

)

1 3m + 4
2

(10 分)

所以实数 t ∈ ? 0, ? 21. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0,+∞), f ( x) =
'

? ?

1? 4?

(12 分)

1 ? ax , x

若 a ≤ 0, 则 f ' ( x ) > 0, ∴ f ( x) 在 (0,+∞) 上单调递增,……………2 分 若 a > 0, 则由 f ' ( x ) = 0 得 x =

1 1 ,当 x ∈ (0, ) 时, f ' ( x ) > 0, 当 a a

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1 1 1 x ∈ ( ,+∞) 时, f ' ( x) < 0 ,∴ f (x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,+∞) 单调递减. a a a
所以当 a ≤ 0 时, f ( x ) 在 (0,+∞) 上单调递增, 当 a > 0 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,+∞) 单调递减.……………4 分 (Ⅱ) f ( x ) ?

1 a

1 a

ln x x ln x ? a ( x 2 ? 1) = , x +1 x +1

令 g ( x ) = x ln x ? a ( x 2 ? 1)( x ≥ 1) ,

g ′( x ) = ln x + 1 ? 2ax ,令 F ( x ) = g ′( x ) = ln x + 1 ? 2ax ,

F ′( x) =

1 ? 2ax ,………………6 分 x

(1)若a ≤ 0, F ′( x) > 0 , g ′(x)在 [1, + ∞ ) 递增,g ′(x) ≥ g ′(1) = 1-2a > 0

∴ g ( x)在[1,+∞)递增, g ( x) ≥ g (1) = 0 ,
lnx ≥ 0, 不符合题意 .……………8 分 x +1 1 1 1 (2) 若0 < a < , 当x ∈ (1, ), F ′( x ) > 0,∴ g ′( x )在(1, )递增 , 2 2a 2a 从而f(x) -

从而g ′(x) > g ′(1) = 1-2a, 以下论证同(1)一样,所以不符合题意 .……………10 分
(3)若a ≥ 1 , F ′( x ) ≤ 0在 [1, +∞ ) 恒成立 , 2

∴ g ′(x)在[1,+∞ )递减,g ′(x) ≤ g ′(1) = 1 - 2a ≤ 0 ,
从而g(x)在[1,+∞ )递减,∴ g ( x ) ≤ g (1) = 0, f ( x ) ?
?1 ?2 ? ?
ln x ≤ 0, x +1

综上所述, a 的取值范围是 ? ,+∞ ? ………………12 分

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