9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

10.线性系统的多项式矩阵描述共18页文档_图文

第10章 线性系统的多项式矩阵描述
10.1 多项式矩阵描述
前已讲过,多项式矩阵描述(PMD) P(s)?(s)=Q(s)u(s) y(s)=R(s) ?(s)+W(s)u(s)
它是系统的内部描述,是最一般的描述。 不可简约PMD
{P(s),Q(s)}左互质,且{P(s),R(s)}右互质 不可简约PMD不唯一 {P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约 ?{U(s)P(s)V(s),U(s)Q(s),R(s)V(s),W(s)}不可简约
U(s),V(s)为单模矩阵
05级研究生《线性系统理论》教案

由可简约PMD求不可简约PMD (1){P(s),Q(s)}非左互质,{P(s),R(s)}右互质
此时,P(s),Q(s)有非单模的gcld, 设为H(s), 非奇 则
P(s) ? H (s)P (s)
Q (s) ? H (s)Q (s) P ( s ), Q ( s )左互质 P ( s )? ( s ) ? Q ( s )u ( s )两边左乘 H ?1 ( s ), 得

? P (s )? (s ) ? Q (s )u (s )

? ?

y(s)

?

R

( s )?

(s)

?

W

(s )u (s )

不可简约

rank

?P

? ?

R

(s)?

(

s

)

? ?

?

rank

? ? ?

P R

(s)?

(

s

)

? ?

,



P

(s

),

R

(

s )右互质

.

04级研究生《线性系统理论》教案

(2) P(s),Q(s)左互质,P(s),R(s)非右互质 P(s),R(s)有非单模的gcrd, 设为F(s), 必非奇 P(s) ? P (s)F (s)
R(s) ? R (s)F (s) P ( s ), R ( s )右互质 原描述可写成

? P (s ) F (s)? (s) ? Q (s)u (s)

? ?

y(s)

?

R

(s)F

( s )?

(s)

?

W

( s )u ( s )

设 ?~ ( s ) ? F ( s )? ( s ), 则

?? P ( s )?~ ( s ) ? Q ( s )u ( s )

? ??

y(s)

?

R

( s )?~ ( s )

?

W

(s )u (s )

不可简约

? ? rank ?P ( s ) Q ( s ) ? ? rank P ( s ) Q ( s ) , 故 P ( s ), Q ( s )左互质 .

04级研究生《线性系统理论》教案

(3)前两种情况的组合 P(s),Q(s)非左互质,消去其gcld H(s), 得

? H ?1 (s ) P (s )? (s ) ? H ?1 (s)Q (s )u (s)

? ?

y(s)

?

R

(s

)?

(s

)

?

W

(

s )u ( s )

再消去 H ?1 ( s ) P ( s )和 R ( s )的 gcrd ?~ ( s ) ? F ( s )? ( s )

F ( s ) ,即做代换

?? H ?1 ( s ) P ( s ) F ?1 ( s )?~ ( s ) ? H ?1 ( s )Q ( s )u ( s )

? ??

y(s)

?

R(s)F

?1 ( s )?~ ( s )

?

W

( s )u ( s )

P~ ( s ) ? H ?1 ( s ) P ( s ) F ?1 ( s ), Q~ ( s ) ? H ?1 ( s )Q ( s )

R~ ( s ) ? R ( s ) F ?1 ( s ), W ( s )

{P~ ( s ), Q~ ( s ), R~ ( s ), W ( s )}即为不可简约

04级研究生《线性系统理论》教案

10.2 PMD的状态空间实现
一. 定义 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)},若能找到状态空间描述
{A,B,C,E(p)},使
R(s)P?1(s)Q(s)?W(s)?C(sI?A)?1B?E(s) 则{称 A,B,C,E(p)为 } 给 PM 定 的 D实 . 现
实现不唯一,有维数最小的一类实现,称为最小实现。最小 实现能控且能观,不同的最小实现间代数等价。
二 . 算法:以构造观测器形实现为最简便 已知:{P(s),Q(s),R(s),W(s)}, 求实现
04级研究生《线性系统理论》教案

思路:

前面已讲过的MFD实现方法,要求分母矩阵行(列)既约, 严格真;
在P(s)?(s)=Q(s)u(s)中,先求?(s)?P?1(s)Q (s)u(s)
的实现。

步骤:

先把 P?1(s)Q(s) 化成满足左MFD求实现的条件,即P(s)

化为行既约Pr,?1(s)Qr(s)

严格真;

?(s)?P?1(s)Q(s)u(s)?[? M? (s? )P? (s? )]?1[? M? (s? )Q ? (s? )u](s)

Pr(s)

Qr(s)

?Pr?1(s)Qr(s)u(s)?[Y(s)?? Pr?? 1(s? )Q ? r(? s)]u(s)

strictplyroper

04级研究生《线性系统理论》教案

对 Pr?1(s)Qr(s) 求观测器形实现(利用上节方法), 得 {Ao,Bo,Co}, 必有
???Co (sI ? Ao )?1Bo ? Pr?1(s)Qr (s) ??( Ao , Co )observable
?(s) ? [Pr?1(s)Qr (s) ?Y(s)]u(s)
? Co (sI ? Ao )?1Bou(s) ?Y(s)u(s) 总之
y(s)?R(s)?(s)?W(s)u(s)
? ? R(? s)C ? o (sI?Ao)?1Bou(s)?[R(s)Y(s)?W(s)]u(s)
?X(s)(sI?Ao)?Co
?Co(sI?Ao)?1Bou(s)?[X(s)Bo ?R(s)Y(s)?W(s) ]u(s) ?Co(sI?Ao)?1Bou(s)?E(s)u(s)
04级研究生《线性系统理论》教案

实现为 {Ao,Bo,Co,E(p)} 三. 最小实现
当且仅当PMD为不可简约时,其维数为n=deg detP(s) 的任何实现均为最小实现。
04级研究生《线性系统理论》教案

10.3 PMD的互质性和状态空间表达的能控性、能观性

互质性与能控性、能观性的等价性

1. 给定{P(s),Q(s),R(s),W(s)},其维数为n=deg detP(s)=dim A的一个实现为{A,B,C,E(p)},则

{P(s),Q(s)}左互质?{A,B}能控

{P(s),R(s)}右互质?{A,C}能观

2. 对右MFD,N (s )D ? 1 (s )? N (s )D ? 1 (s )I? E (s )

能控类实现:{A,B,C,E},dim A=deg detD(s)

则:{D(s),N(s)}右互质?{A,C}能观

(已经能控)

对左MFD, D L ? 1 ( s ) N L ( s )? IL ? 1 D ( s ) N ( s ) ? E ( s )

能观类实现:{A,B,C,E}d, im A?dedgeDtL(s)则 ,

{DL(s),NL(s)} 右互 ? { 质 A,B}能控

04级研究生《线性系统理论》教案

3. 对{A,B,C,E(p)}, G (s)? C (s? IA )? 1B ? E (s) {A,B}能控?{sI-A,B}左互质 {A,C}能观?{sI-A,C}右互质 此即为PBH秩判据的结论。
4. SISO系统{A,b,c},
g (s)? c (s? IA )? 1 b ? c?a(s d? IA j)?b? N (s) ds e? ItA )( ? (s)
则 {系统完全能控且能观} ?g(s)无零极点相消 {系统完全能控} ?adj(sI-A)b和?(s)无零极对消现象 {系统完全能观} ?c adj(sI-A)和?(s)无零极对消现象
04级研究生《线性系统理论》教案

10.4 系统的零极点

一般地,系统的零、极点与传递函数矩阵的零极点不 是等同的,后者包含在前者之中,是前者的一个子集。

同一系统,其PMD为{P(s),Q(s),R(s),W(s)},

系统极点是det P(s)=0的 根

状态空间描述为{A,B,C,E}

的根

系统极点是det(sI-A)=0

以上二者是等同的。

系统极点并不全是传递函数矩阵的极点,因求传递 函数矩阵时可能发生零极对消。

对消掉的零极0点4级研不究包生《含线性在系传统理递论》函教案数矩阵中,成为系

1. 输入解耦零点(input decoupling zero)
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}中,P(s)、Q(s)存在非单模的gcld H(s),即P(s)?H(s)P(s),Q(s)?H(s)Q(s),则
G(s)?R(s)[H(s)P(s)]?1[H(s)Q(s)]?W(s)
?R(s)P(s)?1Q(s)?W(s)

可见,H(s)中的gcld H(s)在传递函数矩阵中消失了,这 导致了零极点对消。

定义:det H(s)=0的根为输入解耦零点。

意义:这种对消的零极点使系统的输入与分状态之间解除了 耦合,即输入信号不能影响这些极点所对应的状态。

由于

?[P(s) Q(s)]?H(s)[P(s) Q(s)] ? ?ra[nP(ks) Q(s)]?m,?s?C

所以,输入零点又等于04使级研[究P生(s《)线性Q系(统s)理]论行》降教案秩的s值。

2. 输出解耦零点(output decoupling zero)
若P(s)和R(s)存在非单模的gcrd F(s)
P(s) ? P(s)F(s)
R(s) ? R(s)F(s) 则G(s) ? [R (s)F (s)][P (s)F(s)]?1Q(s) ?W (s) ? R (s)P (s)?1Q(s) ?W (s) 可见, F(s)被消去了. 定义: det F(s) ? 0的根为输出解耦零点.
同前, 输出解耦零点又等同于使??? RP((ss))???降秩的所有s值.
意义:输出解耦零点使输出与分状态之间的耦合解除了,即分 状态不完全反映到系统输出中去。
04级研究生《线性系统理论》教案

3. 输入输出解耦零点

若P(s)和Q(s)存在非单模的左公因子L(s), (不一定gcld)

同时P(s)和R(s)也存在非单模的右公因子L(s)



P(s) ? L(s)P1(s) Q(s) ? L(s)Q1(s)

P(s) ? P2(s)L(s) 则

R(s) ? R1(s)L(s)

G(s) ? R(s)P1?1(s)Q1(s) ?W(s) ? R1(s)P2?1(s)Q(s) ?W(s)

显然,L(s)的零点都是解耦点,并且既是i.d.z., 又是o.d.z. 这样的L(s) 的零点称为输入输出解耦零点,i.o.d.z

04级研究生《线性系统理论》教案

注: 求传递函数矩阵时,应消去P(s)与Q(s)的左公因子 和P(s)和R(s)的右公因子,使传递函数矩阵的零极 点不包含解耦零点。 若记P和Z为传递矩阵的极点、零点,则系统的极点 Ps和零点Zs分别为
Ps ?P?i.d.z?o.d.z?i.o.d.z
Zs ?Z?i.d.z?o.d.z?i.o.d.z

输入

传递矩阵的零极点
O.d.z I.o.d.z I.d.z
04级研究生《线性系统理论》教案

输出

以系统矩阵表示的零极点
? P(s) Q(s)??i.d.z:使其行降秩s值 的 ???R(s) W(s)?? ?
o.d.z 使其列降秩s值 的
同时使系统矩阵行降秩和列降秩的s值。
若{P(s),Q(s),R(s),W(s)}不可简约,即为最小阶系 统,它不存在解耦零点。此时系统的零极点与传递 矩阵的零极点完全一致。
04级研究生《线性系统理论》教案

考试复习要求
第5章及以后的内容 课堂讲述的内容为准
04级研究生《线性系统理论》教案

谢谢!



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图