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高中数学第一章推理与证明12综合法与分析法分析法(1)北师大版2-2!


分析法
一、教学目标:1、结合已经学过的数学实例,了解直接证明的基本方法之一:分析法;2、 了解分析法的思考过程、特点。 二、教学重点:了解分析法的思考过程、特点;难点:分析法的思考过程、特点。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:综合法的思考过程、特点 (二) 、引入新课 在数学证明中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后 达到题设的已知条件。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,它是寻求解题思路的一 种基本思考方法,应用十分广泛。从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每一步结 论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止,这种 证明的方法叫做分析法.这个明显成立的条件可以是:已知条件、定理、定义、公理等。 特点:执果索因。即:要证结果 Q,只需证条件 P (三) 、例题探析 例 1、已知:a,b 是不相等的正数。求证: a ? b ? a b ? ab 。
3 3 2 2

证明:要证明 a ? b ? a b ? ab
3 3 2

2

只需证明 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) ,
2 2

只需证明 (a ? b)(a ? ab ? b ) ? ab(a ? b) ? 0 ,
2 2

只需证明 (a ? b)(a ? 2ab ? b ) ? 0 ,
2 2

只需证明 (a ? b)(a ? b) ? 0 ,
2

只需证明 (a ? b) ? 0且(a ? b) ? 0 。
2

由于命题的条件“a,b 是不相等的正数” ,它保证上式成立。 这样就证明了命题的结论。 例 2、求证: 8 ? 7 ? 5 ? 10 。 证明:要证明

8 ? 7 ? 5 ? 10 ,

-1-

只需证明 ( 8 ? 7 ) 2 ? ( 5 ? 10) 2 , 即 8 ? 7 ? 2 56 ? 5 ? 10 ? 2 50 , 只需证明

56 ? 50 ,

即 56>50,这显然成立。 这样就证明了 8 ? 7 ? 5 ? 10 例 3、求证:函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 12x ? 16 在区间(3,+∞)上是增加的。 证明:要证明函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 12x ? 16 在区间(3,+∞)上是增加的, 只需证明 对于任意 x1 , x2 ∈(3,+∞) ,且 x1 > x2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 只需证明 对任意的 x1 > x2 >3,有
2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? (2 x12 ? 12x1 ? 16)(2 x 2 ? 12x 2 ? 16) 2 ? 2 x12 ? 2 x 2 ? (12x1 ? 12x 2 )

? 2( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ? 12( x1 ? x 2 ) ? 2( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ? 6) ? 0
∵ x1 > x2 >3 ∴ x1 - x2 >0,且 x1 + x2 >6,它保证上式成立。 这样就证明了:函数 f ( x) ? 2 x ? 12x ? 16 在区间(3,+∞)上是增加的。
2

(四) 、小结:分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知,其逐步推理,实际上是寻找 它的充分条件。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是 从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综 合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。 对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路 的两种基本思考方法,应用十分广泛。 (五) 、练习:课本 P 11 练习 1:1、2。 (六) 、作业:课本 P 12 习题 1-2 五、教后反思: 4、5。

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