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2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷


2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
一. 选择题(共 6 小题,每题 6 分)
2 1.设 1 ? x ? x

?

?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? a2 n x 2 n ,求 a2 ? a4 ? ? ? a2n 的值为
n

(A) 3

n

(B) 3 ? 2

(C)

3n ? 1 2

(D)

3n ? 1 2

答: 【



2.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是 (A) [?2, 2] 3.设 f1 ( x) ? (B) [?1, 1] (C)

[0, 3]

(D)

[? 3, 3]

答: 【



2 , f2 ( x) ? sin x ? cos 2x , f3 ( x) ? sin

x ? cos 2 x , f 4 ( x) ? sin x2 , 2
答: 【 】

上述函数中,周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4.正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4)

(4) 正五边形 (D) (3)(4)(5)

(5) 正六边形 答: 【 】

5.已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13, c ? a ? 3 , c ? b ? 4 。则对于任意 实数 t1,t2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是 (A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答: 【 】

6.设函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 ,则方程 f ( x) ? x 根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个 (C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 二.填空题(共 6 小题,每题 9 分) 7. 设 M ? ? x

答: 【



? x ?2 x ?3 ? x ?6 x ?5 3 2 ? 5 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ,N ? ? x ? ,求 2 x ? 2 x ? 3? 6 x ? 6 x ? 5? ? 3 ? 5
。 。

M ?N=

8. 已知数列 xn ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x2005 =

1 3x3 ? x 2 ? 4 x ? 3 9. 设函数 2 f ( x) ? x f ( ) ? ,则 f ( x) ? x x ?1
2
2 2



10. 设命题 P: c ? c 和命题 Q: 对任何 x ? R , x ? 4cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实 数 c 的取值范围是 。

11. 在 x 轴的正方向上, 从左向右依次取点列

?A ?, j ? 1,2,?,以及在第一象限内的抛物线
j

y2 ?

3 x 上从左向右依次取点列 ?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等 2


边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 y 12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从 原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)方向行走一段时

P(x,y) A

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。

?
O

x

三. 解答题 13.(20 分)设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 ?PF F2 的顶点 P 在第 1 一象限的双曲线上移动, 求 ?PF F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF2 上的切点 1 轨迹。

? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1, x2 ,?xn ? R ,定义 S n ? ? ? xi ? 2 ? n xi ? i ?1 ? ?
?
n

2

1)求 Sn 的最小值; 2)在 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 条件下,求 Sn 的最小值;
2 2 2

3)在 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 条件下,求 Sn 的最小值, 并加以证明。

15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器, 要求第一个和最后一个岗位不配备 新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器, 相邻两个岗位不同时配备新式 武器,问共有多少种配备新式武器的方案?

2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案

一 选择题 C D 二 填空题 7.

B

B

C

D

?0 ?
? 1 ? ?1 ? , 0? ? ? , 1? ? 2 ? ?2 ?

8.

2005!?1 2005!

9. x ? 3 x ? 6 ?
2

5 x ?1

10. ? ?

11. 2005

12. 100π - 200

以下是详细解答 一. 选择题
2 1.设 1 ? x ? x

?

?

n

? a0 ? a1 x ? ? ? a2 n x 2 n ,求 a2 ? a4 ? ? ? a2n 的值为
n

(A) 3 【解】 :

n

(B) 3 ? 2

(C)

3n ? 1 2

(D)

3n ? 1 2

答: 【 C 】 (1) (2) (3)

令 x ? 0 得 a0 ? 1 ; 令 x ? ?1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ? 1; 令 x ? 1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2n ? 3n ; (2)+(3)得 2(a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a2n ) ? 3n ? 1, 故 a0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?

3n ? 1 , 2

再由(1)得 a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?

3n ? 1 。 2

?选 【 C 】

2.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是 (A) [?2, 2] (B) [?1, 1] (C)

[0, 3]

(D)

[? 3, 3]

答: 【 D 】

2 2 2 【解】 :设 cos x ? cos y ? t , ? cos x ? 2 cos x cos y ? cos y ? t 。

又由 sin x ? sin y ? 1 ,故 sin 2 x ? 2 sin x sin y ? sin 2 y ? 1。 因此有 2(cosx cos y ? sin x sin y) ? t 2 ? 1 ,即 2 cos(x ? y) ? t 2 ? 1 由于 ? 1 ? cos(x ? y) ? 1 ,所以有 t 2 ? 3 ,即 ? 3 ? t ? 3 。

?选 【 D 】

3.设 f1 ( x) ?

2 , f2 ( x) ? sin x ? cos 2x , f3 ( x) ? sin

x ? cos 2 x , f 4 ( x) ? sin x2 , 2
答: 【 B 】

上述函数中,周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 【解】 f1 ( x) ? :

(D) 4

2 是以任何正实数为周期的周期函数;
2? 2

f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 ? 2? 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2 ?
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数,故 f 2 ( x) 不是周期函数。

f 3 ( x) 是 周 期 函 数 。 因 为 sin
T2 ? 2? 2

x 2

是 以 T1 ? 2 2? 为 周 期 的 周 期 函 数 , cos 2 x 是 以

为周期的周期函数, 而

T1 ? 2 ,故 f 3 ( x) 是周期函数。 T2

f 4 ( x) ? sin x 2 不是周期函数。
因此共有 2 个周期函数。 4.正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4)

?选 【 B 】

(4) 正五边形 (D) (3)(4)(5)

(5) 正六边形 答: B 】 【

【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角 三角形,直角三角形(证明略) ;对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形) 、平行四边形、菱 形,矩形、但不可能是直角梯形(证明略) ;对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是 正五边形(证明略) ;对六边形来讲,可以是六边形(正六边形) 。 ?选 【 B 】 5.已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13, c ? a ? 3 , c ? b ? 4 。则对于任意 实数 t1,t2 , | c ? t1 a ? t2 b | 的最小值是

(A) 5 (B) 7 【解】 :由条件可得
2

(C) 12
2

(D) 13
2 2

答: 【 C 】

c ? t1 a ? t 2 b ? c ? 6t1 ? 8t 2 ? t1 ? t 2

? 169? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2 ? 25 ? 144? (t1 ? 3) 2 ? (t 2 ? 4) 2
? 144
当 t1 ? 3, t 2 ? 4 时, c ? t1 a ? t 2 b
2

? 144 。

?选 【 C 】

6.设函数 y ? f (x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 ,则方程 f ( x) ? x 根的个数可能是 (A) 无穷多 (C) 有限个 (B) 没有或者有限个 (D) 没有或者无穷多

答: 【 D



【解】 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 :

显然有解 f ( x) ? x ? C ,其中 C 为任意实数。

当 C ? 0 时, f ( x) ? x 没有解。 当 C ? 0 时, f ( x) ? x 有无穷多个解。

?选 【 D 】

二.填空题 7. 设 M ? ? x

? x ?2 x ?3 ? x ?6 x ?5 3 2 ? 5 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ,N ? ? x ? ,求 2 x ? 2 x ? 3? 6 x ? 6 x ? 5? ? 3 ? 5

M ?N=

?0 ?



【解】 :由已知可以解出 M ? ?0, 5, 故 M ? N ? ?0?.

? ?

13? 61? ? ? , N ? ?0, 11, ?。 5? 11? ?

12. 已知数列 xn ,满足 (n ? 1) xn ?1 ? xn ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x2005 =

2005!?1 。 2005!

【解】 :由 (n ? 1) xn?1 ? xn ? n ,推出 x n ?1 ? 1 ? 因此有

xn ? 1 。 n ?1

xn?1 ? 1 ?
即有 x n ?1 ?

xn ? 1 xn?1 ? 1 xn?2 ? 1 x1 ? 1 1 . ? ? ??? ? n ? 1 (n ? 1)n (n ? 1)n(n ? 1) (n ? 1)n(n ? 1) ?2 (n ? 1)!

2005!?1 1 。 ? 1 。 从而可得 x 2005 ? 2005! (n ? 1)!

13. 设函数 2 f ( x) ? x f ( ) ?
2

1 x

5 3x3 ? x 2 ? 4 x ? 3 2 ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 6 ? 。 x ?1 x ?1

【解】 令 x ? :

1 1 3y3 ? 4 y 2 ? y ? 3 ,得 f ( y ) ? 2 y 2 f ( ) ? 。把 y 改为 x 得 y y y ?1
――――――――― (1)

1 3x 3 ? 4 x 2 ? x ? 3 f ( x) ? 2 x 2 f ( ) ? x x ?1 1 3x 3 ? x 2 ? 4 x ? 3 2 f ( x) ? x 2 f ( ) ? x x ?1
联合(1) (2)消去 f ( ) ,可得

――――――――― (2)

1 x

f ( x) ? x 2 ? 3 x ? 6 ?

5 。 x ?1

14. 设命题 P: c ? c 和命题 Q: 对任何 x ? R , x ? 4cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实
2 2

数 c 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ?1 ? , 0? ? ? , 1? 。 ? 2 ? ?2 ?

【解】 命题 P 成立 可得 :

0 ? c ? 1; 1 1 命题 Q 成立 可得 ? ? c ? 。 2 2

因此, 要使命题 P 和命题 Q 有且仅有一个成立, 实数 c 的取值范围是 ? ?

? 1 ? ?1 ? , 0? ? ? , 1? 。 ? 2 ? ?2 ?

15. 在 x 轴的正方向上, 从左向右依次取点列

?A ?, j ? 1,2,?,以及在第一象限内的抛物线
j

y2 ?

3 x 上从左向右依次取点列 ?Bk ?, k ? 1,2,? ,使 ?Ak ?1Bk Ak ( k ? 1,2,? )都是等 2

边三角形,其中 A0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。

【解】 :设第 n 个等边三角形的边长为 an 。则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 Bn 的 坐标为( a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ?

an , 2

a ? 3? 。 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? n ? ) 2? 2 ?

再从第 n 个等边三角形上,我们可得 Bn 的纵坐标为

3 ?1 ? a ? ? an ? ? a n 。从而有 2 ?2 ?
2 n

2

3 an ? 2
即有

a ? 3? ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? n ? , 2? 2 ?

a 1 2 a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? n 。 2 2
由此可得

a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
以及

an 1 2 ? an 2 2

(1)

a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ?
(1)-(2)即得

a n ?1 1 2 ? a n ?1 2 2

(2)

an ?
变形可得

1 1 (a n ? a n ?1 ) ? (a n ? a n ?1 )( a n ? a n ?1 ) . 2 2

(an ? an?1 ? 1)(an ? an?1 ) ? 0 .
由于 an ? an?1 ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 1 。 在(1)式中取 n = 1,可得

1 1 a1 ? a12 ,而 a1 ? 0 ,故 a1 ? 1 。 2 2

因此第 2005 个等边三角形的边长为 a2005 ? 2005。 y 12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从 原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)方向行走一段时

P(x,y) A

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。

?
O

x

【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x, y) 。设机器人改变方向的点为 A,

OA ? a , AP ? b 。则由已知条件有 a ? b ? 2 ? 10 ? 20 ,以及
? x ? a cos? . ? ? y ? a sin ? ? b
所以有

? x 2 ? y 2 ? a 2 ? 2ab sin ? ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 400 ? ? x ? y ? a(sin ? ? cos? ) ? b ? a ? b ? 20
即所求平面图形为弓形,其面积为 100? ? 200 平方米。

三. 解答题 y 13.(20 分)设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左、右焦点分别 为 F1 ,F2 , ?PF F2 的顶点 P 在第一象限的双曲线 若 1 上移动, 求 ?PF F2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切 1 圆在边 PF2 上的切点轨迹。 BO AG P K H x

【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ?PF F2 的内切圆在边 1

F1 F2 上的切点,H 为 ?PF F2 的内切圆在边 PF2 上的切点,K 为 ?PF F2 的内切圆在边 PF 1 1 1
上的切点。则有

GF1 ? GF2 ? KF1 ? HF2 ? ( KF1 ? KP ) ? ( HF2 ? HP ) ? PF1 ? PF2
而 F2 G ? F2 A ? --------------------------------5分

由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。

2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ?PF F2 的内切 1

圆在边 PF2 上的切点的轨迹是以 F2 ( 2 , 0) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分 因为 P( x, y) 是在 x 2 ? y 2 ? 1第一象限的曲线上移动,当 PF2 沿双曲线趋于无穷时, 与 x 轴正向的交角 ? 的正切的极限是

x ???

lim tan? ? lim

x2 ?1 x? 2

x ???

?1

即 ? ?

?
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式)

? x ? 2 ? ( 2 ? 1) cos? , ? y ? ( 2 ? 1) sin ? ?
也可以用直角坐标形式。



?
4

?? ?? )

--------------------------------- 15 分

由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为

x ? 1 ( 0 ? y ? 1) 。

-------------------------------- 20 分

? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1, x2 ,?xn ? R ,定义 S n ? ? ? xi ? 2 ? n xi ? i ?1 ? ?
?
n

2

1)求 Sn 的最小值; 2)在 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 条件下,求 Sn 的最小值;
2 2 2

3)在 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 条件下,求 Sn 的最小值, 并加以证明。 【 解 】
n ? n ?1 ? n ?1 n ?1 ? ? 4? 2 ? 4 1) S n ? ? ? 2 2 ? ? n n ? i ?1 ? i ?1 n n 2

----------------------------------- 5 分

(当 xi ?
n

n ?1 时,取到最小值) n

2) S n ?

? 2 n ? 1 (n ? 1) 2 1 ? ? xi ? 2 2 ? ? ?? n n 4 xi2 ? i ?1 ? ?
n ? 1 (n ? 1) 2 ? n n4

? 1? 2

?x
i ?1

n

1
2 i

? 1? 2

n ? 1 (n ? 1) 2 n ?1 2 ? ? (1 ? ) 2 n n n 1 n
时,取到最小值 (1 ?

---------------------------10 分

(当 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 3) 因为

n ?1 2 ) ) n

?n ? n ?1 1 ??1 ? ? xi ? 2 ? n xi ? i ?1 ?
所以
n 2

?? n ?1 1 ? n ? n ? ?? ? ? ?12 ? ? ? ? xi ? 2 ? ? n xi ? i ?1 ? i ?1 ? ??
2

2

? ? ? ?

2

2 ? n ?1 1 ? 1? n ? n ? 1 1 ?? 1 n ?1 ? ? ?? ? x i ? 2 ?? ? ?1 ? 2 ? n 2 ? ? n . ---------15 分 S n ? ? ? xi ? 2 ? ? n xi ? n ? i ?1 ? n xi ? ? n? n i ?1 ? ? ? ? ? ? 1 (当 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 时,取到最小值 n ) n

每小题指出什么时候取到。

(5 分) 满分 20 分

15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器, 要求第一个和最后一个岗位不配备 新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器, 相邻两个岗位不同时配备新式 武器,问共有多少种配备新式武器的方案? 【解】 设 20 个岗位按先后排序为 1,2, : ,… ,20,且设第 k 种新式武器设置的序号为 ak

(k ? 1,2,3,4,5) 。令 x1 ? a1 , x2 ? a2 ? a1 , x3 ? a3 ? a2 , x4 ? a4 ? a3 , x5 ? a5 ? a4 ,

x6 ? 20 ? a5 ,则有
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 20
其中 2 ? xk ? 5 (k ? 1,2,3,4,5) , 1 ? x6 ? 4 。 (*) -------------------------------------- 5 分

作代换 yk ? xk ? 1 (k ? 1,2,3,4,5) , y6 ? x6 ,从而有

y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ? 15
其中 1 ? y k ? 4 (k ? 1,2,3,4,5,6) 。

(**)

---------------------------------------------------------- 10 分

现求解问题(**): 方法一:
设 I 为 y1 ? y2 ? y3 ? y4 ? y5 ? y6 ? 15的正整数解的全体, Ak 为 I 中 y k 满

足 y k ? 4 的解的全体。则

? Ak ? I ? ? Ak ? I ? ? Ak ? ? A j Ak
k ?1 k ?1 k ?1 j ?k

6

6

6

上式成立的原因是 Ai A j Ak ? ? , 因为没有同时满足 yi ? 4 ,y j ? 4 ,y k ? 4 的 的正整数组。所以

?y
k ?1

6

k

? 15

?A
k ?1

6

k

5 5 2 5 ? C14 ? 6C10 ? C6 C6 ? 2002? 1512? 90 ? 580.

-------------- 15 分

方法二


: 问题(**)的解数等于 ( x ? x 2 ? x 3 ? x 4 ) 6 展开式中 x 15 的系数。

( x ? x 2 ? x 3 ? x 4 ) 6 ? x 6 (1 ? x ? x 2 ? x 3 ) 6 ? x 6 (1 ? x) 6 (1 ? x 2 ) 6 ,
故只须求 (1 ? x) (1 ? x ) 展开式中 x 9 的系数。
6 2 6

(1 ? x) 6 (1 ? x 2 ) 6 ? (1 ? 6 x ? 15x 2 ? 20x 3 ? 15x 4 ? 6 x 5 ? x 6 ) ? (1 ? 6 x 2 ? 15x 4 ? 20x 6 ? 15x 8 ? 6 x10 ? x12 )
因此 x 9 的系数为 6×15+20×20+6×15 = 580。 ----------------------------------------- 15 分

因为 5 种新式武器各不相同, 互换位置得到不同的排列数, 所以配备新式武器的方案数 等于 580 ? 5!? 69600 。 ------------------------------------------ 20 分


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