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用3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算


3.1.1-3.1.2空间向量 及其加减与数乘运算

一:空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a

空间向量
具有大小和方向的量 几何表示法 AB 字母表示法 a 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

思考:空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内?为什么?
B

b

O

A

a
O′

结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,
内,成为同一平面内的两个向量。

说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平面向量 中有关结论仍适用于它们。

概念 加法 减法 运算 运 算 律

二、空间向量的加法、减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ? ? ? ? a?b ? b?a 加法结合律: ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
? ? ? ? 加法交换律 a ? b ? b ? a

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c )

加法结合律

三、空间向量的数乘运算
? ? a 仍然是一个向量.

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? ? ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

? 例如

? 3a

:

? a
? ? 3a

四、空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);

a

a c
b

b

c

(3).空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

? ? ? ? 即:? ( a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? (? )a ? (?? ) a

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

??? ? ??? ? AP ? t AB
??? ???? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

中点公式:

??? 1 ??? ??? ? ? ? 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2

?

?

B
P A O

4、灵活性:
(1)中位线

A

1 DE= BC 2

D
B

E
C

A

(2)中线

1 ? ( AB + AC ) B AD 2
(3)重心

D

AC

2 AG =2GD = AD 3


B
D C

五、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a ? ?b ??唯一?
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

六、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e 由平面向量基本定理知,如果 e1, 2 是平面内的两个不共线的向量,那么 ? ,有且 对于这一平面内的任意向量 a ? ? ? , a 只有一对实数1 ?2 使 ? ?1e1 ? ?2 e
2

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? 反过来,对空间任意两个不共线的向量 a , ,如 b ? 果 p ? x? ? yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

?C b? A aB

?? p

P

? x a , yb分别与a, b共线,

? x a , yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在a, b确定的平面内,

? p ? x a ? yb在a, b确定的平面内 即p与a, , b共面

? b 2.共面向量定理:如果两个向量 a , 不共线, ?? ? , 共面的充要条件是 则向量 p 与向量 a b ? ? ? ?
存在唯一的实数对x,y使

p ? xa ? yb

?C b ? A a B

?? p

P

3.空间四点P、A、B、C共面

???? ???? ???? , ? 存在唯一实数对(x , y) 使得 AP ? x AB ? y AC ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

?C b? A a B

C'

?? p

P

O

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; ? ? ? ? (2)若空间向量

(3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? A1C1 ;

?? a? a、满足| a |?| b |,则 ???? b?????; b
?? ? ? ? ? 满足 m ? n, n ? p ,则

?? ? ? ? (4)若空间向量 m n、 、p

?? ? ? m? p



(5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

C )
D.4

平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A?B?C ?D? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记 作ABCD— A?B?C ?D? .
D’ C’ B’

平行六面体 的六个面都是平 行四边形,每个

A’

面的边叫做平行
六面体的棱.

a
D A B C

例2 已知平行六面体ABCD ? A' B' C ' D',化简下
列向量表达式,并标出化简结果的向量:
D’ A’ B’

⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA'; 1 ⑶ AB ? AD ? CC' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
A

C’

D B

C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴ AB ? BC ; ⑵ AB ? AD ? AA';

D’
A’ B’

C’

解:⑴ AB ? BC ? AC
⑵ AB ? AD ? AA'
? AC ? AA'

D
A B

  AC ? CC ' ?
? AC '

C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: 1 ⑶ AB ? AD ? CC' 2

解:⑶设M是线段CC’的中点,则
1 AB ? AD ? CC ' 2
D’ C’ B’ M

? AC ? CM

A’

? AM
D A B
C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3

解:⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点,则
1 ( AB ? AD ? AA' ) 3 1 ? AC ' 3 ? AG .
A A’

D’ B’

C’

M

G
D B C

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A1 D1 B1 C1

D

C B

A

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
D1 A1 B1 C1

? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A

D B

C

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1

解:(2) 2 AD1 ? BD1
? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? ( BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1
? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例3:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 A1

D1 B1

C1

⑶ AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
解:(3) AC ? AB1 ? AD1
A

D B

C

? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD)
? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1

? x ? 2.

例4: B 1.下列命题中正确的有:
? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? 2 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、 MA-MB

它们一定是:

A

A.共面向量
C.不共面向量

B.共线向量

D.既不共线又不共面向量

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 ???? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? 意一点O, ? xOA + OB + OC ,则x OM 3 3 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? ? ??? ? ??? ???? ? (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

例5. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH ? ? ? ? k, OA OB OC OD D C 求证: A B ⑴四点E、F、G、H共面; H G ⑵平面EG//平面AC. E F

例5 (课本例)已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG. 证明: ∵四边形ABCD为 ① ∴AC ? AB ? AD (﹡)
D

O

EG ? OG ? OE ? kOC ? kOA
? k (OC ? OA)? kAC ? k ( AB ? AD) (﹡)代入
A

C

B
H
G

? k (OB ? OA ? OD ? OA)

? OF ? OE ? OH ? OE E F ? EF ? EH 所以 E、F、G、H共面。

例5 已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;

②平面AC//平面EG。
证明: EF ②

? OF ? OE ? kOB ? kOA

O

? k (OB ? OA) ? kAB 由①知 EG ? kAC

D

C

? EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:

A
H

B
G

面EG // 面AC

E

F

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理 ? ? ?

? a // b (a ? 0)
OP ? OA ? t AB

? ? ? ? a b b ? ?a 共面

p

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ?x AB ? y AC
? OP ? xOA ? yOB ? z OC ? 0 ( x ? y ? z ? 1)

OP ? xOA ? yOB ( x ? y ? 1)

运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或直线 直线平行 平行于平面


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