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高三数学一轮复习精析教案08《空间几何体》


第8讲
一.【课标要求】

空间几何体

1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组 合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构; 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如:纸板)制作模型,会用斜二侧 法画出它们的直观图; 3.通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图 形的不同表示形式; 4.完成实习作业,如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求);

二.【命题走向】
近几年来, 立体几何高考命题形式比较稳定, 题目难易适中, 解答题常常立足于棱柱、 棱锥和正方体位置关系的证明和夹角距离的求解,而选择题、填空题又经常研究空间几何 体的几何特征和体积表面积。因此复习时我们要首先掌握好空间几何体的空间结构特征。 培养好空间想能力。 预测 2010 年高考对该讲的直接考察力度可能不大,但经常出一些创新型题目,具体 预测如下: (1)题目多出一些选择、填空题,经常出一些考察空间想象能力的试题;解答题的 考察位置关系、夹角距离的载体使空间几何体,我们要想像的出其中的点线面间的位置关 系; (2)研究立体几何问题时要重视多面体的应用,才能发现隐含条件,利用隐蔽条件 解题。

三.【要点精讲】
1.柱、锥、台、球的结构特征 (1)柱 棱柱:一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱 柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧 面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫 做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转 到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面 所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形 面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧 棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
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圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所 围成的几何体叫做圆锥; 旋转轴为圆锥的轴; 垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面; 斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥 的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥 的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为 球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 2.空间几何体的三视图 三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形。 他具体包括: (1)正视图:物体前后方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和长度; (2)侧视图:物体左右方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的高度和宽度; (3)俯视图:物体上下方向投影所得到的投影图; 它能反映物体的长度和宽度; 3.空间几何体的直观图 (1)斜二测画法 ①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 OX,OY,建立直角 坐标系; ②画出斜坐标系, 在画直观图的纸上 (平面上) 画出对应的 O’X’,O’Y’,使 ?X 'O 'Y ' =450 0 (或 135 ),它们确定的平面表示水平平面; ③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X‘轴,且长 度保持不变;在已知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y‘轴,且长度变为 原来的一半; ④擦去辅助线,图画好后,要擦去 X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)。 (2)平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点

四.【典例解析】
题型 1:空间几何体的构造 例 1.9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为 3 和 4,过直角顶点的

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侧棱长为 4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 答案 B



2.

(2009 湖南卷理)正方体 ABCD— A1 B1 C1 D1 的棱上到异面直

线 AB,C C1 的距离相等的点的个数为(C) A.2 【答案】:C 【解析】解析如图示,则 BC 中点, B1 点, D 点, D1 点分别到两 异面直线的距离相等。即满足条件的点有四个,故选 C 项 B.3 C. 4 D. 5

(3)正方体 ABCD_A1B1C1D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是平面 ABCD 内的一个 动点,且满足 PM=2,P 到直线 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹是[ A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 ]

解析: 点 P 到 A1D1 的距离为 5 ,则点 P 到 AD 的距离为 1,满足此条件的 P 的轨迹 是到直线 AD 的距离为 1 的两条平行直线, 又? PM ? 2 ,? 满足此条件的 P 的轨迹是以 M 为圆心,半径为 2 的圆,这两种轨迹 只有两个交点. 故点 P 的轨迹是两个点。选项为 C。 点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程,考察了空间想象能力。 例 2.(07 江苏 9) 两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何 可放棱长为 1 的正方体内,使正四棱锥的底面 ABCD 与正方体的某一个平面平行,且各顶点均 ... 正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无穷多个 解析:由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥
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体,

在 有

底面正方形 ABCD 的面积,问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种,所以选 D。 点评:本题主要考查空间想象能力,以及正四棱锥的体积。正方体是大家熟悉的几何 体,它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转 化。 题型 2:空间几何体的定义 例 3.(2009 四川卷理)如图,在半径为 3 的面上有 A, B, C 三点,

?ABC ? 90? , BA ? BC ,球心 O 到平面 ABC 的距离是
B、C 两点的球面距离是
A.

3 2 ,则 2

?
3

B. ?

C.

4? 3

D. 2?

【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距,基础题。(同文 9) 解析:由知截面圆的半径

r ? 9?

18 3 2 2 ? ? ? BC ? ? 3 2 ? 3 ,故 ?BOC ? ,所以 B、C 两点的球 4 2 2 3
? ? ,故选择 B。

面距离为 3 ?

?
3

解析 2: 过球心 O 作平面 ABC 的垂线交平面与 D , ABC , BA ? BC , D 在直线 AC 则 ? 上,由于 OD ?

3 2 3 2 2 2 , CD ? OC ? OD ? ,所以 AC ? 3 2 ,由 ?ABC 为等腰直 2 2

角三角形可得 BC ? 3 ,所以 ?OBC 为等边三角形,则 B, C 两点的球面距离是

?
3

?3。

例 4.2009 浙江卷文)设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 ( ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ?

【命题意图】此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系,通过对平行和垂直的 考查,充分调动了立体几何中的基本元素关系. 【解析】对于 A、B、D 均可能出现 l // ? ,而对于 C 是正确的.
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.

点评:对于空间几何体的定义要有深刻的认识,掌握它们并能判断它们的性质。 题型 3:空间几何体中的想象能力 例 5.(2009 北京卷理)(本小题共 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB, ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? , 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的 大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并 说明理由. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的 角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论 证能力. (Ⅰ)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. 又 ?BCA ? 90? ,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC, ∴ DE ?

1 BC , 2

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB,又 PA=AB, ∴△ABP 为等腰直角三角形,∴ AD ?

1 AB , 2

∴在 Rt△ABC 中, ?ABC ? 60? ,∴ BC ? ∴在 Rt△ADE 中, sin ?DAE ?

1 AB . 2

DE BC 2 ? ? , AD 2 AD 4 2 . 4

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arcsin

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角, ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC,∴ ?PAC ? 90? .

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∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC,这时 ?AEP ? 90? , 故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角. 【解法 2】如图,以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ? xyz , 设 PA ? a ,由已知可得

? 1 ? ? ? 3 3 A ? 0, 0, 0 ? , B ? ? a, a, 0 ? , C ? 0, a, 0 ? , P ? 0, 0, a ? . ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
(Ⅰ)∵ AP ? ? 0, 0, a ? , BC ? ? a, 0, 0 ? , ∴ BC ? AP ? 0 ,∴BC⊥AP. 又∵ ?BCA ? 90? ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC. (Ⅱ)∵D 为 PB 的中点,DE//BC,∴E 为 PC 的中点, ∴ D ? ? a,

??? ?

??? ?

?1 ?2

? ?

??? ??? ? ?

? 1 ? 4 ?

3 1 ? ? 3 1 ? a, a ? , E ? 0, a, a ? , 4 2 ? ? 4 2 ? ? ? ?

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E. ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角,

? 3 1 ? ??? ? 3 1 ? a, a ? , AE ? ? 0, ? 4 a, 2 a ? , ? 4 2 ? ? ? ? ???? ??? ? AD ? AE 14 ∴ cos ?DAE ? ???? ??? ? . ? 4 AD ? AE
∵ AD ? ? ? a,

????

? 1 ? 4 ?

∴ AD 与平面 PAC 所成的角的大小 arccos (Ⅲ)同解法 1. 例 6.(2009 全国卷Ⅱ文)(本小题满分 12 分)

14 . 4

.

如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小

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解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法,第一问可取 BC 中点 F,通过证明 AF ⊥平面 BCC1,再证 AF 为 BC 的垂直平分线,第二问先作出线面夹角,即证四边形 AFED 是 正方形可证平面 DEF⊥平面 BDC,从而找到线面夹角求解。此题两问也可建立空间直角坐 标系利用向量法求解。 解法一:(Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF A B
1 1 1

1 B1 B ,从而 EF DA。 2

C

D A B

E

C

连接 AF, ADEF 为平行四边形, 则 从而 AF//DE。 DE⊥平面 BCC1 , AF⊥平面 BCC1 , 又 故 从而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ) AG⊥BD, 作 垂足为 G, 连接 CG。 由三垂线定理知 CG⊥BD, 故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知,∠AGC=600.. 设 AC=2,则 AG=

2 。又 AB=2,BC= 2 2 ,故 AF= 2 。 3 2 . AD 2 ? 22 ,解得 AD= 2 。 3

由 AB ? AD ? AG ? BD 得 2AD=

故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形,AD= 2 ,故 EH=1,又 EC=
.

1 B1C =2, 2

所以∠ECH=300,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 300. 解法二:

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(Ⅰ) A 为坐标原点, 以 射线 AB 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 A—xyz。

设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 B1 (1,0,2c),E(
?

1 b , ,c). 2 2

于是 DE =(
? ?

? 1 b , ,0), BC =(-1,b,0).由 DE⊥平面 BCC1 知 DE⊥BC, 2 2

DE? BC =0,求得 b=1,所以

AB=AC。
?

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 AN ? ( x, y, z ), 则 AN ? BC ? 0, AN ? BD ? 0. 又 BC =(-1,1, 0),
? ?? x ? y ? 0 BD =(-1,0,c),故 ? ?? x ? cz ? 0
?

?

?

?

?

令 x=1, 则 y=1, z= , AN =(1,1,

1 c

?

1 ). c

又平面 ABD 的法向量 AC =(0,1,0)

AC 由二面角 A ? BD ? C 为 60°知, AN, =60°,

所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30° 题型 4:斜二测画法 例 7.画正五棱柱的直观图,使底面边长为 3cm 侧棱长为 5cm。 解析:先作底面正五边形的直观图,再沿平行于 Z 轴方向平移即可得 作法: (1)画轴:画 X′,Y′,Z′轴,使∠X′O′Y′=45°(或 135°),∠X′O′Z′ =90°。
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(2)画底面:按 X′轴,Y′轴画正五边形的直观图 ABCDE。 (3)画侧棱:过 A、B、C、D、E 各点分别作 Z′轴的平行线,并在这些平行线上分 别截取 AA′,BB′,CC′,DD′,EE。′ (4)成图:顺次连结 A′,B′,C′,D′,F′,加以整理,去掉辅助线,改被遮 挡的部分为虚线 点评:用此方法可以依次画出棱锥、棱柱、棱台等多面体的直观图。 例 8. ?A?B ?C ? 是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面 积为 3 ,那么△ABC 的面积为_______________。 解析: 2 6 。 点评:该题属于斜二测画法的应用,解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之 间的对应关系。特别底和高的对应关系。 题型 5:平行投影与中心投影 例 9.(1)如图,在正四面体 A-BCD 中,E、F、G 分别是三角形 ADC、ABD、BCD 的中心,则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是(
A



F?
B

G?

?

E

C

① ④





D

A.①③ B.②③④ C.③④ (2)(2009 宁夏海南卷理)(本小题满分 12 分)

D.②④

如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧 棱 SD 上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在, 求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。

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解法一: (Ⅰ) BD, AC 交 BD 于 O, 连 设 由题意 SO ? AC 。 在正方形 ABCD 中, ? BD , AC 所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ? 2a 。 又 OD ?

2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2

连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP , 且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 300 , 即二面角 P ? AC ? D 的大小为 300 。 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行 4

线与 SC 的交点即为 E 。连 BN。在 ? BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC ,故平面

1 ,故 1. BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2: SE:EC ? 2:
解法二: (Ⅰ);连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐 标原点, OB, , 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图 OC OS 设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是

S (0, 0,

6 2 a), D( ? a, 0, 0) 2 2

C (0,

2 a , 0) 2 2 a, 0) 2

OC ? (0,

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SD ? (?
OC ? SD ? 0
故 从而

2 6 a, 0, ? a) 2 2

OC ? SD AC ? SD
(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

2 6 a, 0, a ) ,平面 DAC 的 2 2

一个法向量 OS ?)0, 0,

6 OS ? DS 3 a) ,设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? ,所求二面角 ? 2 2 OS DS

的大小为 300 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量, 且 设

DS ? (

2 6 2 6 a, 0, a), CS ? (0, ? a, a) 2 2 2 2

CE ? tCS ,
BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (?
BE ? DC ? 0 ? t ? 1 3

则 而

2 2 6 a, a (1 ? t ), at ) 2 2 2

即当 SE : EC ? 2 :1 时, BE ? DS 而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC 例 10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别 为 1,2 和 4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是: ①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为________________________(写出所有正确结论的编号) 解析: 如图, D、 1 到平面 ? 的距离分别为 1、 B、 A 2、 C 4,则 D、A1 的中点到平面 ? 的距离为 3,所以 D1 到 平 D 面 ? 的距离为 6; A1 的中点到平面 ? 的距离为 B、

5 , 2
D

1 1 1

A
1

B 所

C

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?
A1

B A

以 B1 到平面 ? 的距离为 5;则 D、B 的中点到平面 ? 的距离为 为 3;C、A1 的中点到平面 ? 的距离为

3 ,所以 C 到平面 ? 的距离 2

7 ,所以 C1 到平面 ? 的距离为 7;而 P 为 C、C1、B1、 2

D1 中的一点,所以选①③④⑤。 点评:该题将计算蕴涵于射影知识中,属于难得的综合题目 题型 6:三视图 例 11.(1)画出下列几何体的三视图

解析:这二个几何体的三视图如下

(2)如图,设所给的方向为物体的正前方,试画出它的三视图(单位:cm)

点评:画三视图之前,应把几何体的结构弄清楚,选择一个合适的主视方向。一般先 画主视图,其次画俯视图,最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来,被遮住的轮廓线 要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。 例 12.某物体的三视图如下,试判断该几何体的形状

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解析:该几何体为一个正四棱锥分析:三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的 三个视图。 点评:主视图反映物体的主要形状特征,主要体现物体的长和高,不反映物体的宽。 而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。 左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。 据此就不难得出该几何体的形状

五.【思维总结】
1.几种常凸多面体间的关系

2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质 名称 棱柱 直棱柱

正棱柱









侧棱 侧面的形状 对角面的形状 平行于底面的 截面的形状 名 称 图 形

有两个面互 相平行,而其余 每相邻两个面的 交线都互相平行 的多面体 平行且相等 平行四边形 平行四边形 与底面全等 的多边形

侧棱垂直于 底面的棱柱

底面是正多边 形的直棱柱

平行且相等 矩形 矩形 与底面全等 的多边形

平行且相等 全等的矩形 矩形 与底面全等的 正多边形

棱锥

正棱锥

棱台

正棱台

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定 义

有一个面 是多边形, 其余 各面是有一个 公共顶点的三 角形的多面体 相交于一 点但不一定相 等 三角形

侧 棱 侧 面的形 状 对 角面的 形状 平 行于底 的截面 形状

底面是正 多边形, 且顶点 在底面的射影 是底面的射影 是底面和截面 之间的部分 相交于一 点且相等 全等的等 腰三角形 等腰三角 形 与底面相 似的正多边形

用一个平 由正棱锥 行于棱锥底面 截得的棱台 的平面去截棱 锥, 底面和截面 之间的部分 延长线交 于一点 梯形 相等且延 长线交于一点 全等的等 腰梯形 等腰梯形

三角形

梯形

与底面相 似的多边形

与底面相 似的多边形

与底面相 似的正多边形

其 他性质

高过底面 中心; 侧棱与底 面、侧面与底 面、 相邻两侧面 所成角都相等

两底中心 连线即高; 侧棱 与底面、 侧面与 底面、 相邻两侧 面所成角都相 等

几种特殊四棱柱的特殊性质 名称 平行六面体 直平行六面体 长方体 正方体 特殊性质 底面和侧面都是平行四边行;四条对角线交 于一点,且被该点平分 侧棱垂直于底面,各侧面都是矩形;四条对 角线交于一点,且被该点平分 底面和侧面都是矩形;四条对角线相等,交 于一点,且被该点平分 棱长都相等,各面都是正方形四条对角线相 等,交于一点,且被该点平分

3.三视图画法规则 高平齐:主视图与左视图的高要保持平齐 长对正:主视图与俯视图的长应对正 宽相等:俯视图与左视图的宽度应相等
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4. 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置, 因为多边形顶点的 位置一旦确定,依次连结这些顶点就可画出多边形来,因此平面多边形水平放置时,直观 图的画法可以归结为确定点的位置的画法

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