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2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(二十三) 3.8正弦定理、余弦定理的应用举例


课时提升作业(二十三)
正弦定理、余弦定理的应用举例 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据, 不一定能确定 A,B 间距离的是 ( ) 50 分)

A.α ,a,b

B.α ,β ,a

C.a,b,γ

D.α ,β ,b

【解析】选 A.选项 B 中由正弦定理可求 b,再由余弦定理可确定 AB.选 项 C 中可由余弦定理确定 AB.选项 D 同 B 类似.选项 A 中利用正弦定理 求β时可能会有两解,故选 A. 2.(2015·赣州模拟)在△ABC 中,已知 AB=4 的面积是 ( A.4 C.4 或8 = B.8 D. ,sinC= = = , ) ,AC=4,B=30°,则△ABC

【解析】选 C.由正弦定理,

所以 C=60°或 120°,A=180°-(A+C)=90°或 30°. 当 A=90°时,S△ABC= AB×AC×sinA= ×4 ×4×1=8 .

-1-

当 A=30°时,S△ABC= AB×AC·sinA= ×4

×4× =4

.

3.某工程中要将一长为 100m,倾斜角为 75°的斜坡,改造成倾斜 角为 30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长 ( A.100 C.50( m + )m B.100 D.200m m )

【解析】选 A.设坡底需加长 xm, 由正弦定理得 = ,解得 x=100 . ) D.

4.在△ABC 中,面积 S=a2-(b-c)2,则 cosA= ( A. B. C.

【解析】选 B.S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccosA= bcsinA, 所以 sinA=4(1-cosA), 16(1-cosA)2+cos2A=1,所以 cosA= . 5.(2015·南昌模拟)如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上 选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°, 再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10m 到位置 D,测得∠BDC=45°, 则塔 AB 的高是 ( A.10m B.10 ) m C.10 m D.10 m

【解析】选 D.设塔高为 x 米,根据题意可知在△ABC 中,∠ABC=90°, ∠ACB=60°,AB=x, 从而有 BC= x,AC= =105°, ∠ BDC=45 ° , ∠ CBD=30 ° , 由 正 弦 定 理 可 得 , = ,可 x, 在△ BCD 中 ,CD=10, ∠ BCD=60 ° +30 ° +15 °

-2-

得,BC=

=10

= x,解得 x=10

.

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6. 在 ? ABCD 中 ,AB=6,AD=3, ∠ BAD=60 ° , 则 ? ABCD 的 面 积 为 . .

【解析】 ? ABCD 的面积 S=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin60°=9 答案:9 7.要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的 仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30°,并测得水平面上的 ∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为 【解析】设电视塔 AB 高为 xm, 则在 Rt△ABC 中,由∠ACB=45°,得 BC=x. 在 Rt△ADB 中,∠ADB=30°,所以 BD= 在△BDC 中,由余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°, 即( x)2=x2+402-2·x·40·cos120°, x. m.

解得 x=40,所以电视塔高为 40 m. 答案:40 8.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在 A 处获悉后, 立即测出该渔轮在方位角为 45°距离为 10 海里的 C 处,并测得渔轮正 沿方位角为 105°的方向,以 9 海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰 艇立即以 21 海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为 小时.

-3-

【解题提示】首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三 角形中利用余弦定理列方程求解. 【解析】如图,设舰艇在 B′处靠近渔轮,所需的时间为 t 小时,则 AB′ =21t, CB′=9t.

在 △ AB ′ C 中 , 根 据 余 弦 定 理 , 则 有 AB ′ 2=AC2+B ′ C2-2AC · B ′ Ccos120°, 可得,212t2=102+81t2+2·10·9t· . 整理得 360t2-90t-100=0, 解得 t= 或 t=- (舍去). 故舰艇需 小时靠近渔轮. 答案: 【加固训练】一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏 西 60°方向,另一灯塔在船的南偏西 75°方向,则这只船的速度是每小 时 .

【解析】如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°, 所以∠CAD=∠CDA=15°,从而 CD=CA=10, 在直角三角形 ABC 中,可得 AB=5,于是这只船的速度是 =10(海里/小

-4-

时). 答案:10 海里 三、解答题 9.(10 分 )(2014 ·新课标全国卷Ⅱ ) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互 补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD. (2)求四边形 ABCD 的面积. 【解题提示】(1)设出 BD 的长,利用余弦定理求解. (2)利用 S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD 求解. 【解析】(1)设 BD=x,在△ABD,△BCD 中,由余弦定理, 得 cosA= ,cosC= .

因为 A+C=π,所以 cosA+cosC=0, 联立上式解得 x= 所以 C= ,BD= . ,cosC= ,

(2)因为 A+C=π,C= ,所以 sinA=sinC= , 四
BCD





ABCD







S=S



ABD

+S



= AB·AD·sinA+ CB·CD·sinC= (1+3)=2 .

.所以四边形 ABCD 面积

为2

【加固训练】 1.(2015· 西安模拟)为绘制海底地貌图,测量海底两点 C,D 间的距离,海底探测仪沿水平方向在 A,B 两点进行测量,A,B,C,D 在同 一 个 铅 垂 平 面 内 , 海 底 探 测 仪 测 得 ∠ BAC=30 ° , ∠ DAC=45 ° , ∠ ABD=45°,∠DBC=75°,A,B 两点的距离为 海里.

-5-

(1)求△ABD 的面积. (2)求 C,D 之间的距离.

【解析】(1)在△ABD 中 因为∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+45°=75°, 所以∠ADB=60°, 由正弦定理可得, AD= = , = ,

则△ABD 的面积 S= AB·ADsin∠BAD= × × = (平方海里).

(2)因为∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+75°=120°,∠BAC=∠BCA=30°, 所以 BC=AB= ,所以 AC=3.

在 △ ACD 中 , 由 余 弦 定 理 得 ,CD2=AC2+AD2-2AC · ADcos ∠ DAC=5, 即 CD= (海里). 平方海里,(2)C,D 间的距离为 海里.

答:(1)△ABD 的面积为

2.如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿 正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东α 的方向追 赶渔船乙,刚好用 2 小时追上. (1)求渔船甲的速度.

-6-

(2)求 sinα 的值. 【解题提示】 要求渔船甲的速度,关键是求出 BC,而 AB=12,AC 就是渔船 乙 2 小时走的距离,因此 AC=20,故可用余弦定理求得 BC,注意α=∠ACB, 因此可在△ABC 中求 sin∠ACB 或 cos∠ACB,从而获得 sinα的值. 【解析】(1)依题意,∠BAC=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠BCA=α. 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC =122+202-2×12×20×cos120°=784. 解得 BC=28. 所以渔船甲的速度为 =14 海里/小时. (2)方法一:在△ABC 中,因为 AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠BCA=α, 由正弦定理,得 即 sinα= = = = . .

方法二:在△ABC 中,因为 AB=12,AC=20,BC=28,∠BCA=α, 由余弦定理,得 cosα= 即 cosα= = . = (20 分钟 = 40 分) . ,

因为α为锐角,所以 sinα=

1.(5 分)(2015·上饶模拟)在△ABC 中,若 b=2,A=120°,三角形的面积 S= A. ,则三角形外接圆的半径为 ( B.2 ) C.2 D.4

-7-

【解析】选 B.由面积公式,得 S= bcsinA,代入得 c=2,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=22+22-2×2×2cos120°=12,故 a=2 得 2R= = ,解得 R=2. ,由正弦定理,

【加固训练】 已知△ABC 的一个内角为 120°,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为 【解析】设三角形一边长为 x, 则另两边的长为 x-4,x+4,那么 (x+4)2=x2+(x-4)2-2x(x-4)cos120°, 解得 x=10, 所以 S△ABC= ×10×6×sin120°=15 答案:15 【方法技巧】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S= absinC= acsinB= bcsinA,一般是已知哪一个角 就使用与该角正弦值有关的面积公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的 转化. 2.(5 分)甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米.甲船以每小时 4 千米的速 度向北航行,同时,乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60° 的方向驶去.当甲船在 A,B 之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行 的时间是 ( A. 分钟 ) B. 小时 D.2.15 分钟
-8-

.

.

C.21.5 分钟

【解析】 选 A.如图,设航行 x 小时,甲船航行到 C 处,乙船航行到 D 处,在△BCD 中,BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,两船相距 S 千米, 根据余弦定理可得, DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD =(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos120°, 即 S2=28x2-20x+100=28 +100-28× , 分钟时两船

所以当 x= = 时,S2 最小,从而 S 也最小,即航行 ×60= 相距最近.故选 A.

3.(5 分)(2014·浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前 的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙 面的射击线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小 ( 仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成的角 ). 若 AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则 tanθ 的最大值是 ( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选 D.由勾股定理可得,BC=20m,过点 P 作 PP′⊥BC,交 BC 于点 P′,连接 AP′,如图,则 tanθ= =20-x, ,设 BP′=x,则 CP′

-9-

由∠BCM=30°得, PP′=CP′tan30°= (20-x). 在 Rt△ABP′中,AP′= 故 tanθ= 令 y= = · ,则 y′=. , = ,

当 x<- 时,y′>0, 当- <x<20 时,y′<0, 所以当 x=- 时, y 最大= ,所以 tanθ的最大值= × = 4.(12 a,b,c,a (1)求角 A 的大小. (2)若△ABC 的周长为 20,面积为 10 ,求△ABC 的三边长. 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 . A,B,C 所 对 的 边 分 别 为

=b.

【解题提示】(1)化边为角,利用三角形内角和定理消元. (2)由题意列方程组求解. 【解析】(1)因为 a 所以由正弦定理,得 sinA 因为 B=π-(A+C), 所以 sinAcosC+ sinAsinC=sin(A+C), 即 sinAsinC=cosAsinC, 因为 sinC≠0,故 tanA= ,A= . =b, =sinB.

(2)由题意,得 a+b+c=20,…①
- 10 -

bcsinA= bcsin =10 又 a2=b2+c2-2bccosA, 即 a2=b2+c2-bc.…③ 由①,得 b+c=20-a,…④ a2=(b+c)2-3bc,

,即 bc=40.…②

把②④代入上式,得 a2=(20-a)2-120, 解得 a=7, 所以 解得 或

故三角形的三边长为 a=7,b=8,c=5 或 a=7,b=5,c=8. 5.(13 分)(能力挑战题)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山 至 C 处有两种途径,一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C,现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50m/min.在甲出发 2min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1min 后,再从 B 匀速步行到 C,假设缆车匀速直 线 运 动 的 速 度 为 130m/min, 山 路 AC 长 为 1260m, 经 测 量,cosA= ,cosC= . (1)求索道 AB 的长. (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3min,乙步行的速度应 控制在什么范围内? 【解题提示】(1)在△ABC 中,利用正弦定理求 AB. (2)设时间 t,画图形,用余弦定理建立两人的距离关于时间 t 的函数,

- 11 -

求函数的最值. (3)解三角形求 BC 的长,求乙从 B 处出发时,甲已经走过的路程,设速度 v,列不等式求解. 【解析】(1)在△ABC 中,AC=1260, 因为 cosA= ,cosC= , 所以 sinA= sinC= = , = ,

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= × + × = . 因为 = , ·sinC= × =1040,

所以 AB=

故索道 AB 的长为 1040 米. (2)设乙出发 t 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 设乙出发 t 分钟后到达 E 点,此时甲到达 F 点,如图,连接 EF,

则 AE=130t,AF=50(t+2). 在△EAF 中,因为 cosA= , 所以 EF2=AE2+AF2-2AE·AFcosA =(130t)2+[50(t+2)]2-2·130t·50(t+2)× =200(37t2-70t+50),由 0≤t≤ 即 EF= ,得 0≤t≤8.

,t∈[0,8],

- 12 -

故当 t=-

= 时,EF 最小.

即乙出发 min 后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)在△ABC 中,因为 以乙乘缆车用时 = ,所以 BC= × =500,因为 AB=1040,所

=8(min),

所 以 乙 从 B 处 出 发 时 , 甲 行 走 了 50 × (2+8+1)=550, 剩 余 路 程 为 1260-550=710(m). 设乙步行的速度为 v,由题意,得-3≤ 即 ≤ ≤ ,解得 ≤v≤ . (单位:m/min). 海里的速度向正北方航行, ≤3,

即乙步行的速度应控制在

【加固训练】如图,甲船以每小时 30

乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船 的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此 时两船相距 10 海里.问:乙船每小时航行多少海里? ,

【解析】如图,连接 A1B2,由已知 A2B2=10

A1A2=30

× =10

,所以 A1A2=A2B2.

又∠A1A2B2=180°-120°=60°, 所以△A1A2B2 是等边三角形, 所以 A1B2=A1A2=10 .
- 13 -

由已知,A1B1=20, 所以∠B1A1B2=105°-60°=45°, 在△A1B2B1 中,由余弦定理得 B1 =A1 +A1 -2A1B1·A1B2·cos 45° × =200,

=202+(10

)2-2×20×10 . =30

所以 B1B2=10

因此,乙船的速度为

(海里/时).

- 14 -


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