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2009年高考数学第二轮热点专题测试:不等式(含详解)


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2009 年高考数学第二轮执点专题测试:不等式(含详解) 珠海市第四中学(519015) 邱金龙
一、选择题: 1、下列不等式正确的是( (A) 7 - 5 > 5 - 3 (C) 7 + 13 >3+ 11 ) (B) 3 + 5 > 2 + 6 (D)5+ 3 26 >8

2、已知集合 M = {1,1} , N = {x | (A) {1,1} (B) {1} (C) {1}

1 < 2 x 1 < 2, x ∈ Z } 则 M ∩ N = ( ) 4
(D) {1, 0}

3、设 a ,b 是两个实数,且 a ≠b, ① ( a + 3) 2 > 2a 2 + 6a + 11 ; ② a 2 + b 2 ≥ 2( a b 1) ; ③ a + b > a b + ab ;
3 3 2 2



a b + > 2。 b a
) (C)3 个 (D)4 个 )

上述 4 个式子中恒成立的有 ( (A)1 个 (B)2 个 4、对于实数 a、b ,“ b(b a ) ≤ 0 ”是“ (A) 充分不必要条件 (C) 充要条件

a ≥ 1 ”成立的( b

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分又不必要条件 ( )

5、若关于 x 的不等式 (1 + k 2 ) x ≤ k 4 + 4 的解集是 M,则对任意实数 k,总有 A.2∈M,0 M
x ( 3 x )

B.2 M,0 M

C.2 M,0∈M

D.2∈M ,0∈M

6、函数 y= log 2 的定义域是( ) (A){x∣0<x<3} (B){x∣x<0 或 x>3} (C){x∣x≤0 或 x≥3} (D){x∣0≤x≤3} 7、已知 a ≥ 0, b ≥ 0, 且a + b = 2, 则 ( ) (A) ab ≤

1 2 2 2 2 (C) a + b ≤ 3 (D) a + b ≥ 2 2 2 8、若不等式 f(x)= ax x c >0 的解集 { x | 2 < x < 1} ,则函数 y=f(-x)的图象为
(B) ab ≥ )

1 2



9 .若直 线 2ax by + 2 = 0( a, b > 0) 始终 平分 圆 x 2 + y 2 + 2 x 4 y + 1 = 0 的周 长, 则

1 1 + 的最小值是( a b



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A.4 B.2 C.

1 4

D.

1 2

x ≤ 0 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 10、若 A 为不等式组 y ≥ 0 y x ≤ 2
x + y = a 扫过 A 中的那部分区域的面积为 (
A. )

3 4

B.1

C.

7 4

D.5

x y + = 1 通过点 M (cos α, α ) ,则( sin ) a b 1 1 2 2 2 2 B. a + b ≥ 1 C. 2 + 2 ≤ 1 A. a + b ≤ 1 a b
11、若直线

D.

1 1 + ≥1 a2 b2

12、已知函数: f ( x) = x 2 + bx + c ,其中: 0 ≤ b ≤ 4,0 ≤ c ≤ 4 ,记函数 f (x) 满足条件:

f (2) ≤ 12 的事件为 A,则事件 A 发生的概率为( f (1) ≤ 3
(A)



5 16

(B)

3 8

(C)

5 8

(D)

7 8


二、填空题

13、集合 A = { x | x 2 4 x + 3 < 0} , B = { x | ( x 2)( x 4) < 0} ,则 A ∩ B = 14、已知 x, y , z ∈ R + , x 2 y + 3 z = 0 ,则

y2 的最小值 xz



x y ≥0 15、设变量 x, y 满足约束条件 x + y ≤ 1 ,则目标函数 z = 5 x + y 的最大值为___ x + 2 y ≥ 1
x x +1 16、若不等式 4 2 a ≥0 在[1,2]上恒成立,则 a 的取值范围为



三、解答题 17、记关于 x 的不等式

xa < 0 的解集为 P ,不等式 x 1 ≤ 1 的解集为 Q . x +1

(I)若 a = 3 ,求 P ; (II)若 Q P ,求正数 a 的取值范围.

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18、如图,某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为 x, y (单位:米)的矩 形,上部是斜边长为 x 的等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为 8 平方米. (Ⅰ)求 x, y 的关系式,并求 x 的取值范围; (Ⅱ)问 x, y 分别为多少时用料最省?

x

19、某物流公司购买了一块长 AM = 30 米,宽 AN = 20 米的矩形地块 AMPN ,规划建设占 地如图中矩形 ABCD 的仓库, 其余地方为道路和停车场, 要求顶点 C 在地块对角线 MN 上, B 、 D 分别在边 AM 、 AN 上,假设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地 ABCD 的面积不 少于 144 平方米, AB 长度应在什么范围内? N (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方体形建筑,问 AB 长度为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计) C
D A B

P

M

20、某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用 是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化, 以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水 处理设备?

21、命题 p : 实数 x 满足 x 4ax + 3a < 0 ,其中 a < 0 ,命题 q : 实数 x 满足 x x 6 ≤ 0
2 2 2

或 x + 2 x 8 > 0 ,且 p 是 q 的必要不充分条件,求 a 的取值范围.
2

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22、某建筑的金属支架如图所示,根据要求 AB 至少长 2.8m, C 为 AB 的中点, B 到 D 的 距离比 CD 的长小 0.5m, ∠BCD = 600 ,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计

AB, CD 的长,可使建造这个支架的成本最低?
A C

B

D 地面 参考答案(祥解) 一、选择题 1 B 1、B 解: 7 - 5 = 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 D 8 B 9 A 10 C 11 D 12 C

2 2 2 2 , 5- 3= , < ,故(A)错。 7+ 5 5+ 3 7+ 5 5+ 3

( 3 + 5 )2=8+2 15 , 2 + 6 )2=8+2 12 ,故(B)对。 ( ( 7 + 13 )2=20+ 364 , (3+ 11 )2=20+ 396 ,故(C)错。 5+ 3 26 <5+ 3 27 =8,故(D)也错。 2、C 解:由

1 < 2 x1 < 2 ,得 22 < 2 x 1 < 21 ,即,-2<x-1<1,即-1<x<2,又 x ∈ Z,所以 4

x 为 0,1,即 N={0,1},故可选(C) 。 3、A 解: ( a + 3) 2 (2a 2 + 6a + 11) =- a -2<0,故①错;
2

a 2 + b 2 2(a b 1) = (a 1) 2 + (b + 1) 2 ≥0,故②对; a 3 + b3 (a 2b + ab 2 ) = (a b)2 (a + b) ,因为 a ,b 符号不确定,故③不一定成立。
对于④,因为 a,b 的符号不确定,也不成立。 4、B 解:当 a,b 都大于 0 时,由

a ≥ 1 ,得 a≥b,所以,有 b(b a ) ≤ 0 成立, b

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a ≥ 1 ,得 a≤b,所以,有 b(b a ) ≤ 0 成立,必要性成立。 b a ≥ 1 不成立,充分性不成立。 而当 a<b,且 b<0 时, b(b a ) ≤ 0 成立, b
当 a,b 都小于 0 时,由 5、D 解: x=0 时, 当 原不等式为 k +4≥0 显然成立, x=2 时, 当 原不等式为 k +4≥2 k +2, 即 k -2 k +2≥0,即(k2-1)2+1≥0,也成立,故选(D) 。 6、A 2 解:由 x(3-x)>0,得 x -3x<0,解得:0<x<3。 7、D 解 : 由 a ≥ 0, b ≥ 0 , 且 a + b = 2 , ∴ 4 = ( a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab ≤ 2( a 2 + b 2 ) , ∴
4 2 4 4 2

a 2 + b2 ≥ 2 。
8、B 解:依题意,有
2

4a + 2 c = 0 a = 1 2 ,解得: ,f(x)= x x + 2 , a 1 c = 0 c = 2
1 2

f(-x)= x + x + 2 ,开口向下,与 x 轴交点为 2,-1,对称轴为 x=

9、A 解:依题意,直线经过圆的圆心,圆心为(-1,2) ,故有-2a-2b+2=0,即 a+b=1,

4 1 1 a+b 1 + = = ≥ =4 a b ab ab (a + b) 2
10、C 解:如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形。 (阴影部分面积比 1 大,比 S△OAB = 出来) 11、D.由题意知直线

1 × 2 × 2 = 2 小,故选 C,不需要算 2

x y + = 1 与圆 x 2 + y 2 = 1 有交点,则 a b 1 1 1 ≤1, 2 + 2 ≥ 1 . a b 1 1 + 2 2 a b 1 1 cos α sin α 另解:设向量 m = (cos α ,sin α ), n = ( , ) ,由题意知 + =1 a b a b cos α sin α 1 1 由 m n ≤ m n 可得 1 = + ≤ + a b a2 b2

12、C 解:由

f (2) ≤ 12 2b + c ≤ 8 ,可得: f (1) ≤ 3 b c ≥ 2
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知满足事件 A 的区域:的面积 S (a ) = 16

1 1 × 2 × 2 × 2 × 4 = 10,而满足所有条件 2 2

的区域 的面积: S () = 16 ,从而,得: P ( A) = 二、填空题

S (a ) 10 5 = = 。 S () 16 8

解:A= { x |1 < x < 3} ,B= { x | 2 < x < 4} ,可求 A ∩ B 。

13、 { x| 2 < x < 3} 14、3

x + 3z y2 解:由 x 2 y + 3 z = 0 得 y = ,代入 得 2 xz x 2 + 9 z 2 + 6 xz 6 xz + 6 xz ≥ = 3 ,当且仅当 x =3 z 时取“=” . 4 xz 4 xz
15、5 解:如图,由图象可知目标函数 z = 5 x + y 过点 A(1, 0) 时

z 取得最大值, zmax = 5 ,
16、a≤0.
解:a≤ 4 x 2 x+1 在[1,2]上恒成立,a≤( 4 x 2 x+1 )min=( (2 x 1) 2 1 )min=0. 三、解答题

17、解: I)由 (

(II) Q = x x 1 ≤ 1 = x 0 ≤ x ≤ 2 . 由 a > 0 ,得 P = x 1 < x < a ,又 Q P ,所以 a > 2 , 即 a 的取值范围是 (2, ∞ ) . + (Ⅰ)由题意得: x y + 18.解:

{

x3 < 0 ,得 P = { x 1 < x < 3} . x +1

} {

}

{

}

1 x x = 8( x > 0, y > 0), 2 2

∴y =

8 x , x 4 8 x Q y = > 0,∴ 0 < x < 4 2. x 4

(Ⅱ)设框架用料长度为 l , 则 l = 2 x + 2 y + 2 x = ( + 2) x + 当且仅当 ( + 2)x =

3 2

16 ≥ 4 6 + 4 2 = 8 + 4 2. x

3 2

16 , x = 8 4 2 , y = 2 2, 满足 0 < x < 4 2. x

答:当 x = 8 4 2 米, y = 2 2 米时,用料最少.

19、解: 1)依题意三角形 NDC 与三角形 NAM 相似, ( 欢迎广大教师踊跃来稿,稿酬丰厚。www.ks5u.com 6

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2 DC ND x 20 AD = ,即 = , AD = 20 x , AM NA 30 20 3 2 2 矩形 ABCD 的面积为 S = 20 x x ,定义域为 0 < x < 30 , 3 2 2 要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米即 20 x x ≥ 144 , 3
所以 化简得 x 30 x + 216 ≤ 0 ,解得 12 ≤ x ≤ 18 所以 AB 长度应在 [12,18] 内.
2

(2)仓库体积为 V = 20 x
2

2 3 x (0 < x < 30) 3
'

V ' = 40 x 2 x 2 = 0 得 x = 0或x = 20 ,
所以 x = 20 时 V 取最大值

当 0 < x < 20 时 V > 0 ,当 20 < x < 30 时 V < 0
'

8000 3 米 , 3

即 AB 长度为 20 米时仓库的库容最大. 20、解: (1) y =

100 + 0.5 x + (2 + 4 + 6 + + 2 x) x 100 即y = x+ + 1 .5 ( x > 0 ) ; x

(2)由均值不等式得:

y = x+
当且仅当 x =

100 100 + 1.5 ≥ 2 x + 1.5 = 21.5 (万元) x x
100 ,即 x = 10 时取到等号. x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备. 21、设 A = x | x 2 4ax + 3a 2 < 0( a < 0) = { x | 3a < x < a} ,

{

}

B = { x | x 2 x 6 ≤ 0或x 2 + 2 x 8 > 0} = { x | x 2 x 6 < 0} ∪ { x | x 2 + 2 x 8 > 0}

= { x | 2 ≤ x ≤ 3} ∪ { x | x < 4或x > 2} = { x | x < 4或x ≥ 2}
因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 q p ,且 p 推不出 q 而 CR B = { x | 4 ≤ x < 2} , CR A = { x | x ≤ 3a, 或x ≥ a} 所以 { x | 4 ≤ x < 2} { x | x ≤ 3a或x ≥ a} ,则 即

3a ≥ 2 a ≤ 4 或 a < 0 a < 0

22、解:设 BC = am(a ≥ 1, 4), CD = bm. 连结 BD.

2 ≤ a < 0或 a ≤ 4 3

1 则在 CDB 中, (b )2 = b 2 + a 2 2ab cos 60 . 2

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1 1 a2 4 . ∴ b + 2a = 4 + 2a. ∴b = a 1 a 1 a2
设 t = a 1, t ≥

2.8 1 = 0.4, 2

1 4 + 2(t + 1) = 3t + 3 + 4 ≥ 7, 则 b + 2a = t 4t 等号成立时 t = 0.5 > 0.4, a = 1.5, b = 4. (t + 1) 2
答:当 AB = 3m, CD = 4m 时,建造这个支架的成本最低.

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