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第二章基本初等函数、导数及其应用第7课时课后达标检测


[基础达标] 一、选择题 1 1. (2014· 福州模拟)已知函数 f(x)=log2x-( )x, 若实数 x0 是方程 f(x)=0 的解, 且 0<x1<x0, 3 则 f(x1)的值( ) A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不小于零 1 解析:选 A.在同一坐标系中画出函数 y=log2x 和 y=( )x 的图象如图,由图象可知, 3 1 1x ( )x1>log2x1,即 f(x1)=log2x1-( ) 1<0. 3 3

2.函数 y=lg

1 的大致图象为( |x+1|

)

1 1 解析:选 D.因为 y=lg 是单调递减的偶函数,关于 y 轴对称,则 y=lg 的图象是 |x| |x+1| 1 由 y=lg 的图象向左平移一个单位长度得到的. |x| ? ?log2x,x>0, 3. (2014· 宁夏银川质检)设函数 f(x)=?log (-x),x<0.若 f(a)>f(-a), 则实数 a 的取

? ?

1 2

值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

? ?a>0, 解析:选 C.由题意可得? 或 ?log2a>-log2a ? ?a<0, ? ?log (-a)>log2(-a),解得 a>1 或-1<a<0.

? ?

1 2

4.(2013· 高考课标全国卷Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 解析:选 D.a=log36=log33+log32=1+log32, b=log510=log55+log52=1+log52, c=log714=log77+log72=1+log72,

)

∵log32>log52>log72,∴a>b>c. 5.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( ) 1 A.(0,1) B.(0, ) 2 1 C.( ,1) D.(0,1)∪(1,+∞) 2 解析:选 C.由题意得 a>0,故必有 a2+1>2a, 又 loga(a2+1)<loga2a<0,所以 0<a<1, 1 1 同时 2a>1,∴a> ,综上,a∈( ,1). 2 2 二、填空题 1 6.(2013· 高考安徽卷)函数 y=ln(1+ )+ 1-x2的定义域为________. x 1 x+1 ? ?x<-1或x>0, ? ?1+x>0, ? >0, ? 解析:要使函数有意义,需? 即? x 即? 解得 0<x≤1,所 ? ?-1≤x≤1, 2 2 ? ? ?1-x ≥0, ?x ≤1, 以定义域为(0,1]. 答案:(0,1] 1 7.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f( )log2x,则 f(2)=________. 2 1 1 1 1 1 1 解析: 由已知得 f( )=1-f( )· log22, 则 f( )= , 则 f(x)=1+ · log2x, 故 f(2)=1+ · log22 2 2 2 2 2 2 3 = . 2 3 答案: 2 8.函数 y=log3(x2-2x)的单调减区间是________. 解析:令 u=x2-2x,则 y=log3u. ∵y=log3u 是增函数,u=x2-2x>0 的减区间是(-∞,0), ∴y=log3(x2-2x)的减区间是(-∞,0). 答案:(-∞,0) 三、解答题 9.计算: 1 1 - (1)(lg -lg 25)÷ 100 2; 4 2)2+lg 2·lg 5+ (lg 2)2-2lg 1 lg 2+lg 5 1 - 解:(1)(lg -lg 25)÷ 100 2=-2× 1 4 - 100 2 1 =-2×lg 10÷ =-20. 10 (2)2(lg 2+1.

(2)原式=lg 2(2lg 2+lg 5)+ (lg 2)2-2lg 2+1 =lg 2(lg 2+lg 5)+|lg 2-1|=lg 2·lg(2×5)+1-lg 2=1. 10.(2014· 吉林长春模拟)设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; 3 (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值. 2 解:(1)∵f(1)=2,∴loga4=2(a>0,a≠1),∴a=2. ?1+x>0, ? 由? 得 x∈(-1,3), ?3-x>0, ? ∴函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)

=log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4], ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3 函数 f(x)在[0, ]上的最大值是 f(1)=log24=2. 2 [能力提升] 一、选择题 1.(2013· 高考天津卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调 递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( )
2

A.[1,2] 1 ? C.? ?2,2?
2

1 0, ? B.? ? 2? D.(0,2]

解析:选 C.∵f(log1a)=f(-log2a)=f(log2a),∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1).又∵f(x) 在区间[0,+∞)上单调递增,∴0≤log2a≤1,即 1≤a≤2.∵f(x)是偶函数,∴f(log2a)≤f(- 1 1 1).又 f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,∴-1≤log2a≤0,∴ ≤a≤1.综上可知 ≤a≤2. 2 2 2.(2014· 辽宁大连模拟)已知函数 f(x)=2+log2x,x∈[1,2],则函数 y=f(x)+f(x2)的值 域为( ) 11 A.[4,5] B.[4, ] 2 13 C.[4, ] D.[4,7] 2 解析: 选 B.y=f(x)+f(x2)=2+log2x+2+log2x2=4+3log2x, 注意到为使得 y=f(x)+f(x2) 11 有意义,必有 1≤x2≤2 得 1≤x≤ 2,从而 4≤y≤ . 2 二、填空题 1 1 3.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=________. a b a b 解析:由 2 =5 =m,得 a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 又 + =2,即 + =2, a b log2m log5m 1 ∴ =2,即 m= 10. lg m 答案: 10 - 4.(2014· 河南郑州质检)已知函数 y=F(x)的图象与函数 y=2 x-1 的图象关于直线 y=x 对称,则 F(3)=________. - 解析:由题意 y=F(x)的图象与函数 y=2 x-1 的图象关于直线 y=x 对称,令 F(3)=a, -x - 则点(a,3)必在函数 y=2 -1 的图象上,所以 2 a-1=3,解得 a=-2,即 F(3)=-2. 答案:-2 三、解答题 5.已知函数 f(x)=log1(a2-3a+3)x.
2

(1)判断函数的奇偶性; (2)若 y=f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)=log1(a2-3a+3)x 的定义域为 R.
2

又 f(-x)=log1(a2-3a+3)
2 2

-x

=-log1(a2-3a+3)x=-f(x), 所以函数 f(x)是奇函数.

(2)函数 f(x)=log1(a2-3a+3)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则 y=(a2-3a+3)x 在(-∞,
2

+∞)上为增函数, 由指数函数的单调性,知 a2-3a+3>1, 解得 a<1 或 a>2. 所以 a 的取值范围是(-∞,1)∪(2,+∞). 6.(选做题)已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1, 因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3, 函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? a =1, ? 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2


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