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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 模块综合检测(B)]


模块综合检测(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若命题 p:任意 x∈R,2x2+1>0,则綈 p 是( ) 2 A.任意 x∈R,2x +1≤0 B.存在 x0∈R,2x0+1>0 C.存在 x0∈R,2x0+1<0 D.存在 x0∈R,2x0+1≤0 2.“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 3.若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,则双曲 a b 线离心率的取值范围是( ) A.e> 2 B.1<e< 2 C.e>2 D.1<e<2 x2 2 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另 3 外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) A.2 3 B.6 C .4 3 D.12 5.过点(2,-2)与双曲线 x2-2y2=2 有公共渐近线的双曲线方程为( ) x2 y2 x2 y2 A. - =1 B. - =1 2 4 4 2 2 2 y x y2 x2 C. - =1 D. - =1 4 2 2 4 6.已知 a=(cos α,1,sin α),b=(sin α,1,cos α),则向量 a+b 与 a-b 的夹角是( ) A.90° B.60° C.30° D.0° 7.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为( ) 10 1 3 10 3 A. B. C. D. 10 5 10 5 8.已知椭圆 x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) 30 3 A.3 2 B.2 3 C. D. 6 3 2 2 9.命题 p:关于 x 的不等式(x-2) x -3x+2≥0 的解集为{x|x≥2},命题 q:若函数 y= kx2-kx-1 的值恒小于 0,则-4<k≤0,那么不 正确的是( ) . A.“綈 p”为假命题 C.“p 或 q”为真命题 10. B.“綈 q”为假命题 D.“p 且 q”为假命题

如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成

角的正弦值为( 6 A. 3 15 C. 5

) 2 5 B. 5 10 D. 5 5 6 7

题 答

号 案

1

2

3

4

8

9

10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知向量 a 与 b 的夹角为 120° ,且|a|=|b|=4,那么 b· (2a+b)的值为________. y2 2 12.已知双曲线 x - =1,那么它的焦点到渐近线的距离为________. 3 x2 y2 13.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离心 a b 率=__________________________________________________________________. 14.给出如下三种说法: ①四个实数 a,b,c,d 依次成等比数列的必要而不充分条件是 ad=bc; ②命题“若 x≥3 且 y≥2,则 x-y≥1”为假命题; ③若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题. 其中正确说法的序号为________. x2 y2 15.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为双曲线上一点,且|PF1|= a b 2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(12 分)已知命题 p:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数,q:方程 2x2-2 6x+3 =0 的两根不相等,试写出由这组命题构成的“p 或 q”、“p 且 q”、“非 p”形式的命 题,并指出其真假.

17.(12 分)F1,F2 是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点,从任一焦点向△F1QF2 中的 ∠F1QF2 的外角平分线引垂线,垂足为 P,求点 P 的轨迹.

18.(12 分)若 r(x):sin x+cos x>m,s(x):x2+mx+1>0.已知任意 x∈R,r(x)为假命题且 s(x) 为真命题,求实数 m 的取值范围.

x2 y2 2 19.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 ,过点 B(0, a b 2 -2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

20.(13 分)已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在平面,M,N 分别为 AB,PC 的三等分点,且 → PN=2NC,AM=2MB,PA=AB=1,求MN的坐标.

21.(14 分)

如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1,AC=AA1= 3,∠ABC=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)求二面角 A—A1C—B 的正切值大小.

模块综合检测(B)
1.D [綈 p:存在 x∈R,2x2+1≤0.] 2.A [因为|a|>0?a>0 或 a<0,所以 a>0?|a|>0,但|a|>0 ? a>0,所以 a>0 是|a|>0 的充 分不必要条件.] c 3. C [由题意, 以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点, 故 >a, 2 c ∴ >2.] a 4.C [设椭圆的另一焦点为 F,由椭圆的定义知 |BA|+|BF|=2 3,且|CF|+|AC|=2 3, 所以△ABC 的周长=|BA|+|BC|+|AC| =|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4 3.] x2 x2 5.D [与双曲线 -y2=1 有公共渐近线方程的双曲线方程可设为 -y2=λ, 2 2 由过点(2,-2),可解得 λ=-2. y2 x2 所以所求的双曲线方程为 - =1.] 2 4 2 6.A [(a+b)· (a-b)=|a| -|b|2 =(cos2α+1+sin2α)-(sin2α+1+cos2α)=0, ∴a+b 与 a-b 的夹角为 90° .] 7.C [

以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB =1,则 AA1=2,依题设有 B(1,1,0),C(0,1,0), D1(0,0,2),E(1,0,1), → → ∴BE=(0,-1,1),CD1=(0,-1,2). 0+1+2 3 10 → → ∴cos〈BE· CD1〉= = .] 10 2· 5 8.C [令直线 l 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2 ? ① ?x1+2y1=4 则? 2 2 ?x2+2y2=4 ② ? ①-②得:(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0,即 2(x1-x2)+4(y1-y2)=0, 1 ∴kl=- ,∴l 的方程:x+2y-3=0, 2 ?x+2y-3=0 ? 由? 2 ,得 6y2-12y+5=0. 2 ? x + 2 y - 4 = 0 ? 5 ∴y1+y2=2,y1y2= . 6 ?1+ 12??y1-y2?2= 30.] ∴|AB|= ? k? 3 9.D

10.D

[

以 D 点为坐标原点,以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直 角坐标系, 则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1). → → → ∴BC1=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),且AC为平面 BB1D1D 的一个法向量. → → BC1· AC 4 10 → → ∴cos〈BC1,AC〉= = = .∴BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 5 → → 5· 8 |BC1 | · |AC| 10 .] 5 11.0 12. 3 解析 焦点(± 2,0),渐近线:y=± 3x, 2 3 焦点到渐近线的距离为 = 3. ? 3?2+1 13. 5 x2 y2 b b 解析 双曲线 2- 2=1 的渐近线方程为 y=± x, 因为 y=x2+1 与渐近线相切, 故 x2+1± a b a a 2 2 2 2 c -a b c x=0 只有一个实根,∴ 2-4=0,∴ 2 =4,∴ 2=5,∴e= 5. a a a 14.①② 解析 对①a,b,c,d 成等比数列,则 ad=bc,反之不一定.故①正确;对②,令 x=5, y=6,则 x-y=-1,所以该命题为假命题,故②正确;对③,p 且 q 假时,p,q 至少有 一个为假命题,故③错误. 15.(1,3] 解析 设|PF2|=m,则 2a=||PF1|-|PF2||=m, 2c=|F1F2|≤|PF1|+|PF2|=3m. c 2c ∴e= = ≤3,又 e>1, a 2a ∴离心率的取值范围为(1,3]. 16.解 “p 或 q”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数或不相等. “p 且 q”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根都是实数且不相等. “非 p”的形式:方程 2x2-2 6x+3=0 的两根不都是实数. ∵Δ=24-24=0,∴方程有两相等的实根. ∴p 真,q 假.∴“p 或 q”真,“p 且 q”假,“非 p”假. 17.解

x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0),F1,F2 是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点,QP a b 是△F1QF2 中的∠F1QF2 的外角平分线(如图), 过 F2 作 F2P⊥QP 于 P 并延长交 F1Q 的延长线于 H,

则 P 是 F2H 的中点,且|F2Q|=|QH|, 1 1 因此|PO|= |F1H|= (|F1Q|+|QH|) 2 2 1 = (|F1Q|+|F2Q|)=a, 2 ∴点 P 的轨迹是以原点为圆心,以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与 x 轴的交 点). π? 18.解 由于 sin x+cos x= 2sin? ?x+4?∈[- 2, 2],任意 x∈R,r(x)为假命题即 sin x +cos x>m 恒不成立.∴m≥ 2.① 又对任意 x∈R,s(x)为真命题. ∴x2+mx+1>0 对 x∈R 恒成立. 则 Δ=m2-4<0,即-2<m<2.② 故任意 x∈R,r(x)为假命题,且 s(x)为真命题,应有 2≤m<2. x2 19.解 (1)易得椭圆方程为 +y2=1. 2 (2)∵F1(-1,0), ∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ?2 由?x 得 9x2+16x+6=0. 2 + y = 1 ? ?2 ∵Δ=162-4×9×6=40>0, 所以直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1,y1),D(x2,y2), 16 x1+x2=- 9 则 , 2 x1· x2= 3

? ? ?

∴|CD|= 1+?-2?2|x1-x2| = 5· ?x1+x2?2-4x1x2 16?2 2 10 = 5· ? ?- 9 ? -4×3= 9 2, 4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF2= |CD|· d= 10. 2 9 20.解 方法一

→ → → ∵PA=AB=AD=1,且 PA⊥面 ABCD,AD⊥AB,∴可设DA=i,AB=j,AP=k,以{i, j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. → → → → ∵MN=MA+AP+PN 2→ → 2→ =- AB+AP+ PC 3 3 2→ → 2 → → → =- AB+AP+ (-AP+AD+AB) 3 3

1→ 2 → 1 2 → = AP+ AD= k+ (-DA) 3 3 3 3 2 1 =- i+ k. 3 3 2 1 → - ,0, ?. ∴MN=? 3? ? 3 → → → 方法二 设DA=i,AB=j,AP=k,以{i,j,k}为单位正交基底建立如图所示的空间直角 坐标系,过 M 作 AD 的平行线交 CD 于点 E.可知 NE∥PD. → → → → 1→ ∵MN=ME+EN=AD+ DP 3 1 1 → → → =-DA+ (DA+AP)=-i+ (i+k) 3 3 2 1 =- i+ k, 3 3 1 → ? 2 ∴MN=?-3,0,3? ?. 21.(1)证明 ∵三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱

, ∴AB⊥AA1. 在△ABC 中,AB=1,AC= 3,∠ABC=60° , 由正弦定理得∠ACB=30° , ∴∠BAC=90° ,即 AB⊥AC, 如图,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0, 3,0),A1(0,0, 3), → → ∴AB=(1,0,0),A1C=(0, 3,- 3), → → ∴AB· A1C=1×0+0× 3+0×(- 3)=0, ∴AB⊥A1C. → (2)解 如图,可取 m=AB=(1,0,0)为平面 AA1C 的法向量,设平面 A1BC 的法向量为 n= (l,m,n). → → → 则BC· n=0,A1C· n=0,又BC=(-1, 3,0),

?-l+ 3m=0, ∴? ? 3m- 3n=0,

∴l= 3m,n=m.

不妨取 m=1,则 n=( 3,1,1). m· n cos〈m,n〉= |m|· |n| 3×1+1×0+1×0 15 = = . 2 2 2 2 2 2 5 ? 3? +1 +1 · 1 +0 +0 设二面角 A—A1C—B 的大小为 θ, 15 10 ∴cos θ=cos〈m,n〉= ,sin θ= . 5 5 6 6 从而 tan θ= ,即二面角 A—A1C—B 的正切值为 . 3 3



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