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2019届一轮复习北师大版(文)4.6正弦定理和余弦定理学案

§ 4.6 最新考纲 正弦定理和余弦定理 考情考向分析 以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题. 三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三 角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合 思想的应用意识.题型多样,中档难度. 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 a b c = = =2R sin A sin B sin C (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C; 变形 a b c (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A b2+c2-a2 (4)cos A= ; 2bc c2+a2-b2 cos B= ; 2ac a2+b2-c2 cos C= 2ab 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A; 内容 b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 2.在△ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 3.三角形常用面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示边 a 上的高); 2 a a 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B= bcsin A; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 知识拓展 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A+B+C=π; A+B π C 变形: = - . 2 2 2 2.三角形中的三角函数关系 (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sin A+B A+B C C =cos ;(4)cos =sin . 2 2 2 2 3.三角形中的射影定理 在△ABC 中,a=bcos C+ccos B; b=acos C+ccos A; c=bcos A+acos B. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B.( √ ) (3)当 b2+c2-a2>0 时,三角形 ABC 为锐角三角形.( × ) a+b-c a (4)在△ABC 中, = .( √ ) sin A sin A+sin B-sin C (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ 题组二 教材改编 2.在△ABC 中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为 答案 等腰三角形或直角三角形 . ) 解析 由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B,所以 2A=2B 或 2A=π-2B, π 即 A=B 或 A+B= , 2 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 3.在△ABC 中,A=60° ,AC=4,BC=2 3,则△ABC 的面积等于 答案 2 3 2 3 4 解析 ∵ = ,∴sin B=1,∴B=90° , sin 60° sin B 1 ∴AB=2,∴S△ABC= ×2×2 3=2 3. 2 题组三 易错自纠 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c<bcos A,则△ABC 为( A.钝角三角形 C.锐角三角形 答案 A 解析 由已知得 sin C<sin Bcos A, ∴sin(A+B)<sin Bcos A, ∴sin A· cos B+cos A· sin B<sin B· cos A, 又 sin A>0,∴cos B<0,∴B 为钝角, 故△ABC 为钝角三角形. 5.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45° ,则此三角形( A.无解 C.有一解 答案 B 解析 ∵bsin A=12 2<a<b. ∴三角形的个数有两个. sin 2A 6.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 = sin C 答案 1 2 2 2 sin 2A 2sin Acos A a b +c -a 解析 = =2 · sin C sin C c 2bc . ) B.直角三角形 D.等边三角形 ) B.有两解 D.解的个数不确定 . 4 25+36-16 =2× × =1. 6 2×5×6 题型一 利用正、余弦定理解三角形 1.(2016· 山东)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 b=c,a2=2b2(1-sin A), 则 A 等于( ) 3π π π π A. B. C. D. 4 3 4 6 答案 C 解析 在△ABC 中,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, ∵b=c,∴a2=2b2(1-cos A),又∵a2=2b2(1-sin A), ∴cos A=sin A,∴tan A=1, π ∵A∈(0,π),∴A= ,故选 C. 4 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 8b=5c,C=2B,则 cos C 等于 ( ) 7 B.- 25 24 D. 25 7 A. 25 7 C.± 25 答案 A 解析 ∵8b=5c,∴由正弦定理,得 8sin B=5sin C. 又∵C=2B,∴8sin B=5sin 2B, ∴8sin B=10sin Bcos B. 4 ∵sin B≠0,∴cos B= , 5 7 ∴cos C=cos 2B=2cos2B-1= . 25 1 π 3. 设△ABC 的内角 A, B, C 的


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