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关於三角形平分线的几何有趣性质


EduMath 18 (6/2004)

關於三角形平分線的幾何有趣性質
丁遵標 安徽?舒城具杭中學
本文建?與三角形角平分線有關的三個有趣的幾何性質。 設ta、tb、tc分別是 ΔABC的 ∠A、∠B、∠C的角平分線長,外接圓 bc R ca ab + + = 2 + 。 半徑為R,內接圓半徑為r,則有 2 2 2 r ta tb tc 證 設 ΔABC的半周長為S。由三角形平分線公式知 ta = ∴ ta =
2

定理 1

2bc cos A 2 。 b+c

4b 2 c 2 cos 2 (b + c) 2

A 2

=

2b 2 c 2 (1 + cos A) (b + c) 2
? ? ? ?

= =

=

b2 + c2 ? a2 2b 2 c 2 ? ?1 + 2bc (b + c) 2 ? ? bc (b + c + a )(b + c ? a ) (b + c ) 2 4bcs ( s ? a ) (2s ? a) 2

(2s ? a) 2 bc ∴ = 2 4s(s ? a) ta 1 s ca + 同?, = 2 4 s ?b tb 1 s ab + = 2 4 s?c tc bc ca ab + 2 + 2 ∴ 2 ta tb tc =
= s 4

=

s?a 1 s 1 + + 4 s?a 2 4s

1 s ?b + 2 4s 1 s?c + 2 4s

? 1 1 1 ? ? ?+ ? s?a + s?b + s?c ? ? ? s ? 1 1 1 ? ? ?+ + + ? s ?b s?c ? 4 ? s?a ?

3 3s ? a ? b ? c + 2 4s
7 4
101

........................................... (1)

?學教育第十八期 (6/2004)

Q

(s ? a)(s ? b)(s ? c) = r 2 s 1 1 1 ab + bc + ca ? s 2 + + = s?a s?b s?c ( s ? a )( s ? b)( s ? c) ab + bc + ca = s 2 + 4 Rr + r 2 1 1 1 4 Rr + r 2 + + = = s?a s?b s?c r 2s
4R + r rs





................ (2)
R (證完) r

由 (1) 和 (2) 得 bc ca ab + + 2 2 2 ta tb tc

=

s 4R + r 7 + rs 4 4
bc ca ab + 2 + 2 2 ta tb tc

= 2+

由 Euler ?等式 R ≥ 2r 知 下面的性質:

≥ 4。於是,我們?可得到

推論 設 ta 、 tb 、 tc 分別是 ΔABC 的 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 的角平分線長,則有 bc ca ab + 2 + 2 ≥ 4。 2 ta tb tc 定理 2 設ta、tb、tc分別是 ΔABC的 ∠A、∠B、∠C的角平分線長,外接圓

半徑為R,內?圓半徑為r,則有

1 ta
2

+

1 tb
2

+

1 tc
2

15 R 2 + 4r 2 ≥ 。 24 R 3 r



由定? 1 已證出ta2 =
1 ta
2

4bcs ( s ? a ) 。 (2s ? a) 2 =
1 4bc ? ? ? ?



= =

(2s ? a ) 2 4bcs ( s ? b)

? s s?a ? ? s?a +2+ s ? s 3 a2 + ? 4bc ( s ? a ) 4bc 4abcs

同?

1 tb tc
2

= =

s 3 b2 + ? 4ca ( s ? b) 4ca 4abcs s 3 c2 + ? 4ab( s ? c) 4ab 4abcs

1
2

Q

abc = 4 Rrs,(s ? a)(s ? b)(s ? c) = r 2 s,R ≥ 2r,

102

EduMath 18 (6/2004)

∴ = ≥ = = ≥ =

1 1 1 1 + + = ,a2 + b2 + c2 = 2(s 2 ? 4 Rr ? r 2), ab bc ca 2 Rr 1 1 1 + 2 + 2 2 ta tb tc ? 3? 1 s? 1 1 1 1 1 ? a2 + b2 + c2 ? ? + ?? + + ?+ ? + 4? 4abcs ? bc ( s ? a ) ca( s ? b) ab( s ? c) ? 4 ? ab bc ca ?
3s 4 3s 4
3

3 1 2( s 2 ? 4 Rr ? r 2 ) 1 + ? 4 2 Rr a 2 b 2 c 2 ( s ? a )( s ? b)( s ? c) 16 Rrs 2 4R + r 1 1 + + 4 Rr 8Rs 2 16 R 2 r 2 s 2 r 2 s

3

4R + r 3 3 4R 1 + + 16 Rr r 4 Rr 8 Rs 2 3 1 9r + + 8 Rr 4 Rr 8 Rs 2 5 9r + 8 Rr 8 Rs 2
3 3 R 2 1 1 1 + + 2 2 2 ta tb tc = 5 r + 8 Rr 6R 3
15 R 2 + 4r 2 = (證完) 24 R 3 r

又,?證 s ≤

∴ ≥

5 9r + 2 8 Rr 8 R 27 4 R

定理 3

設ta、tb、tc分別是 ΔABC的 ∠A、∠B、∠C的角平分線長,外接圓
432 R 2 r 2 。 31R + 2r

半徑為R,內?圓半徑為r,則有ta tb tc ≥ 證 由定? 1 已證得ta2 =

4bcs ( s ? a ) 。 (2s ? a) 2



2 bcs( s ? a ) b+c 2 cas( s ? b) 同?:tb = ,tc = c+a

ta =

2 abs( s ? c) 。 a+b

103

?學教育第十八期 (6/2004)


Q

ta t b t c =

8abcs s ( s ? a )( s ? b)( s ? c) (a + b)(b + c)(c + a )

=

8 abcs Δ ( a + b)(b + c)(c + a )



Δ = rs,abc = 4 Rrs,(a + b)(b + c)(c + a) = 2s(s 2 + 2 Rr + r 2), 8 ? 4 Rrs ? s ? rs 16 Rr 2 s 2 = ta t b t c = 2 s ( s 2 + 2 Rr + r 2 ) s 2 + 2 Rr + r 2

16 Rr 2 = 2 Rr + r 2 1+ s2 27 Rr , 由文 [2] 已證得 s 2 ≥ 2 16 Rr 2 = ∴ ta t b t c ≥ 2 Rr + r 2 1 + 27 2 Rr

432 R 2 r 2 (證完) 31R + 2r

?考文獻
1. 2. 張贇(2002) 。涉及三角形角平分線的又一?等式。 《中等?學》2002。2 丁遵標(2002) 。Gerretsen ?等式的加強。 《河??科?學研究》 。2002。2

104



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