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数学高一(上)(函数的性质——奇偶性(一))学生版






函数的性质—奇偶性 (一)
1、 掌握函数奇偶性的概念,并能判断一些简单函数的奇偶性; 2、 掌握函数的继续偶性与函数图像的关系。 教学内容

教学目的

【知识梳理】
1.函数奇偶性的定义:

2.判断函数奇偶性的方法: 步骤: (1)看定义域是否是对称区间(是的话就继续,不是就是非奇非偶函数) (2)找 f(x)与 f(-x)之间的关系,若 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数,若 f(-x)= -f(x),那么 f(x)就叫做奇函数 注意强调: ①定义本身蕴涵着:函数的定义域必须是关于原点的对称区间――这是奇(偶)函数的必要条件――前提 ②"定义域内任一个":意味着不存在"某个区间上的"的奇(偶)函数――不研究 ③判断函数奇偶性最基本的方法:先看定义域,再用定义――f(?x)=f(x) ( 或 f(?x)=?f(x) ) 3.奇偶函数的图像: 奇函数?图象关于原点对称 偶函数?图象关于 y 轴对称

4.根据规律判断函数的奇偶性: 偶函数与偶函数的和是偶函数;偶函数与奇函数的和是非奇非偶函数;奇函数与奇函数的和是奇函数;偶函数与 偶函数的积是偶函数;奇函数与奇函数的积是偶函数;偶函数与奇函数的积是奇函数

【典型例题分析】
判断下列函数的奇偶性: 例 1、 (1) y ?

1 x

(2) y=2x

(3) y=?3x +1 (4) y=2x +3x
2

4

2

(5)y=0 (6)y=2x+1

(7) f ( x) ? ( x ? 1)

2

变式练习 1:
1

(1)f(x)=x

?2

+x 2 ;

(2)f(x)=x-

1 ; (3)f(x)= x2 ; x

(4)f(x)=

|x| 。 x

变式练习 2: 已知 f (x) =ax2+bx+3a+b 是偶函数, 且其定义域为 [a-1, 2a] , 则 a=___________, b=___________.

-1-

例 2、判断下列函数的奇偶性:

1. f ( x) ? ( x ? 1)

1? x 1? x

2. f ( x) ? x 2 ? 1 1 ? x 2

? x 2 ? x ( x ? 0) 3. f ( x) ? ? 2 ? x ? x ( x ? 0)

4 .f(x)=|x+1|-|x-1|

变式练习:判断下列函数的奇偶性,并证明你的结论。 1. f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 2. f ( x) ? x 3 3、判断 f ( x ) ?

1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

的奇偶性。

例 3、函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0},且满足对于任意 x1、x2∈D,有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明;

变式练习 1、若 f(x)是定义在 R 上,对任意的 x,y 均满足 f(x+y)=f(x)+f(y),试判断 f(x)为奇函数还是偶函数?

变式练习 2、已知 f(x) 、g(x)都是奇函数,f(x)>0 的解集是(a ,b) ,g(x)>0 的解集是 ? (x) ·g(x)>0 的解集是

2

? a2 b ? , ? ,那么 f ? 2 2?

a2 b A.( 2 , 2 )

b b 2 2 2 B.(-b,-a ) C.(a , 2 )∪(- 2 ,-a )
2 ? ?? x ? 3x ? x ? 0 ? 的奇偶性 2 ? x ? 3 x x ? 0 ? ? ? ?

a2 2 2 D.( 2 ,b)∪(-b ,-a )

例 4、判断函数 f ? x ? ? ?

-2-

变式练习: (1)已知 f(x)为奇函数,且当 x>0 时的解析式是 f ( x) ? x x ? 3 ,求当 x<0 时的解析式。 (2)已知 f(x)为偶函数,且当 x<0 时的解析式是 f ( x) ? x2 ? 2x ,求当 x>0 时的解析式。 (3)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 是, f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 1求 f(x)的解析式。

【课堂小练】
1、判断下列函数的奇偶性 (1) f ? x ? ?

x 2 ? x ? 1? x ?1

(2) f ? x ? ? 1 ? x ? (4) f ? x ? ?

x ?1
(5) f ? x ? ? 2x ? 3 ? 2x ? 3

2 2 (3) f ? x ? ? x ? 1 ? 1 ? x

3 ? x2 x?4 ?4

2、下面四个结论中,正确命题的个数是 ①偶函数的图象一定与 y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于 y 轴对称 ④既是奇函 数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) A.1 B.2 C.3 D.4 2 3 2 3、已知函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)是偶函数,那么 g(x)=ax +bx +cx 是 A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 4、 若函数 f(x)=(x-a) +bx+c 是偶函数,则 a、b、c 应具备什么条件?
2

【课堂总结】
奇、偶函数的性质 (1)具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称(也就是说,函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关 于原点对称). (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)若奇函数的定义域包含数 0,则 f(0)=0. (4)奇函数的反函数也为奇函数. (5)定义在(-∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和

-3-

【课后练习】
一、 单选题 1. 函数 f (x) = x4-x2 在区间[a,b](a≠b)上( ) A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 2. 若奇函数 f(x)在[a,b]上,(a<b<0)上有最大值-5,且为增函数,则 f(x)在区间[-b,-a]上是( A.增函数且有最大值-5 B.增函数且有最小值 5 C.减函数且有最小值 5 D.减函数且有最大值-5 3.若函数 f ( x) ? x x ? 2bx(b ? 0) 定义在 R 上,则 f(x)( )



A.既是偶函数,又是增函数 B.既是偶函数,又是减函数 C.既是奇函数,又是增函数 D.既是奇函数,又是减函数 4. 对于定义域是 R 的任何奇函数 f(x),都有( ) A.f (x)-f (-x)>0,(x∈ R) B.f ( x )-f (-x)≤0(x∈ R) C.f ( x )· f (-x)≤0,(x ∈ R ) D.f ( x )· f (-x)<0(x ∈ R) 5.已知偶函数y ? f ( x)在(0,+?)上的图像如下,那么在(-?,0)上,f ( x) ? ( A、 x ? 1 B、 x ? 1 C、 ? x ? 1 D、 1 ? x )

6. 若 f (x) = (m-1)x2+2mx+3(x ∈ R)为偶函数,那么在(0,+ ∞)内 f(x)是( ) A.增函数 B.部分是增函数,部分是减函数 C.减函数 D.不能确定增减性 7. 已知函数 f(x)定义域为[a,b],其中 b>-a>0,那么,函数 f ( x ) + f ( -x )的定义域是( A.[a,b] B.[a,-a] C.[-b,-a] D.[-b,b]



二、 填空题 1. 已知 f(x)为偶函数,当 x<0 时,f(x)=2x-3,那么当 x>0 时,f(x)=_______. 2. 函数 f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上表达式是 f(x)=x2+2x+5,则在(0,+∞)上表达式为_______. 3. 偶函数 f(x)在区间[2,4]上是减函数,则 f (-3)_________f (3.5). 4. 若函数 f(x)=x3+bx2+cx 是奇函数,函数 g(x)=x2+(c-2) x+5 是偶函数,则 b=______,c=_______. 5. 已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)=________. 三、解答题: 1、判断函数 f ( x ) ?

1 ? x ? x2 ? 1 1 ? x ? x2 ? 1

的奇偶性

-4-





函数的性质---奇偶性(二)
掌握函数奇偶性的概念,并能判断一些简单函数的奇偶性; 掌握函数的继续偶性与函数图像的关系。 教学内容

教学目的

【知识梳理】
问题思考: 1、 什么是奇函数(偶函数)? 2、 如何判断函数的奇偶性? 3、 函数的就奇偶性进行分类,有哪几类?

【典型例题分析】
例 1、设 f ? x ? 为奇函数, g ? x ? 为偶函数,且 f ? x ? ? g ? x ? ?

1 ? x ? 0,1, ?1? ,求 f ? x ? 和 g ? x ? 的解析式。 x ?x
2

变式练习 1:已知 f ? x ? 是偶函数, g ? x ? 是奇函数,定义域都是 x x ? R, 且x ? ?1 , 且f ? x ? ? g ? x ? ?

?

?

1 ,则 x ?1

f ? x ? ? ________________
变式练习 2:任意一个定义域为对称区间的函数 f(x),都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和,即 f(x)= 例 2、已知 f ? x ? 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x x ? 3 ,求 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式。

变式练习 1:若 f ? x ? 为奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,则当 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式是( A



x ? x ?1?

B

?x ? x ?1?

C

x ? x ? 1?
2

D

?x ? x ?1?

变式练习 2:已知 f ? x ? 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ?1 ? x ? ,求 f ? x ? 的解析式。

例 3、已知函数 f ? x ? 对一切 x, y ? R ,都有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ?

? x? y ? ? ,求证: f ? x ? 为奇函数。 ? 1 ? xy ?

-5-

变 式 1 : 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 是 R , 且 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? , 对 任 意 x, y 恒 成 立 , 则 f ? x ? 是 ( ) A 偶函数 B 既是偶函数又是奇函数 C 奇函数 D 既非偶函数又非奇函数

变式练习 2:已知函数 f ( x ) 对任意的实数想,x,y 均有 f ( x ) ? f ( y ) ? 2 f (

x? y x? y )f( ), f (0) ? 0, 2 2

且存在非零常数c使f (c) ? 0
(1) 求 f(0)的值 (2) 讨论函数 f(x)奇偶性

例 4、已知函数 f ? x ? ?

ax 2 ? 1 ? a, b, c ? Z ? 是奇函数,又 f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求函数 f ? x ? 的值域。 bx ? c

练习:函数 f ? x ? ? ax5 ? 6x3 ? cx ? 2 ,若 f ? 5? ? 10 ,求 f ? ?5?

例 5、函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是奇函数,则 A f ? x ? 是偶函数 例 6、小题组训练 (1) 函数f ( x) ? x x ? a ? b是奇函数的充要条件( B f ? x ? 是奇函数 C f ? x ? ? f ? x ? 2?





D f ? x ? 3? 是奇函数




A 、ab=0 B、a+b=0 C、a=b D、a2+b2=0 (2)已知函数 f(x)偶函数,其图像与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和等于( A、4 B、2 C、1 D、0 (3) 函数f ( x) ? ?

? x(1 ? x),( x ? 0) ? x(1 ? x),( x ? 0)





A、是奇函数单不是偶函数 B、是偶函数单不是奇函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数也不是偶函数

【课堂小练】
一、基础巩固 1.判断 f ? x ? ? ? x ? 1?
2

1? x 的奇偶性__________________ 1? x

2.函数 y ? x ? 2 ? m ?1? x ? 2 是偶函数,则 m ? ______________

-6-

3.若 f ? x ? ? ax ? bx3 ? 1 ( a , b 是常数) ,且 f ?1? ? 2 ,则 f ? ?1? ? ________ 4. 函数 f ? x ? 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? 5 ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? _______

a ? x2 5.函数 f ? x ? ? 为奇函数的充要条件是 x ?1 ?1
A 0 ? a ?1 B 0 ? a ?1 C

( D



a ?1

a ?1

6.设函数 f ? x ? ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题:① c ? 0 时, f ? x ? 是奇函数;②

b ? 0, c ? 0 时,方程 f ? x ? ? 0 只有一个实根;③ f ? x ? 的图像关于 ? 0, c ? 对称;④方程

f ? x ? ? 0 至多有两个实根。
其中命题正确的是 A ①④ 二、能力提升 ( B ①③ C ①②③ D ①②④ )

7.若 f ? x ? 是 R 上的奇函数,则 f 1 ? 2 ? f ?

?

?

?

1 ? ? ? ______________ ? 1? 2 ?

8. 已 知 函 数 f ? x ? , g ? x ? 的 定 义 域 为 R , f ? x ? 是 奇 函 数 , g ? x ? 是 偶 函 数 , 用 定 义 域 讨 论 函 数

F ? x ? ? ? f ? x ?? ? 3g ? x ? 的奇偶性。
2

三、开放探究 9.已知 f ? x ? ? ? m ? 1? x ? ? n ? 2? x ? ? m ? 1? ,问: (1)当 m, n 为何值时, f ? x ? 是奇函数; (2)当 m, n 为何值时,
2

f ? x ? 是偶函数。

-7-

四、高考体验 10.已知函数 f ? x ? 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有 xf ? x ?1? ? ?1 ? x ? f ? x ? ,则

? ? 5 ?? f ? f ? ? ? 的值是 ? ? 2 ??
A0 B





1 2

C1

D

5 2

【课堂总结】
1、 判断函数的奇偶性一定先看定义域 2、 函数奇偶性的证明必须严格按照定义去证明

【课后练习】
1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ? x ? ? 2x4 ? 3x2 (2) f ? x ? ? x0 (3) f ? x ? ?

x ?1 ? 1 ? x

2 (4) f ? x ? ? x , x ? ?1,1?

?

? x ?1 ? x ? , x ? 0 ? (5) f ? x ? ? ?0, x ? 0 ?x 1? x , x ? 0 ? ? ?

2.设函数 f ? x ? 的定义域是 ? ??, ??? ,且 f ? x ? 不恒等于零,瑞对于任意 x ? R 满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? ,判 断 f ? x ? 的奇偶性,若满足 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? 又怎么判断其奇偶性了?

3.已知 F ? x ? ? ?1 ?

? ?

2 ? ? f ? x ? , ? x ? 0 ? 是偶函数,且 f ? x ? 不恒等于零,判断 f ? x ? 的奇偶性。 2 ?1 ?
x

4.设 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? 1 ,若 f ? ?? ? ? _____________
5 3

5.我们称一个函数图像关于某点成中心对称或关于某对称轴的函数为自对称函数。 奇函数与偶函数的图像都是自对称 图形,是否有非奇非偶函数为自对称函数,请举例加以说明_____________ 6.若函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ? x ? 1? ? f ? ? x ? ;又当 0 ? x ? 1 时,有 f ? x ? ? x ,则 f ?1.5? 的值是 ___________ 7.对于定义域是 R 的任意奇函数 f ? x ? 都有 ( A f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R ? C f ? x ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R? )

B f ? x ? ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R ? D f ? x ? f ? ?x ? ? 0 ? x ? R?
-8-

8.设 f ? x ? 是定义 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2x ? x ?1? ?1 ,求 f ? x ? 的解析式

9.设 f ? x ? 是定义 R 上的奇函数, g ? x ? 是定义 R 上的偶函数, (1)判断 F ? x ? ? ? ? f ? x ?? ? ? 3g ? x ? 的奇偶性;
2

(2)若 3 f ? x ? ? 3g ? x ? ? 6x2 ? 2x ? 3 ,求 f ? x ? , g ? x ? 的解析式。

10.(1)求证:定义在 ? ??, ??? 上的任意函数 f ? x ? 都可以表示成一个奇函数 g ? x ? 和一个偶函数 h ? x ? 之和; (2)若 f ? x ? ?

x 2 ? x ? 1 ,求 g ? x ? 和 h ? x ?

11. 已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为 零的偶函数,且对任意实数

x 都有 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则

5 f ( f ( )) 的值是 2
A.0 B.

1 2

C.1

D.

5 2

-9-

12.若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f ( x) ?

1 1 ,则 f ( ) = x ?1 2



13.已知函数

f ( x) ? x2 ? 2 | x | .

(Ⅰ)判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ)画出函 数 g ?x ? ? f (4 ? x) 的图象,并比较 g ?? 1?与g (6) 大小

14.已知

1? ? 1 f ? x? ? x ? x ? ? ? x ? 0? , ? 2 ?1 2 ?

⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0 .

- 10 -



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