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安徽省野寨中学、岳西中学2011届高三数学上学期联考 文【会员独享】

2011 届野寨中学、岳西中学高三联考·数学(文科)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题意要求的.
? 1.设集合 A、B 是全集 U 的两个子集,则 A B 是 ?CU A? ? B ? U 的( ?



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 z?2 2. 已知 z 是纯虚数, 是实数,那么 z 等于( 1-i A.2i B.i C.-i 3.若 3sin ? ? cos ? ? 0 ,则 B.
5 3 1 的值为( ( cos ? ? sin 2?
2

) D.-2i )、 A.
10 3

C.

2 3

D. ?2 .o.m

4.把函数 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有点向左平行移动 所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 示的函数是( ) ? A. y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3 ? C. y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3 5.等差数列 {an } 中, a1 A.9 B.10

? 个单位长度,再把 3

1 倍(纵坐标不变) ,得到的图象所表 2

x ? B. y ? sin( ? ) , x ? R 2 6 2? D. y ? sin(2 x ? ) , x ? R 3

= 1, a 3 + a 5 = 14 ,其前

n 项和 S n

= 100 ,则

n 等于(



C.11

D.12 )

6.已知曲线 y = A.3

1 x2 - 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 2 4

B.2

C.1

D.

1 2

?y ? x ?1 7.在坐标平面上,不等式组 ? 所表示的平面区域的面积为( ? y ? ?3 | x | ?1
A.
2

)

B.

3 2

C.

3 2 2

D.2

8.已知双曲线 C:

x2 y2 = 1(a > 0, b > 0 ) ,以 C 的右焦点为圆心且与 C 的渐近线相 a 2 b2

切的圆的半径是( A.
ab

) B. a 2 + b2 C. a D. b )

9.圆 x 2 + y 2 - 2x - 1 = 0 关于直线 2x A. (x + 3)2 + (y - 2)2 =
1 2

- y + 3 = 0 对称的圆的方程是(

B. (x - 3)2 + (y + 2)2 =

1 2

C. (x + 3)2 + (y - 2)2 = 2

D. (x - 3)2 + (y + 2)2 = 2

10. 已 知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0 , 点 C 在 ?AOB 内 , 且 ?AOC ? 300 , 设

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则
A.
1 3

m n

等于( C.
3 3

) D.
3

B.3

二、填写题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在答题卡相应 位置. 11.命题 “若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 ”的否命题为 12.使 log2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围是 13.已知直线 x
- y - 1 = 0 与抛物线 y = ax 2 相切,则 a =

。 。 。
0

14.△ABC 的内角 A,B,C 的对边为 a, b, c ,若 c = 15. 已知 {an } 是等比数列,a2 = 2, a5 =
1 , 则 a1a2 4

2, b =

6, B = 120

,则 a =

。 。

? a2a3 ? ? ? anan ?1 等于
科网]

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分) π π π 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) .求: 8 8 8 (I)函数 f ( x) 的最小正周期; (II)函数 f ( x) 的单调增区间。

( ) =f ( x) 2 17. (本题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + 3bx + c(b < 0) , 且 gx



奇函数。 (1)求 a, c 的值;

(2)求函数 f (x ) 的单调区间。

18. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a n ?

2n a n ?1 ? n n ?1

(n ? 2, n ? N * ) .且 bn ?

an ? ? k 为等比数列。 n

(Ⅰ) 求实数 ? 及数列 ?bn

?、 {an } 的通项公式;
y
P

(Ⅱ) 若 S n 为 {an } 的前 n 项和,求 S n 。

19. (本题满分 13 分) 如图,点 A、 B 分别是椭圆

x2 y2 ? ?1 36 20

A O

M

F

B

x

长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点.点 P 在椭圆上,且 位于 x 轴的上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 MB ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值。 20. (本题满分 13 分)设实数 a < 0 , 设函数 f (x ) = a 1 - x 2 + 1 + x + 1 - x 的 最大值为 g(a ) 。 (1)设 t =
1+ x + 1- x

,求 t 的取值范围,并把 f (x ) 表示为 t 的函数 h (t ) ;

(2)求 g(a ) 。

21. (本题满分 13 分)已知点 A(1, 0), B (0,1) 和互不相同的点 P 1, P 2, P 3 ,?, P n ,?,满
* 足 OP O 为坐 n ? an OA ? bn OB(n ? N ) ,其中 {an }, {bn } 分别为等差数列和等比数列,

标原点,若 P1 为线段 AB 的中点。 (1)求 a1, b1 的值; (2)证明 {an } 的公差为 d =0,或 {bn } 的公比为 q=1,点 P 1, P 2, P 3 ,?, P n ,?在同一

直线上; (3) 若 d ? 0, 且 q ? 1, 点P 1, P 2, P 3 ,?, P n ,?能否在同一直线上?证明你的结论。

野、岳联考数学答案高三(文科)
一、选择题:1.A 2. D 3. A 4. C 5.B 6.A 7.B 8.D 9.C 10. B 二、填写题:11. 若 a ? b ,则 2 a ? 2 b ? 1 . 13. 1/4 三、解答题: 14.
2

12. (-1,0)
32 (1 - 4- n ) 3

15.

* 18.解 (Ⅰ)当 n ? 2, n ? N 时, a n ?

2n a n ?1 ? n , n ?1 a a a a ? n ? 2 n ?1 ? 1 , 即 n ? 1 ? 2( n ?1 ? 1) , 故 ? ? 1 时 n n ?1 n n ?1 a1 ?1 ? 2 ? 0 有 bn ? 2bn?1 , 而 b1 ? 1
从而 an ? n ? 2n ? n

?bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ,

(Ⅱ) Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ?? n ? 2n ? (1 ? 2 ? ?? n) 记 则

Rn ? 1? 2? 2 ? 22? ?? n ? n2 2Rn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? n ? 2n?1
2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2

相减得: ?Rn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ?

? Rn ? (n ?1)2n?1 ? 2
?1 ? Sn ? (n ? 1 ) n2 ?

n2 ? n ? 4 2

y
P

19. 解(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P(x,y),则 AP =(x+6,y), FP =(x-4,y),由已知可得
ì x2 y2 ? ? ? 36 + 20 = 1 í ? ? (x + 6)(x - 4) + y 2 = 0 ? ? ?

A O

M

F

B

x

则 2x2+9x-18=0,x=

3 3 5 3 或 x=-6. 由于 y>0,只能 x= ,于是 y= . 2 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , ) 2 2
设点 M(m,0),则 M 到直线 AP 的距离是

(2) 直线 AP 的方程是 x- 3 y+6=0.

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m - 6 ,又-6≤m≤6,解得 m=2.

椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有 d2=(x-2)2+y2=x-4x2+4+20- 由于-6≤x≤6, ∴当 x= 20.解: (1)因为 t = 所以 h(t ) =

5 2 4 9 x = (x- )2+15, 9 9 2

9 时,d 取得最小值 15 2
1 - x ? [ 2, 2 ], 1 - x 2 =
1 2 t - 1 2

1+ x +

1 2 at + t - a, t ? [ 2, 2 ] 2 1 1 线是抛物线 h(t ) = at 2 + t - a, t ? [ 2, 2 ]的对称轴,又 a < 0 a 2

(2)直 t = -

所以,当 t = 当t = 当t = -

1 ? ( 0, 2 ],即 a ? a

2 ,则 g(a ) = h( 2) = 2

2;

2 1 ? ( 2, 2 ],即 < a? a 2

1 1 1 ,则 g(a ) = h(- ) = - a ; a 2a 2

2 1 ? ( 2, ? ) ,即 < a < 0 ,则 g(a ) = h(2) = a + 2 a 2

1 ì ? a + 2, a > ? ? 2 ? ? ? 1 2 综上,有 g(a ) = ? ,< a ? í-a? 2 a 2 ? ? ? 2 ? 2, a ? ? ? 2 ? ?

1 2

21.解: (1) P1 为线段 AB 的中点 ? OP1
uuu r uuu r

uuu r

uuu r r uuu r uuu r r 1 uuu 1 uuu OA + OB ,又OP1 = a1OA + b1OB , 2 2

且 OA,OB 不共线,由平面向量的基本定理知 a1 = b1 = (2)由 OPn = an OA + bnOB (n 无N * )
uuu u r uu u r uuu r

1 。 2

uuu u r OPn = (a n ,bn ) ,

, Pn , L 互不相同, 设 {an } 的公差为 d, {bn } 的公比为 q,则由于 P1, P2 , P3 , 鬃?

d=0,q=1 所以不会同时成立。
若 d=0,则 an = a1 = 若 q=1,则 bn = b1 =
1 1 拮 P1, P2 , P3 , 鬃 , Pn , L 都在直线 x = 上; 2 2 1 1 拮 P1, P2 , P3 , 鬃 , Pn , L 都在直线 y = 上; 2 2

, Pn , L 在同一直线上 ? Pn - 1Pn 若 d ? 0,且 q ? 1, P1, P2 , P3 , 鬃?

uuuuuuu r

(an - an - 1, bn - bn - 1 ) 与

uuuuuuu r Pn Pn + 1 = (an + 1 - an , bn + 1 - bn ) 始终共线 ? (an

an - 1 )(bn + 1 - bn ) = (an + 1 - an )(bn - bn - 1 )

即 ? (bn + 1

bn ) = (bn - bn - 1 ) ? q

1 ,这与 q ? 1 矛盾。

, Pn , L 不可能在同一直线上。 所以 d ? 0,且 q ? 1, P1, P2 , P3 , 鬃?

高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题(三)
[例 1]求经过两点 P1(2,1)和 P2(m,2) (m∈R)的直线 l 的斜率,并且求出 l 的 倾斜角α 及其取值范围. 选题意图:考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解:(1)当 m=2 时,x1=x2=2,∴直线 l 垂直于 x 轴,因此直线的斜率不存在,倾斜角 α =

? 2

(2)当 m≠2 时,直线 l 的斜率 k=

1 ∵m>2 时,k>0. m?2

∴α =arctan

1 ? ,α ∈(0, ) , m?2 2
1 ? ,α ∈( ,π ). m?2 2

∵当 m<2 时,k<0 ∴α =π +arctan

说明:利用斜率公式时,应注意斜率公式的应用范围. [例 2]若三点 A(-2,3) ,B(3,-2) ,C(

1 ,m)共线,求 m 的值. 2

选题意图:考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解:∵A、B、C 三点共线, ∴kAB=kAC,

?2?3 m?3 ? . 1 3? 2 ?2 2

解得 m=

1 . 2

说明:若三点共线,则任意两点的斜率都相等,此题也可用距离公式来解. [例 3] 已知两点 A(-1,-5),B(3,-2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半, 求直线 l 的斜率. 选题意图:强化斜率公式. 解:设直线 l 的倾斜角α ,则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α . ∵tan2α =kAB=

? 2 ? (?5) 3 ? . 3 ? (?1) 4

?

2 tan ? 3 ? 2 1 ? tan ? 4
1 或 tanα =-3. 3

即 3tan2α +8tanα -3=0, 解得 tanα = ∵tan2α =

3 >0,∴0°<2α <90°, 4

0°<α <45°, ∴tanα =

1 . 3 1 3

因此,直线 l 的斜率是

说明:由 2α 的正切值确定α 的范围及由α 的范围求α 的正切值是本例解法中易忽略的 地方.

命题否定的典型错误及制作
在教材的第一章安排了《常用逻辑用语》的内容.从课本内容安排上看,显得较容易, 但是由于对逻辑联结词不能做到正确理解, 在解决这部分内容涉及的问题时容易出错. 下面

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仅对命题的否定中典型错误及常见制作方法加以叙述. 一、典型错误剖析 错误 1——认为命题的否定就是否定原命题的结论 在命题的否定中,有许多是把原命题中的结论加以否定.如命题: 2 是无理数,其否 定是: 2 不是无理数.但据此就认为命题的否定就是否定原命题的结论就错了. 例 1 写出下列命题的否定: ⑴ 对于任意实数 x,使 x =1; ⑵ 存在一个实数 x,使 x =1. 错解:它们的否定分别为 ⑴ 对于任意实数 x,使 x ≠1; ⑵ 存在一个实数 x,使 x ≠1. 剖析:对于⑴是全称命题,要否定它只要存在一个实数 x,使 x ≠1 即可;对于⑵是存 在命题,要否定它必须是对所有实数 x,使 x ≠1. 正解:⑴存在一个实数 x,使 x ≠1; ⑵对于任意实数 x,使 x ≠1.
2 2 2 2 2 2 2 2

错误 2——认为命题的否定就是原命题中的判断词改和其意义相反的判断词 在命题的否定中,有许多是把原命题中的判断词改为相反意义的词,如“是”改为“不 是” 、 “等”改为“不等” 、 “大于”改为“小于或等于”等.但对于联言命题及选言命题,还 要把逻辑联结词“且”与“或”互换. 例 2 写出下列命题的否定: ⑴ 线段 AB 与 CD 平行且相等; ⑵ 线段 AB 与 CD 平行或相等. 错解:⑴ 线段 AB 与 CD 不平行且不相等; ⑵ 线段 AB 与 CD 不平行或不相等. 剖析:对于⑴是联言命题,其结论的含义为: “平行且相等” ,所以对原命题结论的否定 除“不平行且不相等”外,还应有“平行且不相等” 、 “不平行且相等” ;而⑵是选言命题, 其结论包含“平行但不相等” 、 “不平行但相等” 、 “平行且相等”三种情况,故否定就为“不 平行且不相等” .

正解:⑴ 线段 AB 与 CD 不平行或不相等; ⑵ 线段 AB 与 CD 不平行且不相等.

错误 3——认为“都不是”是“都是”的否定 例 3 写出下列命题的否定: ⑴ a,b 都是零; ⑵ 高一(一)班全体同学都是共青团员. 错解:⑴ a,b 都不是零; ⑵ 高一(一)班全体同学都不是共青团员. 剖析:要注意“都是” 、 “不都是” 、 “都不是”三者的关系,其中“都是”的否定是“不 都是” , “不都是”包含“都不是” ; “至少有一个”的否定是“一个也没有” . 正解:⑴a,b 不都是零,即“a,b 中至少有一个不是零” . ⑵ 高一(一)班全体同学不都是共青团员,或写成:高一(一)班全体同学中至少有一人 共青团员. 错误 4——认为“命题否定”就是“否命题” 根据逻辑学知识,任一命题 p 都有它的否定(命题)非 p(也叫负命题、反命题);而否命 题是就假言命题(若 p 则 q)而言的.如果一个命题不是假言命题,就无所谓否命题,也就是 说, 我们就不研究它的否命题.我们应清醒地认识到: 假言命题 “若 p 则 q” 的否命题是 “若 非 p 则非 q” ,而“若 p 则 q”的否定(命题)则是“p 且非 q” ,而不是“若 p 则非 q” . 例 4 写出命题“满足条件 C 的点都在直线 F 上”的否定. 错解:不满足条件 C 的点不都在直线 F 上. 剖析:对于原命题可表示为“若 A,则 B” ,其否命题是“若┐A,则┐B” ,而其否定形 式是“若 A,则┐B” ,即不需要否定命题的题设部分. 正解:满足条件 C 的点不都在直线 F 上.

二、几类命题否定的制作 1.简单的简单命题 命题的形如“A 是 B” ,其否定为“A 不是 B” .只要把原命题中的判断词改为与其相反意 义的判断词即可. 例 5 写出下列命题的否定:

⑴ 3+4>6; ⑵ 2 是偶数. 解:所给命题的否定分别是: ⑴ 3+4≤6; ⑵ 2 不是偶数. 2.含有全称量词和存在量词的简单命题 全称量词相当于日常语言中“凡” , “所有” , “一切” , “任意一个”等,形如“所有 A 是 B” ,其否定为“存在某个 A 不是 B” ;存在量词相当于 “存在一个” , “有一个” , “有些” , “至少有一个” , “至多有一个”等,形如“某一个 A 是 B” ,其否定是“对于所有的 A 都不 是 B” . 全称命题的否定是存在命题,存在命题的否定是全称命题. 例6 写出下列命题的否定:
2

⑴ 不论 m 取什么实数,x +x-m=0 必有实根. ⑵ 存在一个实数 x,使得 x +x+1≤0. ⑶ 至少有一个整数是自然数. ⑷ 至多有两个质数是奇数. 解:⑴ 原命题相当于“对所有的实数 m,x +x-m=0 必有实根” ,其否定是“存在实 数 m,使 x +x-m=0 没有实根” . ⑵ 原命题的否定是“对所有的实数 x,x +x+1>0” . ⑶ 原命题的否定是“没有一个整数是自然数” . ⑷ 原命题的否定是“至少有三个质数是奇数” .
2 2 2 2

3.复合命题“p 且 q” , “p 或 q”的否定 “p 且 q”是联言命题,其否定为“非 p 或非 q”(也写成┐p 或┐q“; “p 或 q”是选言 命题,其否定为“非 p 且非 q”(也写成┐p 且┐q“; 例7 写出下列命题的否定:

⑴ 他是数学家或物理学家.⑵ 他是数学家又是物理学家. ⑶

1 ≥0. x ? 2x ? 3
2

解:⑴ 原命题的否定是“他既不是数学家也不是物理学家” .

⑵原命题的否定是“他不能同时是数学家和物理学家” ,即“他不是数学家或他不是物 理学家” . ⑶若认为┐p:

1 1 <0,那就错了.┐p 是对 p 的否定,包括 2 <0 或 x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3
2

1 =0. x ? 2x ? 3
2

或∵p:x>1 或 x<-3,∴┐p:-3≤x≤1.



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