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高中数学选修2-2


高中数学选修 2----2 知识点 第一章 导数及其应用 知识点: 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义:瞬时速率。一般的,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 lim 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x ? x0 , 即 f ?( x0 ) = lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。容易知道,割 线 PPn 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) ,当点 Pn 趋近于 P 时,函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是切线 PT 的 xn ? x0

斜率 k,即 k ? lim

?x ?0

f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

3. 导函数: 当 x 变化时,f ?( x) 便是 x 的一个函数, 我们称它为 f ( x) 的导函数. y ? f ( x) 的导函数有时也记作 y ? , 即 f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

知识点: 二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ;
? ? ?1 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x ;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ; 5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a
x x

6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x) ? e
x
x

x

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
7 若 f ( x) ? log a ,则 f ?( x) ? 2)导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x)

3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导

y ? f (u) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
考点:导数的求导及运算 ★1、已知

f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? sin ? ,则 f ' ? 0 ? ?
'

★2、若 f ? x ? ? e x sin x ,则 f ★3. f ( x) =ax3+3x2+2 ,
A. 10 3 B. 13 3

? x? ?

19 3

f ?(?1) ? 4 ,则 a=(
C. 16 3 D.

★★4.过抛物线 y=x2 上的点 M ( , ) 的切线的倾斜角是( A.30° B.45° C.60° D.90°

1 1 2 4



3 9 2 x ? 3 与 y ? 2 ? x 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 = 2 三.导数在研究函数中的应用 知识点: 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系:

★★5.如果曲线 y ?

在某个区间 (a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 (a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) , f (b) 比较,其中最大的最大值,最小的是最小值.

四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 考点:1、导数在切线方程中的应用 2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用 ★1.曲线 y ? x 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P 点为(
3



A.(-2,-8)

B.(-1,-1)或(1,1)

C.(2,8) ★2.曲线 y ?

1 1 D.(- 2 ,- 8 )

1 3 x ? x 2 ? 5 ,过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( 3



? A. 6

? B. 4

? C. 3
3 2

3 ? D. 4

二、题型二:导数在单调性中的运用 ★1.(05 广东卷)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为( A. (2, ??) B. (??, 2)
3

)

C. (??,0)
2

D. (0, 2) )

★2.关于函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确的是( A.在区间( ? ? ,0)内, f ( x) 为增函数

B.在区间(0,2)内, f ( x) 为减函数

? (2,??) 内, f ( x) 为增函数 C.在区间(2, ? ? )内, f ( x) 为增函数 D.在区间( ? ? ,0)
? ★★ 3 . (05 江西 ) 已知函数 y ? xf ( x) 的图象如右图所示 ( 其中 f '( x ) 是函数 f ( x) 的导函数 ) ,下面四个图象中

y ? f ( x) 的图象大致是(



y
1

x
1 2

-2

-1

O -1

y
2 2 1

y
4

y
4 2 1

y

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

O
1

1

x
2

2 1 -2 -1 O

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x

A

B

C

D

★★★4、 (2010 年山东 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ? (Ⅰ)当 a

1? a ? 1(a ? R). x

? ?1时,求曲线y ? f ( x)在点(2, f (2))处的切线方程;

(Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2
3 2

三、导数在最值、极值中的运用: ★1.(05 全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( A.2 B. 3 C. 4
3 2



D.5 )

★2.函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16

★★★3.(根据 04 年天津卷文 21 改编)已知函数 得极值-2. (1)试求 a、c、d 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间和极大值;

f ( x) ? ax 3 ? cx ? d (a ? 0)

是 R 上的奇函数,当 x ? 1 时 f ( x) 取

★★★4.(根据山东 2008 年文 21 改编)设函数 f ( x) ? x e
2

x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2和x ? 1为 f ( x) 的极值

点。 (1)求 a, b 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性; 第二章 推理与证明 知识点: 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比 推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想 的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论 成立.要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明 显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命 题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; * (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N ) 时命题成立; * (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N ) 时命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 考点:无 第三章 数系的扩充与复数的引入 知识点: 一:复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi (a ? R, b ? R ) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.

(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2.相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

a2 ? b2

⑷ z ? a ? bi z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数). 3.复数运算 ⑴复数加减法: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ;

⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分母实数化) 4.常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4 n?1 ? i, i 4 n?2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i, i 4 n? 4 ? 1;

(7) ?1 ? i ?

2

1? i 1? i ?1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i, ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?
? 1 ? 3i 3n ?1 2 ? ? , ? 3n ? 2 ? ? , ? 3n ?3 ? 1 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? 2

2

(9) 设 ? ?

考点:复数的运算 ★山东理科 1 若 z ? cos? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则 z ? ?1的 ? 值可能是
2

? ? ? ? (B) (C) (D) 6 4 3 2 4 ? 3i ★山东文科 1.复数 的实部是( ) 1+2i A. ?2 B. 2 C.3 D. 4
(A) ★山东理科(2)设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4, z? z =8,则

z 等于 z

(A)i

(B)-i

(C)±1

(D) ±i

高中数学 选修 2-3 知识点 第一章 计数原理 知识点: 1、分类加法计数原理:做一件事情,完成它有 N 类办法,在第一类办法中有 M1 种不同的方法,在第二类办法中 有 M2 种不同的方法,……,在第 N 类办法中有 MN 种不同的方法,那么完成这件事情共有 M1+M2+……+MN 种不 同的方法。 2、分步乘法计数原理:做一件事,完成它需要分成 N 个步骤,做第一 步有 m1种不同的方法,做第二步有 M2不 同的方法,……,做第 N 步有 MN 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M1M2...MN 种不同的方法。 3、排列:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 ...... 素的一个排列 4、排列数:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. 从
m n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示。

A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ?
5、公式:

n! (m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!
m m ?1 An ? nAn ?1

m m m m ?1 m m ?1 An ? An ? mAn ?1 ? An ? Am C n

, 6、组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
m Am 1)? ? n? m 1)? 1) m m n! n! n? (n 1)(? (n ?? m n A n n( n 7、公式: Cm ?m ? C nC ? n? ? nC n m m ? m! m! m!(m n !? m )!m)! Am Am (n ?

m ?1 m m n?m Cm n ?C n ; C n ?C n ?C n ?1

a ? b ) ? C a ? C a b ? C a b ? ? ? C a b ? ? ? C b n n n n n 8、二项式定理: (
n n
r n ? r r 9、二项式通项公式 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 : T ? C a b ( r ? 0 , 1 ? ? n ) r ? 1 n

n 0 n 1 n ? 1 2 n ? 2 2

r n ? r r

考点:1、排列组合的运用 2、二项式定理的应用 ★★1.我省高中学校自实施素质教育以来,学生社团得到迅猛发展。某校高一新生中的五名同 学打算参加“春晖文学社” 、 “舞者轮滑俱乐部” 、 “篮球之家” 、 “围棋苑”四个社团。若 每个社团至少有一名同学参加,每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团,且同 学甲不参加“围棋苑” ,则不同的参加方法的种数为 ( ) A.72 B.108 C.180 D.216 ★★2.在 ( x ?

1
3

x

) 24 的展开式中,x 的幂的指数是整数的项共有





A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项 ★★3.现有 12 件商品摆放在货架上,摆成上层 4 件下层 8 件,现要从下层 8 件中取 2 件调整到上层,若其他商 品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是 A.420 B.560 C.840 D.20160

★★4.把编号为 1,2,3,4 的四封电子邮件分别发送到编号为 1,2,3,4 的四个网址,则至多有一封邮件的编 号与网址的编号相同的概率为 ★★5. ( x ? )8 的展开式中 x 的系数为
2

1 x





A.-56 B.56 C.-336 D.336 第二章 随机变量及其分布 知识点: 1、随机变量:如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量 X 来表示,并且 X 是随着试验的结果的不同而变化, 那么这样的变量叫做随机变量. 随机变量常用大写字母 X、Y 等或希腊字母 ξ 、η 等表示。 2、离散型随机变量:在上面的射击、产品检验等例子中,对于随机变量 X 可能取的值,我们可以按一定次序一一 列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 3、离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1,x2,..... ,xi ,......,xn X 取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率 P(ξ =xi)=Pi,则称表为离散型随机变量 X 的概率分布,简称分布列

4、分布列性质① pi≥0, i =1,2, ? ;② p1 + p2 +?+pn= 1. 5、二项分布:如果随机变量 X 的分布列为:

其中 0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量 X 服从参数 p 的二点分布 6、超几何分布:一般地, 设总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n(n≤N)件,这 n 件中所 含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,
k n? k CM CN ?M ( k ? 0,1, 2,? , m ) , 则它取值为 k 时的概率为 P ( X ? k ) ? n CN

* 其中 m ? min ? M , n? ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ? N

7、条件概率: 对任意事件 A 和事件 B, 在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率, 叫做条件概率.记作 P(B|A), 读作 A 发生的条件下 B 的概率 8、公式: P ( AB ) P ( B | A) ? , P ( A) ? 0. P ( A)

9、相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。 P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) 10、n 次独立重复事件:在同等条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 11、二项分布: 设在 n 次独立重复试验中某个事件 A 发生的次数,A 发生次数ξ 是一个随机变量.如果在一次试
k k n?k ? Cn p q (其 验中某事件发生的概率是 p, 事件 A 不发生的概率为 q=1-p, 那么在 n 次独立重复试验中 P(? ? k )

中 k=0,1, ??,n,q=1-p ) 于是可得随机变量ξ 的概率分布如下:

这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数 12、数学期望:一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

则称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+? 为ξ 的数学期望或平均数、均值,数学期望又简称为期望.是离散型随机 变量。 13、两点分布数学期望:E(X)=np 14、超几何分布数学期望:E(X)= n ?

M . N

15、方差:D(ξ )=(x1-Eξ )2?P1+(x2-Eξ )2?P2 +......+(xn-Eξ )2?Pn 叫随机变量ξ 的均方差,简称方差。 16、集中分布的期望与方差一览: 期望 两点分布 超几何分布 Eξ =p Dξ =pq,q=1-p 方差

?服从参数为N, M, n的超几何分布
二项分布,ξ ~ B(n,p)

E? ? n ?

M N

D(X)=np(1-p)* (N-n)/(N-1) (不要求)

Eξ =np

Dξ =qEξ =npq, (q=1-p)

几何分布,p(ξ =k)=g(k,p) 17.正态分布: 若概率密度曲线就是或近似地是函数

1 p

D? ?

q p2

f ( x) ?

? 1 e 2? ?

( x?? )2 2? 2

, x ? (??,??)

(? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差. 的图像,其中解析式中的实数 ?、?
则其分布叫正态分布 记作:N ( ? , ? ) ,f( x )的图象称为正态曲线。

18.基本性质:

①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x= ? 对称,且在 x= ? 时位于最高点. ③当时 x ? ? ,曲线上升;当时 x ? ? ,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它 无限靠近. ④当 ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定.? 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散;? 越小,曲线越“瘦高” , 表示总体的分布越集中. ⑤当σ 相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ 来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于 1. 19. 3 ? 原则: 从上表看到,正态总体在 (? ? 2? , ? ? 2? ) 以外取值的概率 只有 4.6%,在 (? ? 3? , ? ? 3? ) 以外取值的概率

只有 0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎 是不可能发生的. 考点:1、概率的求解 2、期望的求解 3、正态分布概念 ★★★1.(本小题满分 12 分)某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可以继续参加 科目 B 的考试。每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书,现在某同学将要

2 1 ,每次考科目 B 成绩合格的概率均为 。假设他在这 3 2 项考试中不放弃所有的考试机会,且每次的考试成绩互不影响,记他参加考试的次数为 X 。 (1)求 X 的分布列和均值;
参加这项考试,已知他每次考科目 A 成绩合格的概率均为 (2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。 ★★★2(本小题满分 12 分) 济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园 4 个旅游景点,一位客人浏览这四个景点的概率分别是 0.3,0.4, 0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数 之差的绝对值。 (1)求 ? =0 对应的事件的概率; (2)求 ? 的分布列及数学期望。

★★★3. 袋子中装有 8 个黑球,2 个红球,这些球只有颜色上的区别。 (1)随机从中取出 2 个球, ? 表示其中红球的个数,求 ? 的分布列及均值。

(2)现在规定一种有奖摸球游戏如下:每次取球一个,取后不放回,取到黑球有奖,第一个奖 100 元,第二 个奖 200 元,?,第 k 个奖 k ?100 元,取到红球则要罚去前期所有奖金并结束取球,按照这种规则,取球多少次 比较适宜?说明理由。 第三章 统计案例 知识点: 1、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较精确地给 出这种判断的可靠程度。具体的做法是,由表中的数据算出随机变量 K^2 的值(即 K 的平方) K2 = n (ad - bc) 2 / [(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)],其中 n=a+b+c+d 为样本容量,K2 的值越大,说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大。 K2≤3.841 时,X 与 Y 无关; K2>3.841 时,X 与 Y 有 95%可能性有关;K2>6.635 时 X 与 Y 有 99%可能性有关 2、回归分析

? ? a ? bx 回归直线方程 y

? xy ? n ? x? y ? ( x ? x )( y ? y ) SP 其中 b ? , ? ? 1 SS ( x ? x ) ? ? x ? n (? x )
2 2 2

1

a ? y ? bx

x



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