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【首发】贵州省遵义四中2013届高三第三次月考文科数学

遵义四中 2012-2013 学年度高三第三次月考

数 学 试 题(文)

本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1、集合 A ? {?1, 0,1}, A 的子集中,含有元素 0 的子集共有。

(A)2 个

(B)4 个

(C)6 个 (D)8 个

2、已知复数 z ? (3 ? i)(3 ? i) ,则| z |? 2?i

(A) 5 5

(B) 2 5 5

(C) 5

(D) 2 5

3、已知 tan? ? 1 ,则 sin? ? cos? ? 2 cos? ? sin?

(A) 2

(B) ?2 (C) 3

(D)- 3

4、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

5、设函数 y ? f (x) (x ? R) 的图象关于直线 x ? 0 及直

线 x ?1对称,且 x ?[0,1] 时, f (x) ? x2 ,则 f (? 3) ? 2

(A) 1 2

(B) 1 4

(C) 3 (D) 9

4

4

6、设 Sn 为等比数列?an? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2, 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ?

? A?4

?B?3

?C?2 ?D?8

7、.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为

(第 7 题图)

8、已知命题 p1 :函数 y ? 2x ? 2?x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2?x 在 R 为减函数,
? ? ? ? 则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? p1 ? p2 和 q4 : p1 ? ? p2 中,真命题是。

(A) q1 , q3

(B) q2 , q3

(C) q1 , q4

(D) q2 , q4

9、两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为 2 和 3 ,两个零件是 否加工 34

为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为

(A) 1 2

(B) 5 12

(C) 1 4

(D) 1 6

10、一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面

部分的图形面积为 S ?t??S ?0? ? 0? ,则导函数 y ? S' ?t ? 的图像大致为

t

t

A.

t

t

第 10 题图

11 、 已 知 o 是 平 面 上 的 一 定 点 , A, B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

OP ? OB ? OC ? ?( AB ? AC ) , ? ?[0, ??) , 则动点 P 的轨迹一定

2

| AB | cos B | AC | cos C



过 ?ABC 的。

(A)内心

(B) 垂心

(C) 重心

(D) 外心

12.设函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 D ,若所有点 (s, f (t))(s,t ? D) 构成一

个正方形区域,则 a 的值为

A. ?2

B. ?3

C. ?4

D. ?5 w.w.w.k.s.5. u

二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20

分)

13、已知函数

f

?x?

?

cos

x

?

sin

x,

则f

?? ?? 4

? ??

?



? ? ? ? 14、已知向量 p ? an, mn , q ? an?1, mn?1 , n ? N*, m 为正常数,向量 p // q ,且 a1 ? 1. 则数

列?an? 的通项公式为



15、已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射 影为 △ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于

16、设抛物线 y2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与抛

物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比 S?BCF = S?ACF

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、(本小题满分

12

分)设函数

f

?x?

?

cos

? ??

2x

?

? 3

? ??

?

sin 2

x



(Ⅰ)求函数 f ? x? 的最大值和最小正周期.,

(Ⅱ)设

A,B,C



?

ABC

的三个内角,若

cos

B

?

1 3

,

f

? ??

C 2

? ??

?

?

1 4

,且

C

为锐角,求

sin

A



18、设平面向量 am ? ?m,1?,bn ? ?2, n?,其中 m, n??1, 2,3, 4? 。
(I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果;

? ? (II)记“使得 am ? am ? bn 成立的( m,n )”为事件 A,求事件 A 发生的概率。

19、 (本小题满分 12 分)如图,一张平行四边形的硬纸片 ABC0D 中,AD ? BD ?1,AB ? 2 。 沿它的对角线 BD 把△ BDC0 折起,使点 C0 到达平面 ABC0D 外点 C 的位置。 (Ⅰ)证明:平面 ABC0D ? 平面 CBC0 ; (Ⅱ)如果△ ABC 为等腰三角形,求二面角 A? BD ?C 的大小。
20、(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? 3x(a,b ? R) ,在点 (1, f (1))处的切线 方程为 y ? 2 ? 0. (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)若对于区间[?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有| f (x1 ) ? f (x2 ) |? c ,求实数 c 的
最小值。
(3)若过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

21、(本小题满分 12 分)已知以原点 O 为中心,F( 5,0)为右焦点的双曲线 C 的离心率 e= 5 . 2

(Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;

(Ⅱ)如题图,已知过点 M ? x1, y1 ? 的直线: l1:x1x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ? x2, y2 ?

(其中x2 ? x1)的直线 l2:x2 x ? 4 y2 y ? 4 的交点在双曲线 C 上,直线 MN 与双曲线

的两条渐近线分别交与 G、H 两点,求 ?OGH 的面积。

y

l2
G

N

O

x

H

M

l1

E

选做题:请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22、(本小题满分 10 分)如图, A, E 是半圆周上的两个三等分点,直径

BC ? 4, AD ? BC ,垂足为 D, BE 与 AD 相交于点 F ,

求 AF 的长。

E A

F

B

DO

C

23、(本小题满分

10

分)在平面直角坐标系

xOy

中,椭圆

C

方程为

?x

? ?

y

? ?

5 cos ? 3 sin ?

(?

为参数)

(Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线

?x

? ?

y

? ?

4 3

? ?

2t t

(t

为参数)平行的直线

l

的普通方程。

(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。

24、(本小题满分 10 分)设函数 f ? x? ? 2x ? 4 ?1
(Ⅰ)画出函数 y ? f ? x? 的图像;
(Ⅱ)若不等式 f ? x? ? ax的解集非空,
求 a 的取值范围。
(右图中一个小方格表示一个单位)

y x

遵义四中 2012-2013 学年度高三第三次月考

文科答案
一、选择题 B D C B B A D C B A D C

二、填空题 13, 2 14, an ? mn?1
三、解答题

15, 2 3

16, 4 5

17 解: (1)f(x)=cos(2x+ ? )+sin 2 x.= cos 2x cos ? ? sin 2x sin ? ? 1? cos 2x

3

3

3

2

? 1 ? 3 sin 2x 22

所以函数 f(x)的最大值为 1? 3 ,最小正周期? . 2

(2) f ( c ) = 1 ? 3 sin C =- 1 , 所以 sin C ? 3 , 因为 C 为锐角,

22 2

4

2

又因为在 ? ABC 中, cosB= 1 , 所以 s i nB ? 2 ,3

3

3

所以 C ? ? , 3

所以 sin A ? sin(B ? C ) ? sinB cosC ? cosB sinC ? 2

2? 1 ? 1 ? 3 ? 2 2 ?

3
.

3 23 2

6

19 题:解:(Ⅰ)证明:因为 AD ? BC0 ? BD ? 1,
AB ? C0D ? 2 ,所以 ?DBC0 ? 90? , ?ADB ? 90? 。 因为折叠过程中, ?DBC ? ?DBC0 ? 90? , 所以 DB ? BC ,又 DB ? BC0 ,故 DB ? 平面 CBC0 。 又 DB ? 平面 ABC0D ,所以平面 ABC0D ? 平面 CBC0 。 (Ⅱ)解法一:如图,延长 C0B 到 E ,使 BE ? C0B ,
连结 AE , CE 。因为 AD BE , BE ?1, DB ?1, ?DBE ? 90? ,所以 AEBD 为正方形, AE ?1。
由于 AE , DB 都与平面 CBC0 垂直,所以 AE ? CE ,可知 AC ? 1。

因此只有 AC ? AB ? 2 时,△ ABC 为等腰三角形。在 Rt △ AEC 中,

CE ? AC2 ? AE2 ?1,又 BC ? 1,所以△ CEB 为等边三角形, ?CBE ? 60? 。 由(Ⅰ)可知,,所以 ?CBE 为二面角 A? BD ?C 的平面角, 即二面角 A? BD ?C 的大小为 60? 。 解法二:以 D 为坐标原点,射线 DA , DB 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴,建立如图的空
间直角坐标系 D ? xyz ,则 A(1, 0, 0) , B(0,1, 0) , D(0, 0, 0) 。

由(Ⅰ)可设点 C 的坐标为 (x,1, z) ,其中 z ? 0 ,则有 x2 ? z2 ? 1。



因为△ ABC 为等腰三角形,所以 AC ? 1或 AC ? 2 。 若 AC ? 1,则有 (x ?1)2 ?1? z2 ? 1。则此得 x ?1 , z ? 0 ,不合题意

若 AC ? 2 ,则有 (x ?1)2 ?1? z2 ? 2 。



联立①和②得 x ? 1 , z ? 3 。故点 C 的坐标为 (1 ,1, 3 ) 。

2

2

22

由于 DA ? BD , BC ? BD ,所以 DA 与 BC 夹角的大小等于二面角 A? BD ?C 的大小。

又 DA ? (1, 0, 0) , BC ? (1 , 0, 3 ) , cos ? DA, BC ?? DA? BC ? 1 .

22

| DA || BC | 2

所以 ? DA, BC ?? 60? 即二面角 A? BD ?C 的大小为 60? 。

20 文科 解:(1)? f ?(x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3

根据题意,得

? ? ?

f f

(1) ? ?2, ?(1) ? 0,



?a ? b ? 3 ? ??3a ? 2b ? 3

?2, ? 0,

? f (x) ? x3 ? 3x.

解得

?a ??b

? ?

1, 0.

(2)令 f ?(x) ? 3x 2 ? 3 即 3x2 ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1

x

-2

(?2,?1) -1

(-1,1) 1

(1,2) 2

f ?(x)

+

f (x) -2

0

-

极大值

0

+

极小值

2

f (?1) ? 2, f (1) ? ?2 ?当x ?[?2, 2] 时, f (x)max ? 2, f (x)min ? ?2.

则对于区间[-2,2]上任意两个自变量的值 x1, x2 ,都有

| f (x1 ) ? f (x2 ) |?| f (x)max ? f (x)min |? 4

所以 c ? 4.

所以 c 的最小值为 4

(Ⅲ) 点M (2, m)(m ? 2) 不在曲线 y ? f (x) 上。?设切点为 (x0 , y0 ),则y0 ? x03 ? 3x0

f ?(x0 ) ? 3x02 ? 3 ,?切线的斜率为 3x02 ? 3.

则 3x02

?3?

x03

? 3x0 ? m x0 ? 2

即 2x03 ? 6x02 ? 6 ? m ? 0 ,

因为过点 M (2, m)(m ? 2) ,可作曲线 y ? f (x) 的三条切线

所以方程 2x03 ? 6x02 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解 即函数 g(x) ? 2x3 ? 6x2 ? 6 ? m 有三个不同的零点,

则 g?(x) ? 6x2 ?12x. 令 g?(x) ? 0,解得x ? 0或x ? 2.

x

0

(??, 0)

(0,2) 2

g ?( x)

+

0

-

0

极大值

极小值

g(x)

(2,+∞) +

综上得: m 的取值范围是 ??6, 2?

21、( 1 ) 设

C

的标准方程为 x2 a2

? y2 b2

? 1?a,b ? 0? 在由题意 c ?

5,e ? c ? 5 ,因此 a2

a ?? 2,b ? c2 ? a2 ? 1,则曲线 C 的标准方程为 x2 ? y2 ? 1 ,曲线 C 的渐近线方程为 4

y ? ? 1 x 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5 分 2

(2)解法一:由题意点 ? xE , yE ? 在直线 l1 : x1x ? 4 y1 y ? 4和l2 : x2x ? 4 y2 y ? 4 ,因此有

x1xE ? 4 y1 yE ? 4, x2 xE ? 4 y2 yE ? 4, 故点 M,N 均在直线 xxE ? 4 yyE ? 4, 上,因此直线 MN 的 方程为 xE x ? 4 yE y ? 4, ,设 G,H 分别是直线 MN 与渐近线 x ? 2 y ? 0及x ? 2 y ? 0的交点,

由方程组

? ? ?

xE x ? 4 yE x?2y? 0

y

?

4及

? ?

?

xE x? 4 yE x? 2 y? 0

y?

4
解得

yG

?

xE

2 ? 2 yE

,

yH

?? 2 xE ? 2 yE

,设

MN

与x

轴的交点为 Q

,则在直线

xE x ?

4yE y

?

4, 中令

y

?

0 ,得 xQ

?

4 xE

(易得 xE

?

0

),注





xE2 ? 4 yE2 ? 4





S

?

1 2

OQ

?

yG

?

yH

?

1 xE

?

1?1 xE ? 2 yE xE ? 2 yE

?

4 xE

1

?2

x2E

?

4

y

2 E

解法二:设 ? xE ,

yE

?

,由方程组

? ? ?

x1x x2 x

? ?

4 y1y 4 y2 y

?4 ?4



xE

?

4? y2 ? y1 ?
x1 y2 ? x2 y1

,

yE

?

x1 x1 y2

? x2 ? x2 y1

,因

为 x2 ? x1 , 则 直 线

MN

的 斜 率 K ? y2 ? y1 ? ? xE x2 ? x1 4 yE

,故直线

MN

的方程为

y

?

y1

?

?

xE 4 yE

?x

?

x1 ?

注意到 xE x1 ? 4 yE y1 ? 4, 因此直线 MN 的方程为 xE x ? 4 yE y ? 4,

下同解法一,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12 分

22 题:连接 CE,AO,AB 根据 A, E 是半圆的圆周上的两个三等分点,BC 为直径,可得
?CEB ? 900, ?CBE ? 300, ?AOB ? 600, 故三角形 AOB 瓦诶等边三角形,

AD ? 3,OD ? BD ? 1,? DF ? 3 ,? AF ? AD ? DF ? 2 3

3

3

23 题:(1)由已知得椭圆的右焦点为 ?4, 0? ,已知直线的参数方程可化为普通方程:
x ? 2y ? 2 ? 0 ,所以 k ? 1 ,于是所求直线方程为 x ? 2y ? 4 ? 0 。 2
(2) S ? 4 xy ? 60sin? cos? ? 30sin 2? , 当 2? ? ? 时,面积最大为 30。
2

24

题:(1)

f

?x?

?

??2x ? 5, ??2x ? 3, x

x? ?2

2

如图所示。

(2) ???, ?2?

? ??

1 2

,

??

? ??



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