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高三数学二轮复习专题《立体几何》


高三数学二轮复习专题《立体几何》
专题热点透析 高考中立体几何主要考查学生的空间想象能力,在推理中兼顾考查逻辑思维能力,解决立体几何的 基本方法是将空间问题转化为平面问题。 近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主,热点问题主 要有证明点线面的关系,如点共线、线共点、线共面问题;证明空间线面平行、垂直关系;求空间的角和 距离;利用空间向量,将空间中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合,使几何问题代数化等等。考 查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角,突出空间想象能力,侧重于空间线面位置关系的定性 与定量考查,算中有证。其中选择、填空题注重几何符号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化, 考查学生对图形的识别、理解和加工能力;解答题则一般将线面集中于一个几何体中,即以一个多面体为 依托,设置几个小问,设问形式以证明或计算为主。 热点题型范例 一、平行与垂直的证明 例 1.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD 解: (1)连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中,EO 是中位线,∴PA // EO 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB,所以,PA // 平面 EDB (2)∵PD⊥底面 ABCD 且 DC ? 底面 ABCD,∴ PD ? DC ∵PD=DC,可知 ?PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线,∴ DE ? PC . ①
A B D F P E

C

同样由 PD⊥底面 ABCD, 得 PD⊥BC.∵底面 ABCD 是正方形, 有 DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC.而 DE ? 平 面 PDC,∴ BC ? DE . ② S

由①和②推得 DE ? 平面 PBC.而 PB ? 平面 PBC,∴ DE ? PB 又 EF ? PB 且 DE ? EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD. 例 2.四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底 面 ABCD , 已 知 ?ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , E D C A

O

B

SA ? SB ? 3 .
(Ⅰ)证明: SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SBC 所成角的大小. 解: (1)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD ,得 SO ⊥ 底面 ABCD .因为



SA ? SB ,所以 AO ? BO ,又∠ABC ? 45? ,故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,由三垂线定
理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC ,故 SA⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 ,

SD ? AD2 ? SA2 ? 11 .又 AO ? AB sin45 ? ? 2 ,作 DE ⊥BC ,垂足为 E ,则 DE ⊥ 平面 SBC ,
连结 SE . ∠ ESD 为直线 SD 与平面 SBC 所成的角.

sin∠ESD ?

22 ED AO 2 22 ,所以直线 SD 与平面 SBC 所成的角为 arcsin . ? ? ? 11 SD SD 11 11

1.1 已 知 四 棱 锥 P-ABCD 的 底 面 为 直 角 梯 形 , AB ∥ DC , ?DAB ? 90? , PA ? 底 面 ABCD , 且 PA=AD=DC=

1 AB=1,M 是 PB 的中点. 2

P M N E B

(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小. 解: (Ⅰ)∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD,
D A C

∴由三垂线定理得: CD⊥PD.因而, CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD, PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD.又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ) 过点 B 作 BE//CA, 且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角.连结 AE, 可知 AC=CB=BE=AE= 2 , 又 AB=2,所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 在 Rt△PEB 中 BE= 2 ,PB= 5 ,

? cos?PBE ?

BE 10 10 ? . ? AC与PB所成的角为arccos . PB 5 5

(Ⅲ)作 AN⊥CM,垂足为 N,连结 BN. 在 Rt△PAB 中,AM=MB,又 AC=CB,∴△AMC≌△BMC,∴BN⊥CM,故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB⊥AC,由三垂线定理,得 CB⊥PC,在 Rt△PCB 中,CM=MB,所以 CM=AM.

3 ? 2 AC 2 2 2 ? ) ? AC ,? AN ? 在等腰三角形 AMC 中,AN·MC= CM ? ( 2 5 2

6 5

.

AN 2 ? BN 2 ? AB 2 2 2 ? ? 故所求的二面角为 arccos( ? ). ∴AB=2,? cos?ANB ? 3 2 ? AN ? BN 3



二、空间角与距离 例 3.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的 菱形,

O

?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点。

M

(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。 方法一: (1)? CD‖ AB,∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或 其补角)作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D , ∴CD ? MP

A B C

D

∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP =

2 ∵MD ? MA2 ? AD2 ? 2 , 2

∴ cos ?MDP ?
所成角的大小为

? 3

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? 所以 AB 与 MD MD 2 3

O

(2)∵ AB‖ 平面OCD, ∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等, 连接 OP,过点 A 作 AQ ? OP 于点 Q,

M

∵ AP ? CD, OA ? CD,∴CD ? 平面OAP, ∵ AQ ? 平面OAP,∴ AQ ? CD
又 ∵ AQ ? OP,∴ AQ ? 平面OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平 面 OCD 的距离

Q A B P C D

∵OP ? OD2 ? DP 2 ? OA2 ? AD 2 ? DP 2 ? 4 ? 1 ?

1 3 2 2 , AP ? DP ? ? 2 2 2

2 2? OA?AP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 ∴ AQ ? ? OP 3 3 2 2
2 3
方法二:作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在 直线为 x, y , z 轴建立坐标系

z O M

A


D P C y

x

B

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 ,0), D( ? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) , 2 2 2 ??? ? ???? ? 2 2 , , ?1) 2 2

(1)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

??? ? ???? ? AB?MD ? 1 ? , ∴ AB 与 MD 所成角的大小为 ∴cos? ? ??? ? ???? ? ? ,∴? ? 3 3 AB ? MD 2
(2) ∵OP ? (0,

??? ?

???? 2 2 2 , ?2), OD ? (? , , ?2) 2 2 2

∴ 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n? OP ? 0, n? OD ? 0

??? ?

????

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2

取z ?

2 ,解得 n ? (0, 4, 2)

设点 B 到平面 OCD 的距离为 d , 则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, ∵OB ? (1,0, ?2) ,

??? ?

??? ?

∴d ?

??? ? OB ? n n

2 2 ? .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 3 3

例 4. 如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别 BD、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2 (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 E 到平面的距离. 解:(1)连结 OC. ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD. ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD. 在△AOC 中,由已知可得 AO=1,CO= 3 . 而 AC=2,∴AO +CO =AC ∴∠AOC=90°,即 AO⊥OC.
2 2 2,

? BD ? OC ? 0, ∴AB ? 平面 BCD.

(Ⅱ)取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC. ∴直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角.



在 △ OME 中 , EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, ? OM 是 直 角 △ AOC 斜 边 AC 上 的 中 线 , ∴ 2 2 2

OM ?

1 2 2 AC ? 1, ∴ cos?OEA ? , ∴异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos . 2 4 4

(Ⅲ)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h.

1 1 ?VA? ACD ? VA?CDE ,∴ h ·S△ACD = ·AO·S△CDE. 3 3
3

在△ACD 中,CA=CD=2,AD= 2 ,

? 2? 1 3 3 1 7 ? ? ∴S△ACD= ? 2 ? 2 2 ? ? ? 22 ? , , 而 AO=1, S△CDE= ? ? ? 2 4 2 2 2 ? 2 ?
AO ? S ?CDE ? S ?ACD 1? 3 2 ? 21 , ∴点 E 到平面 ACD 的距离为 21 . 7 7 7 2
O

∴h=

2.1 如图,正三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA 、 OB 、 OC 两 两垂直,且长度均为 2. E 、 F 分别是 AB 、 AC 的中点,H 是 EF 的中点,过 EF 的平面与侧棱 OA 、 OB 、 OC 或其延

C A1 A E B H F C1

3 长线分别相交于 A . 1 ? 1、 B 1 、 C1 ,已知 OA 2
(1)求证: B1C1 ⊥面 OAH ; (2)求二面角 O ? A 1B 1 ? C1 的大小. 解法一: ( 1 )依题设, EF 是 ?ABC 的中位线,所以

B1

EF ∥ BC ,则 EF ∥平面 OBC ,所以 EF ∥ B1C1 。
又 H 是 EF 的中点,所以 AH ⊥ EF ,则 AH ⊥ B1C1 。 因为 OA ⊥ OB , OA ⊥ OC , 所以 OA ⊥面 OBC ,则 OA ⊥ B1C1 , 因此 B1C1 ⊥面 OAH 。 (2)作 ON ⊥ A1B1 于 N ,连 C1 N 。 因 为 OC1 ⊥ 平 面 OA 1B 1 ,根据三垂线定理知,

O

A1 A H N E

F

M

C C1

B

B1

C1 N ⊥ A1B1 , ?ONC1 就是二面角 O ? A1B1 ? C1 的平面角。
作 EM ⊥ OB1 于 M ,则 EM ∥ OA ,则 M 是 OB 的中点,则 EM ? OM ? 1。


设 OB1 ? x ,由

x 3 OB1 OA1 ? ,解得 x ? 3 , 得, ? x ?1 2 MB1 EM
2 2

OA1 ? OB1 ? 在 Rt?OA 1 B1 ? 1B 1 中, A
所以 tan ?ONC1 ?

3 OA ? OB1 3 5 ,则, ON ? 1 。 ? 2 A1B1 5

OC1 ? 5 ,故二面角 O ? A1B1 ? C1 为 arctan 5 。 ON

解法二: (1)以直线 OA、OC、OB 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系, O ? xyz 则

1 1 A(2, 0, 0), B(0, 0, 2), C (0, 2, 0), E (1, 0,1), F (1,1, 0), H (1, , ) 2 2 ???? ? 1 1 ???? 1 1 ??? 所以 AH ? (?1, , ), OH ? (1, , ), BC ? (0, 2, ?2) 2 2 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? 所以 AH ? BC ? 0, OH ? BC ? 0 所以 BC ? 平面 OAH
由 EF ∥ BC 得 B1C1 ∥ BC ,故: B1C1 ? 平面 OAH

O

C A1 A H E B F C1

x
????

y

???? 3 1 2 2 ???? ???? ???? ???? ? ? R 有 A1E ? ? EB1 得 由A 1E 与 EB 1 共线得:存在

(2)由已知 A1 ( , 0, 0), 设 B1 (0,0, z) 则 A1 E ? (? , 0,1), EB1 ? (?1, 0, z ? 1)
B1

? 1 ? ? ? ?? ? z ?3 ? 2 ? ?1 ? ? ( z ? 1) ? B1 (0, 0,3)
同理: C1 (0,3,0)

z

???? ? ???? ? ? 3 3 ? A1 B1 ? (? , 0,3), A1C1 ? (? ,3, 0) 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 A1B1C1 的一个法向量, 2 2

? 3 ? x ? 3z ? 0 ? ? 2 则? 令 x ? 2 得 y ? x ?1 ?? 3 x ? 3 y ? 0 ? ? 2

?? ?n1 ? ( 2 , 1, 1) .

又 n2 ? (0,1,0) 是平面 OA 1B 1 的一个法量? cos ? n1 , n2 ??

?? ?

?? ?? ?

1 6 ? 4 ?1?1 6

所以二面角的大小为 arccos 三、探索性问题

6 6

例 5.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证: EF // 平面 PAD; (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成多大二面角时, 直线 EF ? 平面 PCD?


解: (1)取 CD 中点 G,连结 EG、FG,∵E、F 分别是 AB、PC 的中点, ∴EG//AD,FG//PD,∴平面 EFG//平面 PAD,∴ EF//平面 PAD. (2)当平面 PCD 与平面 ABCD 成 45?角时,直线 EF?平面 PCD. 证明:∵G 为 CD 中点,则 EG?CD,∵PA?底面 ABCD∴AD 是 PD 在 平 面 ABCD 内 的 射 影 。 CD?PD ∵ CD? 平 面 ABCD , 且 CD?AD , 故

.又∵ FG ∥ PD ∴ FG?CD ,故 ?EGF 为平面 PCD 与平面

ABCD 所成二面角的平面角, 即?EGF=45?, 从而得?ADP=45?, AD=AP.由 Rt?PAE?Rt?CBE, 得 PE=CE. 又 F 是 PC 的中点,∴EF?PC. 由 CD?EG,CD?FG,得 CD?平面 EFG,∴CD?EF,即 EF?CD,故 EF?平面 PCD. 3.1 如图,在三棱锥 A-BCD 中,侧面 ABD、ACD 是全等的直角三角形,AD 是公共的斜边,且 AD= 3 , BD=CD=1,另一个侧面是正三角形。 (1)求证:AD?BC (2)求二面角 B-AC-D 的大小 (3)在直线 AC 上是否存在一点 E,使 ED 与面 BCD 成 30?角?若存在,确定 E 的位置;若不存在,说明理由. 解: (1)作 AH ? 面 BCD 于 H ,连 DH .

A

B

D

C

AB ? BD ? HB ? BD, ? AD ? 3, BD ? 1 ? AB ? 2 ? BC ? AC ? BD ? DC
又 BD ? CD ,则 BHCD 是正方形.则 DH ? BC.? AD ? BC. (2)作 BM ? AC 于 M ,作 MN ? AC 交 AD 于 N ,则 ?BMN 就是二面角 B ? AC ? D 的平面角.

? AB ? AC ? BC ? 2, M 是 AC 的中点,且 MN ∥ CD
则 BM ?

6 2

, MN ?

1 2

CD ?

1 2

, BN ?

1 2

AD ?

3 2

.

由余弦定理得 cos ?BMN ?

BM 2 ? MN 2 ? BN 2 6 6 ? ,??BMN ? arccos . 2 BM ? MN 3 3

(3)设 E 为所求的点,作 EF ? CH 于 F ,连 FD .则 EF ∥ AH

? EF ? 面BCD, ?EDF 就是 ED 与面 BCD 所成的角,则 ?EDF ? 30? .
设 EF ? x ,易得 AH ? HC ? 1, 则CF ? x, FD ? 1 ? x 2 .

? tan ?EDF ?

2 EF x 3 , 则CE ? 2 x ? 1. ? ? , 解得 x ? 2 FD 3 1 ? x2



故线段 AC 上存在 E 点,且 CE ? 1 时, ED 与面 BCD 成 30 ? 角. 四、折叠、展开问题 例 6.已知正方形 ABCD
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E 、 F 分别是

AB 、 CD 的中点,将 ? ADE 沿 DE 折起,
如图所示,记二面角 A ? DE ? C 的大小为

? (0 ? ? ? ? ) .
(1)证明 BF // 平面 ADE ; (2)若 ? ACD 为正三角形,试判断点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 是否在直线 EF 上,证明你的结论,并求 角 ? 的余弦值. 解析: (1)证明:EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB、CD 的中点,? EB//FD,且 EB=FD,

? 四边形 EBFD 为平行四边形. ? BF//ED.? EF ? 平面AED, 而BF ? 平面AED ,? BF // 平面 ADE .
(2)如右图,点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过点 A 作 AG 垂直于平面 BCDE,垂足为 G, 连结 GC,GD ? ? ACD 为正三角形,? AC=AD.? CG=GD.

? G 在 CD 的垂直平分线上, ? 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上,过 G 作 GH 垂直于 ED 于
H,连结 AH,则 AH ?DE ,所以 ?AHG ? ? .设原正方体的边长为 2a,连结 AF,在折后图的 ? AEF 中, AF= 3a ,EF=2AE=2a,即 ? AEF 为直角三角形, AG ? EF ? AE ? AF .? AG ?

3 a 2
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在 Rt ? ADE 中, AH ? DE ? AE ? AD ? AH ?

GH 1 2 a ? a .? GH ? , cos ? ? AH 4 5 2 5

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4.1 如图,在直角梯形 P1DCB 中,P1D∥CB,CD⊥P1D,P1D=6,BC=3,DC= 6 ,A 是 P1D 的中点, E 是线段 AB 的中点,沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P-CD-B 成 45° 角. (Ⅰ)求证:PA⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求平面 PEC 和平面 PAD 所成的锐二面角的大小. 解:(Ⅰ)? AB ? PA, AB ? AD,? AB ? 平面PAD. P

?AB∥DC,?DC ? 平面 PAD. ?DC ? PD DC ? AD,

?? PDA 为二面角 P-CD-B 的平面角.
故 ? PDA=45° ? PA=AD=3, . ?PA ? AD.又 PA ? AB ,?PA ? 平面 ABCD. ? ? APD=45° (Ⅱ)证:延长 DA,CE 交于点 N,连结 PN, B

A E C

D

? NE ? CE . 由折叠知 PE ? NE , 又? E为中点,

? PE ? NE ? CE,? PN ? PC. ,又由(1)知 PN ? PD ,


? ?CPD 为二面角 C ? PN ? D 的平面角。在直角三角形 PDC 中,

tan?CPD ?

CD 6 3 ,? ?CPD ? 30? .即平面 PEC 和平面 PAD 所成锐二面角为 30° . ? ? PD 3 2 3

五、多面体的组合问题 例 7. P ? ABCD 是正四棱锥, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是正方体,其中 AB ? 2, PA ? 6 . (Ⅰ)求证: PA ? B1D1 ; (Ⅱ)求平面 PAD 与平面 BDD1B1 所成的锐二面角 ? 的大小; (Ⅲ)求 B1 到平面 PAD 的距离. 解:(Ⅰ) 连结 AC , 交 BD 于点 O , 连结 PO , 则 PO⊥面 ABCD , 又∵ AC ? BD , ∴ PA ? BD , ∵ BD // B1D1 , ∴ PA ? B1D1 . (Ⅱ)∵AO⊥BD ,AO⊥PO ,∴AO⊥面 PBD ,过点 O 作 OM⊥PD 于点 M,连结 AM , AM⊥PD , ∴∠AMO 就是二面角 A-PD-O A
1

P

D A B

C

D
1

C B
1 1

的平面角, ∵ AB ? 2, PA ? 6 ,∴AO= 2 ,PO= 6 ? 2 ? 2

1 1 4 4
1

6 PO ? OD 2 ? 2 2 AO 2 6 ? ? , ∴ tan ?AMO ? ,即二面角的大小为 arctan . OM ? ? ? 2 OM 2 2 PD 6 3
3
(Ⅲ) VB1 ? PAD ? VA? B1PD ? hx ?SPAD ?

1 3

1 AO?SB1PD ,即有 3
P

6 5 1 1 1 1 ,即 B1 到 hx ? ? 2? 5 ? ? 2 ? ? (S?BDB1 ? S?PBD ? S?PBB1 ) 解得 hx ? 5 3 2 3 2 6 5 平面 PAD 的距离为 5
5.1 如图 4, 已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2, AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.
A M D O B P
A

D

C

B

Q 图4

C

解: (Ⅰ)取 AD 的中点,连结 PM,QM. 因为 P-ABCD 与 Q-ABCD 都是正四棱锥,
Q



所以 AD⊥PM,AD⊥QM. 从而 AD⊥平面 PQM. 又 PQ ? 平面 PQM,所以 PQ⊥AD. 同理 PQ⊥AB,所以 PQ⊥平面 ABCD. (Ⅱ)连结 AC、BD 设 AC ? BD ? O ,由 PQ⊥平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知 O 在 PQ 上,从而 P、A、 Q、C 四点共面. 因为 OA=OC,OP=OQ,所以 PAQC 为平行四边形,AQ∥PC. 从而∠BPC(或其补角)是异面直线 AQ 与 PB 所成的角. 因为 PB ? PC ? OC 2 ? OP2 ? (2 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 3 ,所以 cos ?BPC=
1 从而异面直线 AQ 与 PB 所成的角是 arccos . 3
PB 2+PC 2 ? BC 2 12 ? 12 ? 16 1 ? ? . 2 PB ? PC 2? 2 3 ? 2 3 3

(Ⅲ)连结 OM,则 OM ?

1 1 AB ? 2 ? PQ .所以∠PMQ=90°,即 PM⊥MQ. 2 2

由(Ⅰ)知 AD⊥PM,所以 PM⊥平面 QAD. 从而 PM 的长是点 P 到平面 QAD 的距离. 在直角△PMO 中, PM ? PO2 ? OM 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 .即点 P 到平面 QAD 的距离是 2 2 . 六、表面积与体积问题 例 8.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ∥ DC , △PAD 是等边三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8 , AB ? 2DC ? 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 解: (Ⅰ)在 △ ABD 中,由于 AD ? 4 , BD ? 8 , AB ? 4 5 ,
2 2 2 所以 AD ? BD ? AB .故 AD ? BD .

P

M D A C B

又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

BD ? 平面 ABCD ,所以 BD ? 平面 PAD ,又 BD ? 平面 MBD ,故平面 MBD ? 平面 PAD .
(Ⅱ)过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O ,由于平面 PAD ? 平面 ABCD ,所以 PO ? 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高,又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形. 因此 PO ?

3 ? 4 ? 2 3 .在底面四边形 ABCD 中, AB ∥ DC , AB ? 2 DC , 2

所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为

4?8 8 5 , ? 5 4 5

10

此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ? 6.1 正方体 ABCD-A1B1C1D1 , AA1 =2 ,E 为棱 CC1 的中点. (Ⅰ) 求证: B1D1 ? AE ; (Ⅱ) 求证: AC // 平面 B1DE ; (Ⅲ)求三棱锥 A-BDE 的体积.

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 . 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 . 3

D1
A1

C1

B1
D

E

C
B

A

E ? B D 解: (Ⅰ)连结 BD , 则 BD // B1D1 , ∵ ABCD 是正方形, ∴ AC ? BD . ∵ CE ? 面 ABCD , ∴C

. 又

A C ? C E

? C ,∴ BD ? 面 ACE .∵ AE ? 面 ACE ,∴ BD ? AE ,∴ B1D1 ? AE .

(Ⅱ)作 BB1 的中点 F,连结 AF、CF、EF . ∵ E、F 是 CC1、BB1 的中点,∴ CE

B1F ,

∴四边形 B1 FCE 是平行四边形,∴ CF// B1E . ∵ E , F 是 CC1、BB1 的中点,∴ EF //BC , 又 BC // AD ,∴ EF // AD .∴四边形 ADEF 是平行四边形,? AF // ED , ∵ AF ? CF ? C , B1E ? ED ? E ,∴平面 ACF // 面 B1DE . 又 AC ? 平面 ACF ,∴ AC // 面 B1DE . (3) S ?ABD ? 反馈练习: 1.如图所示,已知正四棱锥 S—ABCD 侧棱长为 2 ,底 面边长为 3 ,E 是 SA 的中点,则异面直线 BE 与 SC 所成角的大小为( B ) A.90° B.60° C.45° D.30°

1 1 1 2 AB ? AD ? 2 . VA? BDE ? VE ? ABD ? S?ABD ? CE ? S?ABD ? CE ? 2 3 3 3

2.长方体 ABCD ? A 1 ? 1 ,则顶点 A、B 1B 1C1D 1 的 8 个顶点在同一个球面上,且 AB=2,AD= 3 , AA 间的球面距离是( B )

11

A. 3

2? 4

B.

2? 2

C. 2?

D.2 2?

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在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M 为 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1B1 上任意一点,

则直线 OP 与直线 AM 所成的角是( D ) A.

?
6

B

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?
4

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C

?
3

D.

?
2

D1 A1

4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,O 是底面 A1B1C1D1 的中心,则 O 到平面 AB C1D1 的距离为( B )

O
A1

C1 B1

D
1 A、 2

C
A1

2 B、 4

2 C、 2

3 D、 2

A
A1

A1

B
A1

5.△ABC 的顶点 B 在平面 a 内,A、C 在 a 的同一侧,AB、BC 与 a 所成的角分别是 30°和 45°,若 AB=3,BC= 4 2 ,AC=5,则 AC 与 a 所成的角为( C ) A.60° B.45° C.30° D.15°

6.矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D,则四面体 ABCD 的外接球的体积为( C ) A. 7
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125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

D.

125 ? 3

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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设 X、Y、Z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z 且 Y⊥Z ? X∥Y”为真命题的是

_________。(填序号) ②③ ①X、Y、Z 是直线;②X、Y 是直线,Z 是平面;③Z 是直线,X、Y 是平面;④X、Y、Z 是平面. 8.已知点 A, B, C , D 在同一个球面上, AB ? 平面BCD, BC ? CD, 若 AB ? 6, AC ? 2 13, AD ? 8 , 则 B, C 两点间的球面距离是 。

4? 3

9.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 ________ 60° 10.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为________

2 a 2

11.如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3 , AD ? 2 , PA ? 2 , PD ? 2 2 ,

∠PAB ? 60? .
(Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的大小.

12

2 2 2 AD ? 2 , 解: (Ⅰ) 在 △PAD 中, 由题设 PA ? 2 , 可得 PA ? AD ? PD , 于是 AD ? PA . 在 PD ? 2 2 ,

矩形 ABCD 中, AD ? AB ,又 PA ? AB ? A ,所以 AD ? 平面 PAB . (Ⅱ)由题设, BC ∥ AD ,所以∠ PCB (或其补角)是异面直线 PC 与 AD 所成的角. 在 △PAB 中,由余弦定理得 PB ?

PA2 ? AB2 ? 2PA?AB? cos PAB ? 7 .

P A E C D

由(Ⅰ)知 AD ? 平面 PAB , PB ? 平面 PAB , 所以 AD ? PB ,因而 BC ? PB ,于是 △PBC 是直角三角形, 故 tan PCB ?

PB 7 7 .所以异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小为 arctan . B ? BC 2 2

H

(Ⅲ)过点 P 作 PH ? AB 于 H ,过点 H 作 HE ? BD 于 E ,连结 PE . A ,因而 PH ? 平面 ABCD , 因为 AD ? 平面 PAB ,PH ? 平面 PAB ,所以 AD ? PH .又 AD ?AB ?

BD ? PE . 故 HE 为 PE 在平面 ABCD 内的射影. 由三垂线定理可知, 从而∠PEH 是二面角 P ? BD ? A

cos 60 ? 1 , 的平面角.由题设可得, PH ? PA? sin 60? ? 3 , AH ? PA?
?

BH ? AB ? AH ? 2 , BD ? AB2 ? AD2 ? 13 , HE ?

AD 4 . ?BH ? BD 13

于是在 Rt△PHE 中, tan PEH ?

PH 39 39 .所以二面角 P ? BD ? A 的大小为 arctan . ? HE 4 4

12.如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,平面 A 1 BC ? 侧面 A 1 ABB 1. (Ⅰ)求证: AB ? BC; ( Ⅱ ) 若 AA 1 ? AC ? a , 直 线 AC 与 平 面 A 1BC 所 成 的 角 为

?

,二面角

A1 ? BC ? A的大小为? , 求证:? ? ? ?

?
2

.

(Ⅰ)证明:如右图,过点 A 在平面 A1ABB1 内作 AD⊥A1B 于 D,则 由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1,且平面 A1BC∩侧面 A1ABB1=A1B, 得 AD⊥平面 A1BC.又 BC 平面 A1BC 所以 AD⊥BC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,则 AA1⊥底面 ABC,所以 AA1⊥BC. 又 AA1∩AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1,又 AB 侧面 A1ABB1,故 AB⊥BC. (Ⅱ)连接 CD,则由(Ⅰ)知∠ACD 就是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角,∠ABA1 就是二面角 A1-BC-A 的颊 角,即∠ACD=θ ,∠ABA1=?.于是在 RtΔ ADC 中,sinθ =

AD AD ? ,在 RtΔ ADA1 中,sin∠AA1D= AC a

AD AD ,∴sinθ =sin∠AA1D,由于θ 与∠AA1D 都是锐角,所以θ =∠AA1D. AA1 a
又由 RtΔ A1AB 知,∠AA1D+?=∠AA1B+?=

? ? ,故θ +?= . 2 2

13


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