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高中数学人教a版选修2-2教学课件:2、2-1-1-2_图文

? 理解类比推理概念,能利用类比推理的方法进行 简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中
的作用.

? 本节重点:类比推理. ? 本节难点:类比推理的特点及应用.

? 1.类比推理

? 由两类对象具有某些类似 特 征 和 其 中 一 类 对 象

的某些

,推出另一类对象也具有这些特

征已的知特推征理称为类比推理(简称类比).简言之,类

比推理是由

到 的推理. 特殊

? 特2殊.合情推理

? 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过

,再进行

,然后

提出

的推理,我们把它们统称为合情

推理观.察、分析、比较

联想、归纳

猜想

[例 2] 如图,已知 O 是△ABC 内任意一点,连结 AO、 BO、CO 并延长交对边分别于 A′、B′、C′,则OAAA′′+OBBB′′ +OCCC′′=1.

这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积

法”.

OA′ AA′



OB′ BB′



OC′ CC′



S△OBC S△ABC



S△OCA S△ABC



S△OAB S△ABC



S△ABC S△ABC

=1.

请运用类比思想,对于空间中的四面体 V-BCD,存

在什么类似的结论?并用“体积法”证明.

? [分析] 考虑到用“面积法”证明结论时把O点 与三角形的三个顶点连结,把三角形分成三个三 角形,利用面积相等来证明相应的结论.在证明 四面体中类似结论时,可考虑利用体积相等的方 法证明相应的结论.
[解析] 在四面体 V-BCD 中,任取一点 O,连结
VO,DO,BO,CO 并延长分别交四个面于 E,F,G,H
点,则OVEE+DOFF+OBGG+OCHH=1.

证明:在四面体 O-BCD 与 V-BCD 中, 1
OVEE=hh1==313SS△△BBCCDD··hh1=VVOV--BBCCDD. 同理有:ODFF=VVOD--VVBBCC;OBGG=VVOB--VVCCDD;OCHH=VVOC--VVBBDD, ∴OVEE+DOFF+OBGG+OCHH =VO-BCD+VO-VVBCV+-BVCDO-VCD+VO-VBD=VVVV--BBCCDD=1.

? [点评] 根据两类不同事物之间具有的某些类似 (或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事 物类似(或相同)的性质,这样的推理叫类比推理 (简称类比).类比推理是由特殊到特殊的一种推 理形式,类比的结论可能是真的,也可能是假的,
所以类比推理属于合情推理,虽然类比推理的结
论可能为真,也可能为假,但是它由特殊到特殊
的认识功能,对于发现新的规律和事实却十分有
用,类比推理应从具体问题出发,通过观察、分
析、联想进行对比、归纳、提出猜想.平面图形
中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类 对象.

? 类比推理的一般步骤是:(1)找出两类事物之间的 相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另 一类事物的性质,得出一个明确的命题猜想.

? [棱 交例BC3BC]11上于如一点图点N,.,点PMP为⊥斜BB三1交棱A柱A1A于BC点-MA,1BP1NC⊥1的B侧B1

? (1)求证:CC1⊥MN;
? (2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2 -2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间,类比三角形的 余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证 明.
? [分析] 考虑到三个侧面的面积需要作出三个侧 面的高,由已知条件可得△PMN为三棱柱的直截 面,选取三棱柱的直截面三角形作类比对象.

? [解析] (1)证明:∵PM⊥BB1,PN⊥BB1,

? ∴BB1⊥平面PMN.

? ∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1,

? ∴CC1⊥MN.

? (2)解:在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,有

?

S22SABBCBC11AB11·S=ACC1SA21BcCosCα1.B其1

+ 中α为

平S2A面CCCC1A1B1 1B

- 与

平面CC1A1A所成的二面角.

∵CC1⊥平面 PMN, ∴上述的二面角的平面角为∠MNP.

在△PMN 中,

PM2=PN2+MN2-2PN·MNcos∠MNP

?

PM2·CC

2 1



PN2·CC

2 1



MN2·CC

2 1



2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP,

由于 SBCC1B1=PN·CC1,SACC1A1=MN·CC1,

SABB1A1=PM·BB1=PM·CC1,

∴ 有 S2ABB1A1 = S2BCC1B1 + S2ACC1A1 -

2SBCC1B1·SACC1A1·cosα.

? [点评] 本题由平面三角形的余弦定理到空间三
棱柱的拓展推广,平时要注意这方面的知识积 累.

? 如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥SB,SB⊥SC, SA⊥SC,且SA,SB,SC和底面ABC所成的角分 别 出为 空α间1,情α形2,的α一3,个类猜比想三.角形中的正弦定理,给

[解析] 在△DEF 中,由正弦定理, 得:sindD=sineE=sinf F, 于是类比三角形中的正弦定理,在四面体 S-ABC 中, 我们猜想siSn1α1=siSn2α2=siSn3α3成立,其中 S1,S2,S3 分别为 三个侧面的面积.

? 一、选择题
? 1.类比推理和归纳推理的相同点是 ()
? A.从一般到一般
? B.前提蕴涵结论
? C.结论都是或然的
? D.从个别到一般
? [答案] C
? [解析] 由类比推理和归纳推理的定义可知,两 者的结论都是猜测性的,其正确性有待于证 明.故应选C.

2.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积

底×高 公式 S= 2 ,可推知扇形面积 S 扇等于

()

r2

l2

A. 2

B.2

lr C. 2

D.不可类比

? [答案] C
[解析] 三角形的高对应扇形的半径,三角形的底对 应扇形的弧长,所以可猜测 S 扇=12rl=l2r.故应选 C.

? 3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面 体作为类比对象较合适 ()
? A.三角形
? B.梯形
? C.平行四边形
? D.矩形
? [答案] C
? [解析] 从构成几何图形的几何元素的数目、位 置关系、度量等方面考虑,用平行四边形作为平 行六面体的类比对象较为合适.

? 二、填空题
? 4.医药研究中,研制新药初期,常用一些动物 作药性、药理试验,最后才作临床试验与应用, 通过对动物的观察,得出对人应用的一些结论, 所用推理为______________________.
? [答案] 类比推理
? [解析] 符合类比推理的方法,故应为类比推 理.

? 5a4.·a等6>a差3·数a7,列类{a比n}上中述,性an质>0,,在公等差比d数>0列,{b则n}中有, 若 系_b_n>_0_,__q_>_.1,写出b5,b7,b4,b8的一个不等关
? [答案] b4+b8>b5+b7 ? [解析] 将乘积与和对应,再注意下标的对应,
有b4+b8>b5+b7.

? 三、解答题 ? 6.(1)定义集合A与B的运算:A?B={x|x∈A,
x∈B,且x?A∩B},则(A?B)?A=____________. ? (2)定义集合A与集合B的运算:A*B={x|x∈A且
x?B},写出含有集合运算符号“*,∪,∩”对集 合A和B都能成立的一个等式.________________.

? [解析] (1)由图中可知A?B如图 ? 的阴影部分所示,若A?B=C,我们用类比的方
法可得C?A=B.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/8/29

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