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高中数学人教A版必修2课件:第一章 1-3 1-3-1 柱体、锥体、台体的表面积与体积_图文

1.多面体与旋转体的表面积公式 图形 多面体 表面积公式 多面体的表面积就是 各个面 的面积的和,也就 是 展开图 的面积 旋 圆 底面积:S底= πr2 侧面积:S侧= 2πrl 2 2π rl + 2π r 表面积:S= 转 柱 体 图形 表面积公式 2 底面积:S底= πr 圆 锥 旋 转 圆 台 侧面积:S侧= πrl 2 π rl + π r 表面积:S= 体 上底面面积:S上底= πr′2 2 下底面面积:S = πr 下底 侧面积:S侧= πl(r+r′) 表面积: 2+r2+r′l+rl) π( r ′ S= 2.柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体的体积: ①棱柱(圆柱)的高:指 两底面 之间的距离,即从一 底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线 与底面的交点)之间的距离. ②柱体的底面积为S,高为h,其体积V= Sh ,特别 地,圆柱的底面半径为r,高为h,其体积V=πr2h . (2)锥体的体积: ①棱锥(圆锥)的高: 指从顶点向底面作垂线, 顶点 与(垂 垂足 线与底面的交点)之间的距离. 1 Sh 3 ②锥体的底面积为 S,高为 h, 其体积 V= ,特别 1 2 πr h 3 地,圆锥的底面半径为 r,高为 h,其体积 V= . (3)台体的体积: ①圆台(棱台)的高:指 两个底面 之间的距离. ②台体的上、下底面面积分别是 S′,S,高为 h,其体积 1 (S+ S′S+S′)h V= 3 .特别地,圆台的上、下底面半径分别 1 2 2 π( r + rr ′+ r ′ )h 为 r,r′,高为 h,其体积 V= 3 . 1.棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么? 提示:棱柱的侧面展开图是平行四 边形,一边是棱柱的侧棱,另一边 等于棱柱的底面周长,如图(1)所示; 棱锥的侧面展开图是由若干个小三角形拼成的.如图 (2)所示;棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成 的,如图(3). 2.一个几何体的平面展开图一定相同吗?其表面积 是否确定? 提示:不同的展开方式,几何体的展开图不一定相同, 表面积是各个面的面积和,几何体的侧面展开方法可 能不同,但其表面积唯一确定. 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间有什么关系? 提示: 4.柱、锥、台体的体积公式之间有什么关系? 提示: 5.计算柱、锥、台体体积的关键是什么? 提示:计算底面积S和高h. [例1] 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体, 若在其中一个面的中心位置上, 挖一个直径为2 cm、深为 1 cm的圆柱形的洞,求挖洞后几何体的表面积是多少?(π 取3.14) [自主解答] 正方体的 表面积为4×4×6=96(cm2). 圆柱的侧面积为2π×1×1≈6.28(cm2). 则挖洞后几何体的表面积约为96+6.28=102.28(cm2). 1.求几何体的表面积时,通常将所给几何体分成 基本的柱、锥、台,再通过这些基本柱、锥、台的表面 积,进行求和或作差,从而获得几何体的表面积. 2.组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面 积之和减去公共部分面积. 1.圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它 的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆 台的表面积是多少? 解:如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的 圆心角是180°, 故c=π·SA=2π×10, 所以SA=20. 同理可得SB=40, 所以AB=SB-SA=20. 2 =π(r1+r2)· AB+πr2 + π r 1 2 =π(10+20)× 20+π× 102+π× 202 =1 100π (cm)2. 故圆台的表面积为 1 100π cm2. [例2] 如图所示,在 长方体ABCD-A′B′C′D′中, 用截面截下一个棱锥C-A′DD′, 求棱锥C-A′DD′的体积与剩余 部分的体积之比. [自主解答] 设AB=a,AD=b,DD′=c, 则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc, 1 又 S△A′DD′=2bc,且三棱锥 C-A′DD′的高为 CD=a. 1 1 ∴V 三棱锥 C-A′DD′=3S△A′DD′· CD=6abc. 1 5 则剩余部分的几何体体积 V 剩=abc-6abc=6abc. 1 5 故 V 棱锥 C-A′D′D∶V 剩=6abc∶6abc=1∶5. 常见的求几何体体积的方法: 2.把由曲线y=|x|和y=2围成的图形绕y轴旋转360°, 所得旋转体的体积为 8π A. 3 6π C3 ( 10π B. 3 32π D. 3 ) 解析:由题意可知,该旋转体为一底面半径为 2,高为 2 1 8π 2 的圆锥,其体积 V= ×π×2 × 2= . 3 3 答案:A [例3] (2011· 天津高考)一个几何体的三视图如图所 示(单位:m),则该几何体的体积为__________ m3. [自主解答] 由几何体的三视图知,原几何体是两 个长方体的组合体.上面的长方体的底面边长为1,1,高 为2,体积为2;下面长方体底面边长为2,1,高为1,体 积为2. ∴该几何体的体积为4. [答案] 4 根据几何体的三视图求其表面积与体积是新课 标高考的热点考向,解决该类问题的步骤为:(1)根 据三视图明确几何体的结构特征;(2)明确三视图中 各数据所反映几何体的特征;(3)代入相应的面积公 式,体积公式求解. 3.已知一个组合体的三视图如图所示,请根据具体 的数据,计算该组合体的体积和表面积. 解:由三视图可知此组合体的结构为: 上部是一个圆锥,中部是一个圆柱,下部也是一个圆柱, 由条件中的尺寸可知: 1 2 1 8π 2 V 圆锥=3πr h1=3π×2 × 2= 3 , V 中圆柱=πr2h2=π×22× 10=40π, V 下圆柱=πr′2h3=


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