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2010级高等数学II(1)试卷A





















a ? ( n ?1)T

2010 级《高等数学 II(1)》考试卷(A)
班级
题号 得分 一 二

(3) 设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数, 则定积分 ? (A) 与 a 有关,但与 n 无关 . (C) 与 a 及 n 都有关.

a ? nT

f ( x)dx 的值

(B) 与 n 有关,但与 a 无关. (D) 与 a 及 n 都无关. 〖 〗

学号
三 四 五

姓名
六 七 总分

l

(4) 微分方程 y ?? ? 2 y ? ? xe 2 x 的一个特解应具有的形式(其中 a, b为常数)是 (A) axe 2 x . (C) x(ax ? b)e 2 x .
本题 得分

(B) (ax ? b)e 2 x . (D) x 2 (ax ? b)e 2 x . 〖 〗

三、计算下列各题(每小题 8 分, 共 32 分)

本题 得分 (1) 极限 lim

一、填空题(每小题 4 分, 共 16 分) 3x 2 ? 2 2 sin ? x ?? 2 x ? 1 x
2 tan

. . . .

(1) 求极限 lim
x ?0

? ?
0

x2

0

(1 ? t ) t dt

1

x

(2) 设 y ? (1 ? x ) (3) 反常积分 ?
?? 0

?x
4

ln(1 ? t 2 ) dt t

.

, 则微分 dy x ?1 ?

xe ?2 x dx ?

(4) 微分方程 (6 x ? y ) dx ? x dy ? 0 的通解 y ? 本题 得分 二、单项选择题(每小题 4 分, 共 16 分)

x ? x?0, ? e ?1 , (1) 已知函数 f ( x) ? ? 在 x ? 0 处可导 , 则 ? ?a ? b cos x , x ? 0 ,

(2) 设 y ? y ( x) 是由方程 e y ? 6 xy ? x 2 ? 1 所确定的隐函数, 求 y ??(0) .

(A) a ? ?2 , b ? 2. (C) a ? ?1 , b ? 1.

(B) a ? 2 , b ? ?2 . (D) a ? 1 , b ? ?1 . 〖 〗

(2) 若 f (? x) ? f ( x) (?? ? x ? ??) , 在(-?,0 )内, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0, 则在(0,+? )内 (A) 函数 f ( x) 单调增加且其图形是凹的. (B) 函数 f ( x) 单调增加且其图形是凸的. (C) 函数 f ( x) 单调减少且其图形是凹的. (D) 函数 f ( x) 单调减少且其图形是凸的. 〖 〗

考试形式开卷( )、闭卷(√),在选项上打(√) 开课教研室 大学数学部 命题教师 命题组 命题时间

2010-12-20

使用学期
1

10-11-1

总张数

3

教研室主任审核签字

d


(3) 求不定积分 ? 1 ? x2 dx. x2


















ln(1 ? x) 1 ? x2 ? . arcsin x 1? x

本题 得分

四、 (本题 10 分)证明: 当 0 ? x ? 1 时,

? 1 , ? ?1 ? e x (4) 设 f ( x) ? ? ? 1 , ? ?1 ? x

x?0, x?0,

求 ? f ( x ? 1)dx .
0

2

本题 得分

五、 (本题 10 分)设 V1 是由曲线 y ? ln x 与直线 x ? a , y ? 0 所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积,V2 是由曲线 y ? ln x 与直线 x ? a , y ? 1 所围成的

平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积,其中1 ? a ? e . 问 a 为何值时, V1 ? V2 取得最小值 ? 并求此最小值.

2


本题 得分



















六、 (本题 10 分)在右半平面内求一条过点( 1 , 0 ) 的曲线 L , 使得 L 上任一点 P( x, y ) 处 的切线在OY 轴上的截距等于该切点到原点的距离 OP .

本题 得分

七、 (本题 6 分)设函数 f ( x) 在 [0 , 4] 上连续, 在 (0 , 4) 内可导, f (0) ? f (1) ? f (2) ? 3,

?

4

2

f ( x)dx ? 2, 证明在 (0 , 4) 内至少存在一点 ? , 使 f ?(? ) ? 0.

3


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