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北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:函数(含答案)


北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:函数
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模理科)若集合 M = { y | y = 2
- x

} ,P = {y | y =

x - 1} ,则 M ? P =





A. { y | y ? 1} C. { y | y ? 0 }

B. { y | y ? 1} D. { y | y ? 0 }

2 . 2013 届 北 京 丰 台 区 一 模 理 科 ) 如 果 函 数 y=f(x) 图 像 上 任 意 一 点 的 坐 标 ( x,y ) 都 满 足 方 程 (
lg ( x ? y ) ? lg x ? lg y ,那么正确的选项是


4 4 4 4



A.y=f(x)是区间(0, ? ? )上的减函数,且 x+y ? B.y=f(x)是区间(1, ? ? )上的增函数,且 x+y ? C.y=f(x)是区间(1, ? ? )上的减函数,且 x+y ? D.y=f(x)是区间(1, ? ? )上的减函数,且 x+y ?

3 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知函数
1

?log 4 x, x ? 0 1 f ( x) ? ? x f [ f ( )] ? 3 ,x ? 0 ? 16 ,则
? 1 9





A. 9

B. 9

C. ? 9
3 2

D



4 . (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2( a ? 0) 有且仅有两个不同的零点 x1 , x2 ,

则 A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0





5 . 2013 届 北 京 西 城 区 一 模 理 科 ) 已 知 函 数 f ( x ) ? lo g 2 x ? 2 lo g 2 ( x ? c ) , 其 中 c ? 0 . 若 对 于 任 意 的 (
x ? ( 0, ? ? ) ,都有 f ( x ) ? 1 ,则 c 的取值范围是

( D. [ , ? ? )
8 1



A. ( 0 , ]
4

1

B. [ , ? ? )
4

1

C. ( 0 , ]
8

1

6 . (2013 届东城区一模理科)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 的对称轴为 x ? ? 3 ,且当 x ? ? 3 时, f ( x ) ? 2 ? 3 .
x

若函数 f ( x ) 在区间 ( k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为 A. 2 或 ? 7 B. 2 或 ? 8 C. 1 或 ? 7 D. 1 或 ? 8





7 . 北 京 市 东 城 区 普 通 高 中 示 范 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 综 合 练 习 ( 二 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数 (
f ( x ) ? 1? x ? x
2

?

x

3

?

x

4

? ?

?

x

2013

则下列结论正确的是





2

3

4

2013

A. f ( x ) 在 ( 0,1) 上恰有一个零点 C. f ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上恰有一个零点

B. f ( x ) 在 ( 0,1) 上恰有两个零点 D. f ( x ) 在 ( ? 1, 0 ) 上恰有两个零点

8 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 ) 8.对实数 a 与 b ,定义新运算“ ? ” :
? a, a ? b ? 1, 设函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 ? ? ? x ? x 2 ? , x ? R. 若函数 y ? f ( x) ? c 的零点恰有两个, 则实 a ?b ? ? ?b, a ? b ? 1.

数 c 的取值范围是 A. ? ??, ?2? ? ? ?1,
? ? 3? ? 2?

( B. ? ??, ?2? ? ? ?1, ?
? ? 3? ? 4?



1? ?1 ? ? C. ? ??, ? ? ? , ?? ? 4? ?4 ? ?

3 ? ?1 ? ? ? ?1, ? ? ? ? , ?? ? 4 ? ?4 ? D. ?

9 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 给出下列命题:①在区间 (0, ? ? ) 上,函数
1

y ? x

?1

, y ? x 2 , y ? ( x ? 1) 2 , y ? x 3 中有三个是增函数;②若 lo g m 3 ? lo g n 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函
x?2

?3 , x ? 2, 数 f ( x ) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A (1, 0 ) 对称;④已知函数 f ( x ) ? ? 则方程 ? lo g 3 ( x ? 1), x ? 2 ,
f (x) ? 1 2

有 2 个实数根,其中正确命题的个数为 B. 2 C. 3 D. 4





A. 1

? 1 ? 10. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ? ?1

( x ? 2) ( x ? 2)

,则

f ( x ) 的图像与直线 y ? 1 的交点为 ( x 1 , y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 ( x 3 , y 3 ) 且 x 1 ? x 2 ? x 3 ,则下列说法错误的是


2 2 2 A. x 1 ? x 2 ? x 3 ? 14 B. 1 ? x 2 ? x 3 ? 0 C. x 1 ? x 3 ? 4



D. x 1 ? x 3 ? 2 x 2 )

x ? 2 ,x ? 0 11. 北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ) ( 设函数 f ? x ? ? ? 则 f ? f ? ? 1 ? ? ?( ? ? ? lo g 2 x , x ? 0,

A. 2

B.1

C. ? 2

D. ? 1

12. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知函数 f ( x )= ln x ,则函数 g ( x )= f ( x ) ? f '( x ) 的

零点所在的区间是 A. (0,1)

( B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)



13 . 北 京 市 昌 平 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题 ) 已 知 函 数 : ① f ( x ) ? ? x ? 2 x , ② (
2

f ( x ) ? cos(

?
2

?

?x 2

1

) ,③ f ( x ) ? | x ? 1| 2 .则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是

命题 p : f ( x ) 是奇函数; 命题 r : f ( ) ?
1 1

命题 q : f ( x ? 1) 在 (0, 1) 上是增函数; 命题 s : f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称 ( )



2 2 A.命题 p、 q

B.命题 q、 s

C.命题 r、 s

D.命题 p、 r
2 0.3

14. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )设 a ? 0.3 , b ? 2

, c ? log 0.3 4 ,则





A. b ? a ? c
二、填空题

B. c ? b ? a

C. b ? c ? a

D. c ? a ? b

ì 1 ? ? 2 x, 0 ≤ x ≤ ? ? 2 15.2013 届北京大兴区一模理科) ( 已知函数 f ( x ) = ? , 定义 f 1 ( x ) = f ( x ) , f n ( x ) = f ( f n - 1 ( x )) , í ? 1 ? 2 - 2 x, < x ≤ 1 ? ? 2 ? ?
* ( n ≥ 2 , n ? N ). 把满足 f n ( x ) = x ( x ? [0,1]) x 的个数称为函数 的

f (x)

的 n - 周期点” 则 “ .

f (x)

的2 -

周期点是

; n - 周期点是


?2 ? a, ? f (x) ? ? 2 ? x ? 3a x ? a , ?
x

16. (2013 届北京海滨一模理科)已知函数

x ? 0, x ? 0

有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围

是_____.
17. (2013 届房山区一模理科数学)某商品在最近 1 0 0 天内的单价 f ( t ) 与时间 t 的函数关系是
?t ? 4 ? 22 ? f (t ) ? ? ?? t ? 52 ? 2 ? (0 ? t ? 4 0, t ? N ) (40 ? t ? 100, t ? N )

日销售量 g ( t ) 与时间 t 的函数关系是 g ( t ) ? ? 的日销售额的最大值为 .

t 3

?

109 3

(0 ? t ? 1 0 0 , t ? N )

.则这种商品

18. (2013 届房山区一模理科数学) 已知函数 f ( x ) 的定义域是 D,若对于任意 x1 , x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有
f ( x1 ) ? f ( x 2 )

, 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x ) 在 [0 , 1] 上为非减函数, 且满足以下三个条件:
x 1 2 f (x)

① f (0 ) ? 0 ; ② f ( ) ?
5



③ f (1 ? x ) ? 1 ? f ( x ) .则 f ( ) ?
5

4

,f(

1 2013

)?

.

19. (2013 届门头沟区一模理科)定义在 ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列 { a n } ,
{ f ( a n )} 仍是等比数列,则称 f ( x ) 为“等比函数” 。现有定义在 ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) 上的如下函数:①

f ( x ) ? 2 ;② f ( x ) ? lo g2 x ;③ f ( x ) ? x ;④ f ( x ) ? ln 2 ,则其中是“等比函数”的 f ( x ) 的序号
x 2 x





20. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知函数 f ( x ) 的定义域为 R .若 ? 常数 c ? 0 ,对
? x ? R ,有 f ( x ? c ) ? f ( x ? c ) ,则称函数 f ( x ) 具有性质 P .给定下列三个函数:

① f (x) ? 2 ;
x

② f ( x ) ? sin x ;

③ f (x) ? x ? x .
3

其中,具有性质 P 的函数的序号是______.
21. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? 在 ?? ?,0? 上是 )
?1? x ? ? 2 ,则不等式 f 2 ? 2 的解集为_____________. 2? ?

减函数,且 f ?

? ?

22. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 )
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数.例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题:

①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, ?2 ? x , x ? 2

是单函数;

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号).
23. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 ) 奇函数 f

若 ? x ? 的定义域为 ? ? 2, 2 ? , f ? x ? 在 ? 0 , 2 ? .

上单调递减,且 f ? 1 ? m ? ? f ? m ? ? 0 ,则实数 m 的取值范围是

24 . 北 京 市 通 州 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 理 科 数 学 试 题 ) 对 任 意 两 个 实 数 x1 , x 2 , 定 义 (
, ? x1 , x 1 ? x 2 m a x ? x1 , x 2 ? ? ? 若f ? x 2 , x1 ? x 2 .

?x? ?

x ? 2 , g ? x ? ? ? x ,则 m a x ? f
2

? x ? , g ? x ? ? 的最小值为



25.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )给出定义:若 m ? (

1 2

< x ? m+

1 2

(其中 m

为整数), m 叫做离实数 x 最近的整数, 则 记作 { x } , { x= m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x )= x ? { x } 即 } 的四个命题: ① y = f ( x ) 的定义域是 R ,值域是 ( ?
1 1 , ]; 2 2

②点 ( k ,0 ) 是 y = f ( x ) 的图像的对称中心,其中 k ? Z ; ③函数 y = f ( x ) 的最小正周期为 1 ; ④ 函数 y = f ( x ) 在 ( ?
1 3 , ] 上是增函数. 2 2

则上述命题中真命题的序号是
三、解答题


? ?1, x ? M ? 1, x ? M

26. (2013 届门头沟区一模理科)对于集合 M ,定义函数 f M ( x) ? ?

,对于两个集合 M , N ,定义集合

M ? N ? x f M ( x ) ? f N ( x ) ? ?1

?

? .已知 A ? ?1, 2, 3, 4, 5, 6? , B ? ?1, 3, 9, 27,81? .

(Ⅰ)写出 f A (2) 与 f B (2) 的值,并用列举法写出集合 A ? B ; (Ⅱ)用 Card ( M ) 表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的最小值; (III)有多少个集合对 ( P, Q ) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B .

27. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)函数 f ( x ) ? lg ( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A,
2

函数 g ( x ) ? 2 x ? a ( x ? 2 ) 的值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.

28. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)已知函数 y ? f (x) ,若存在 x0 ,

使得 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数 y ? f (x) 的一个不动点,设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? b ? 2 . (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时,求函数 f (x) 的不动点; (Ⅱ) 若对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,若函数 y ? f (x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是函数 f (x) 的不动点,且直线
1 a ?1
2

y ? kx ?

是线段 AB 的垂直平分线,求实数 b 的取值范围.

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:函数参考答案 一、选择题 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

C C B B D A C B 【答案】C
1

解:①在区间
1 lo g 3 m ? 1

(0, ? ? )

上,只有

y ? x2

3 lo g m 3 ? lo g n 3 ? 0 , y ? x 是增函数,所以①错误。②由 ,可得

? 0

lo g 3 n

,即
? 1

lo g 3 n ? lo g 3 m ? 0

,所以 0 ? n ? m ? 1 ,所以②正确。③正确。④当 x ? 2 时,
lo g 3 ( x ? 1) ? 1 2 , x ?1 ? 得
3 , x ? 1? 即
3 ,

3

x?2

?1, 由

3

x?2

2 , 可知此时有一个实根。 x ? 2 时, 当 由

所以④正确。所以正确命题的个数为 3 个。选 C.
10. 【答案】D

【解析】由

1 x?2

?1

x?2 ?1

x ?1

x ?3

x ? 2

y ?1

。 又 x1 ? x 2 ? x 3 , 所 以

,得
x1 ? 1 , x 2 ? 2 , x 3 ? 3

,解得
x1 ? x 3 ? 4 ? 2 x 2



,当



,所以

,所以 D 错误,选 D.

11. 【答案】D

【 解析】 f ( ? 1) ? 2
12. 【答案】B

?1

?

1

,所以 f ? f ? ? 1 ? ? ? f ( ) ? lo g 2 ? ? 1 ,选 D ? ? 2 2 2

1

1

解 : 函 数 的 导 数 为 f ' (x )?
g ( 2 ) ? ln 2 ? 1 2

1 x

) , 所 以 g ( x ) = f (x?

f ' (x? )

1 l n 。 因 为 g ( 1 )? ? x x

l n? 1

? ? 1

1 , ? 0

? 0 ,所以函数 g ( x )= f ( x ) ? f '( x ) 的零点所在的区间为 (1, 2 ) .选 B.

13. 【答案】C

解 : 当 f ( x ) ? ? x ? 2 x 时 , 函 数 不 是 奇 函 数 , 所 以 命 题 p 不 能 使 三 个 函 数 都 成 立 , 排 除 A,D. ①
2

1 ? ? 1 ? 1 1 2 1 1 3 1 f ( ) ? ?( ) ? 2 ? ? 1 ? ? ? 成 立 ; ② f ( ) ? c o s( ? ? ) ? c o s ? 2 2 2 2 4 2 2 2 4 4 2

2 2

?

1 2

成立;③

1 1 f ( ) ? | ? 1| 2 ? 2 2

1

1 2

?

2 2

?

1 2

成立,所以命题 r 能使三个函数都成立,所以选 C.

14. D 二、填空题 15. 4 , 2 n
4

? a ?1

16. 17. 18.

9
8 0 8 .5
1 , 1

2 32

19. ③④ 20. 【答案】①③.
x 解:由题意可知当 c ? 0 时, x ? c ? x ? c 恒成立,若对 ? x ? R ,有 f ( x ? c ) ? f (x ? c ) 。①若 f ( x ) ? 2 ,

则由 f ( x ? c ) ? f ( x ? c ) 得 2

x?c

? 2

x?c

,即 x ? c ? x ? c ,所以 c ? 0 ,恒成立。所以①具有性质 P. ②若

f ( x ) ? s in x ,由 f ( x ? c ) ? f ( x ? c) 得 sin ( x ? c ) ? sin ( x ? c ) ,整理 c o s x s i nc ? 0,所以不存在常数
c ? 0 , 对 ? x ? R , 有 f ( x ? c) ? f ( x ? c)成 立 , 所 以 ② 不 具 有 性 质 P 。 ③ 若 f ( x ) ? x ? x , 则 由
3

f ( x ? c) ? f ( x ? c)得由 ( x ? c ) ? ( x ? c ) ? ( x ? c ) ? ( x ? c ) ,整理得 6 x ? c ? 2 ,所以当只要 c ?
3 3
2 2

2,

则 f ( x ? c ) ? f ( x ? c ) 成立,所以③具有性质 P,所以具有性质 P 的函数的序号是①③。
21. 答案 ?? 1,?? ? 因为函数为你偶函数,所以 f ( ?
2 ?
x

1

1 x ) ? f ( ) ? 2 ,且函数在 (0, ? ? ) 上递增.所以由 f ( 2 ) ? 2 得 2 2

1 2

x ,即 x ? ? 1 ,所以不等式 f ?2 ? ? 2 的解集为 ?? 1,?? ? .

22. 答案③

①若 f ( x ) ? x ? 2 x ,则由 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 得 x1 ? 2 x1 ? x 2 ? 2 x 2 ,即 ( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ? 2 ) ? 0 ,解
2

2

2

得 x1 ? x 2 , 或 x1 ? x 2 ? 2 ? 0 , 所 以 ① 不 是 单 函 数 .② 若 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, ?2 ? x , x ? 2

则由函数图象可知当

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,时, x1 ? x 2 ,所以②不是单函数.③根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区

间 D 上具有单调性,单在整个定义域上不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③.
23. 【答案】 [ ?
1 2 ,1]

【 解析】因为奇函数在 ? 0 , 2 ? 上单调递减,所以函数 f ( x ) 在 ? ? 2, 2 ? 上单调递减。由 f ? 1 ? m ? ? f ? m ? ? 0

? ??2 ? m ? 2 ??2 ? m ? 2 ? 1 ? 得 f (1 ? m ) ? ? f ( m ) ? f ( ? m ) ,所以由 ? ? 2 ? 1 ? m ? 2 ,得 ? ? 3 ? m ? 1 ,所以 ? ? m ? 1 ,即实数 m 的 2 ?1 ? m ? ? m ? 1 ? ?m ? ? ? 2

取值范围是 [ ?
24. 【答案】 ? 1

1 2

,1] 。

【 解析】因为 f ( x ) ? g ( x ) ? x ? 2 ? ( ? x ) ? x ? x ? 2 ,所以 x ? 2 ? ( ? x ) ? x ? x ? 2 ? 0 时,解得 x ? 1
2 2 2 2



x ? ?2





?2 ? x ? 1





x ? x?2? 0
2





f(

?) x

g (, x ) 所



m ax ? f

? x ? , g ? x ?? ?

1 , ? ? x , ? ?2 x ? ,做出图象,由图象可知函数的最小值在 A 处,所以最小值为 ? 2 x ? 2 x ? 或x ? ? , 1 2 ?

f (1) ? ? 1 。

25. 【答案】①③

解 : ① 中 , 令 x ? m ? a , a ? (?

1 1 1 1 , ] , 所 以 f ( x )= x ? { x } ? a ? ( ? , ] ② 2 2 。 所 以 正 确 。 2 2

f ( 2 k ? x )= 2 k ? x ? {2 k ? x } ? ( ? x ) ? { ? x } ? f ( ? x ) ? ? f ( ? x )

,所以点 ( k , 0 ) 不是函数 f ( x ) 的图象的对

称 中 心 , 所 以 ② 错 误 。 ③ f ( x ? 1)= x ? 1 ? { x ? 1} ? x ? { x } ? f ( x ) , 所 以 周 期 为 1 , 正 确 。 ④ 令
x ? ? 1 2 , m ? ?1 , f (? 则 1 2 )? 1 2

, x? 令

1

1 1 1 1 ,m ? 0 , f ( ) ? , 则 所以 f ( ? ) ? f ( ) , 所以函数 y = f ( x ) 2 2 2 2 2

1 3 在 ( ? , ] 上是增函数错误。 ,所以正确的为①③ 2 2

三、解答题 26. (Ⅰ)解: f A (2) ? ?1 , f B (2) ? 1

?????????1 分

A ? B ? ?2, 4, 5, 6, 9, 27,81?

???????2 分

(Ⅱ) X ? A ? {x x ? X ? A, x ? X ? A} , X ? B ? {x x ? X ? B, x ? X ? B} 要使 Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小,1, 3 一定属于集合 X , X 不能含有 A ? B 以外的元素,所以 当集合 X 为 ?2, 4, 5, 6, 9, 27,81? 的子集与集合 ?1, 3? 的并集时, Card ( X ? A) ? Card ( X ? B ) 的值最小, 最小值是 7 ??8 分

(Ⅲ)因为 f A? B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x)
f ( A ? B ) ?C ( x ) ? f A ( x ) ? f B ( x ) ? f C ( x )

所以 ? 运算具有交换律和结合律 所以 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? ( P ? Q ) ? ( A ? B ) 而 ( P ? A) ? (Q ? B ) ? A ? B 所以 P ? Q ? ? ,所以 P ? Q ,而 A ? B ? {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 27,81} 所以满足条件的集合对 ( P, Q) 有 2 ? 512 个
9

?????13 分

注:不同解法请教师参照评标酌情给分.
27. (本题共 13 分) 函数 f ( x ) ? lg ( x ? 2 x ? 3) 的定义域为集合 A, 函数 g ( x ) ? 2 ? a ( x ? 2 ) 的值域为集合 B.
2
x

(Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)A= { x | x ? 2 x ? 3 ? 0}
2

= { x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = { x | x ? ? 1, 或 x ? 3} ,..………………………..……3 分 B= { y | y ? 2 ? a , x ? 2} ? { y | ? a ? y ? 4 ? a } . ………………………..…..7 分
x

(Ⅱ)∵ A ? B ? B ,∴ B ? A , ..……………………………………………. 9 分 ∴ 4 ? a ? ? 1 或 ? a ? 3 , …………………………………………………………...11 分 ∴ a ? ? 3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 ( ? ? , ? 3] ? (5, ? ? ) .…………………….13 分
28.
2 (Ⅰ) 当 a ? 2, b ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? 1 ,解 2 x ? 2 x ? 1 ? x

2

?2 分

得 x ? ?1, x ?

1 2 1 2

所以函数 f ( x) 的不动点为 x ? ?1, x ?

??3 分

(Ⅱ)因为 对于任意实数 b ,函数 f (x) 恒有两个不同的不动点, 所以 对于任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 恒有两个不相等的实数根, 即方程 ax ? (b ? 1) x ? b ? 2 ? x 恒有两个不相等的实数根,
2

???4 分 ???5 分

所以 即 所以 解得

? x ? b ? 4a (b ? 2) ? 0
2

对于任意实数 b , b 2 ? 4ab ? 8a ? 0
? b ? (?4a ) ? 4 ? 8a ? 0
2

????????7 分 ???????8 分

0?a?2

(Ⅲ)设函数 f ( x) 的两个不同的不动点为 x1 , x2 ,则 A( x1 , x1 ), B ( x2,x2 ) 且 x1 , x2 是 ax ? bx ? b ? 2 ? 0 的两个不等实根, 所以 x1 ? x2 ? ?
2

b a

直线 AB 的斜率为 1,线段 AB 中点坐标为 (?

b 2a

,?

b 2a

)

因为 直线 y ? kx ?

1 a ?1
2

是线段 AB 的垂直平分线,

所以 k ? ?1 ,且 (?

b 2a

,?

b 2a

) 在直线 y ? kx ?

1 a ?1
2





?

b 2a

?

b 2a
a

?

1 a ?1
2

a ? (0, 2)

????????10 分

所以 b ? ?

a ?1
2

??

1 a? 1 a

??

1 1 2 a? a

??

1 2

当且仅当 a ? 1 ? (0, 2) 时等号成立

???????12 分

又 b?0

所以 实数 b 的取值范围 [?

1 2

, 0) .

????13 分



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