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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 数列的概念与简单表示法


§6.1

数列的概念与简单表示法

[高考调研 明确考向] 考纲解读 考情分析

?本部分主要考查数列的基 ?了解数列的概念和几种简 本概念及表示方法、通项 公式的求法以及数列的性 单的表示方法(列表、图 质. 象、通项公式). ?了解数列是自变量为正整 ?题型多以选择、填空题为 数的一类函数. 主,有时也作为解答题的 一问,难度不大.

知识梳理 1.数列的定义 1 按照 □ __________排列着的一列数称为数列,数列中 的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图像法和公式 法. 4.数列的通项公式 6 (1)如果数列{an}的第n项an与 □ ______之间的关系可以 7 用一个公式 □ __________来表示,那么这个公式叫做这个 数列的通项公式.

? 8 ?□ (2)已知Sn,则an= ? ?□ ? 9 ? 10 ?an≥□ 数列{an}中,若an最大,则 ? ?an≥□ 11 ? ? 12 ?an≤□ ? ?an≤□ 13 ? , .

?n=1?, ?n≥2?. , ;



若an最小,则

1 答案: □ 一定顺序 <

2 3 4 5 □ 有限 □ 无限 □ > □
-1

6 7 8 9 □ 序号n □ an=f(n) □ S1 □ Sn-Sn
+1

10 □ an

-1

11 □an

12 □an

-1

13 □an

+1

名师微博 ●一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然 数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对 应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要 注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.

●两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们 就是不同的两个数列,这有别于集合中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复 出现.

●三种方法 由递推式求通项an的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) a =f(n)型,采用叠乘法; n (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化 为等比数列来解决.

基础自测 8 15 24 1.数列1, , , ,…的一个通项公式是( 5 7 9 n2 A.an= 2n+1 ?n+1?2-1 C.an= 2?n+1? n?n+2? B.an= n+1 n?n+2? D.an= 2n+1 )

3 解析:∵1可以写成3,∴分母为3,5,7,9,即2n+1,分子 n?n+2? 可以看成1×3,2×4,3×5,4×6,故为n(n+2),即an= . 2n+1 此题也可用排除法求解,只需验证当n=1时,A选项为 1 3 3 ,B选项为 ,C选项为 ,均不为1,故排除A、B、C,从 3 2 4 而选D.

答案:D

2an 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*),则a5 an+2 等于( 2 A. 5 ) 1 B. 3 2 C. 3 1 D. 2

2an 2 1 2 解析:由a1=1,an+1= ,得a2=3,a3=2,a4=5, an+2 1 a5=3.

答案:B

2n 3.已知数列{an}的通项公式是an= ,那么这个数 3n+1 列是( )

A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列

2?n+1? 2n 解析:方法一:∵an+1-an= - 3?n+1?+1 3n+1 2 = >0, [3?n+1?+1]?3n+1? ∴an+1>an,数列{an}为递增数列.

2x 方法二:研究函数f(x)= (x>0)的单调性. 3x+1 2 2 2 2 2x+3-3 3?3x+1?-3 2 2 f(x)= = =3- . 3x+1 3x+1 3?3x+1? 2x ∴f(x)= 在(0,+∞)上单调递增. 3x+1 ∴f(n+1)>f(n),故an+1>an,数列{an}为递增数列.

答案:A

4.数列 2, 5,2 2,…,则2 5是该数列的( A.第6项 C.第10项 B.第7项 D.第11项

)

解析:原数列可写成 2, 5, 8,… ∵2 5= 20,∴20=2+(n-1)×3,∴n=7.

答案:B

5.(2011· 浙江)若数列{n(n+4) 项,则k=__________.

?2? ? ? ?3?

n

}中的最大项是第k

解析:设数列为 an ,则an+1-an=(n+1)(n+5)

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

?2? + ? ? n 1- ?3?

?2? ?2? ?2 ? 2n n(n+4)?3?n=?3?n?3?n2+6n+5?-n2-4n?= n+1(10-n2), ? ? ? ? ? ? 3

所以当n≤3时,an+1>an; 当n≥4时,an+1<an. 因此,a1<a2<a3<a4,a4>a5>a6>…,故a4最大,所 以k=4.

答案:4

考点一

由数列的前几项求数列的通项

[例1]

写出下面各数列的一个通项公式:

(1)3,5,7,9,…; 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,…; 3 1 3 1 3 (3)-1,2,-3,4,-5,6,…; (4)3,33,333,3 333,….

解析:(1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1. (2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列 2n-1 21,22,23,24,…,所以an= 2n . (3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(- 1)n;各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4,…;而各项绝对值 的分子组成的数列中,奇数项为1,偶数项为3,即奇数项为 2+?-1?n 2-1,偶数项为2+1,所以an=(-1)n· . n

? 1 ?-n,n为正奇数, 也可写为an=? ?3,n为正偶数. ?n 9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为:3, 3 , 3 , 3 ,…, 分母都是3,而分子分别是10-1,102-1,103-1,104- 1 n 1,…,所以an=3(10 -1).

方法点睛

根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观

察分析,抓住以下几个方面的特征:①分式中分子、分母的 特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征:把数列的项 分成变化的部分和不变的部分;④各项符号特征.若关系不 明显时,应将部分项作适当的变形,统一成相同的形式,让 规律凸现出来.

变式训练1 根据数列的前n项,写出下列各数列的一个 通项公式: (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…; 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,…; 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (4) ,1, , ,…; 2 10 17 (5)0,1,0,1,….

解析:(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n 1表示,其各项 的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对 值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). 8 8 8 (2)将数列变形为 9 (1-0.1), 9 (1-0.01), 9 (1- 0.001),…, 1 ? 8? ∴an=9?1-10n?. ? ?



(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…,易看出第2,3,4项的 2-3 分子分别比分母少3.因此把第1项变为- ,至此原数列已 2 21-3 22-3 23-3 24-3 化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,…, 2 2 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n . 2

3 5 7 9 (4)将数列统一为 2 , 5 , 10 , 17 ,…,对于分子3,5,7, 9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+ 1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数 列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为an= 2 . n +1

(5)an=

?0 ? ? ?1 ?

?n为奇数?, ?n为偶数?,

1+?-1?n 或an= ,或an= 2

1+cosnπ (n∈N*). 2

考点二

由an与Sn的关系求通项an

[例2]

已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=
*

1 0(n≥2,n∈N ),a1=2,求an.

解析:∵当n≥2,n∈N*时,an=Sn-Sn-1, 1 1 ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0,即 - =2. Sn Sn-1 1 ∴数列{ }是公差为2的等差数列. Sn 1 1 又S1=a1=2,∴S =2. 1 1 1 ∴S =2+(n-1)· 2=2n.∴Sn=2n. n

1 1 ∴当n≥2,n∈N 时,an=-2SnSn-1=-2· · 2n 2?n-1? =
*

1 - . 2n?n-1? ?1 ?n=1?, ?2 ∴an=? 1 ?- ?n≥2,n∈N*?. ? 2n?n-1?

方法点睛 数列的通项an与前n项和Sn的关系是an= ?S1 ? ??n=1?, ? ?Sn-Sn-1 ??n≥2?. ?

)当n=1时,a1若适合Sn-Sn-1,则n=1的情况可

并入n≥2时的通项an;当n=1时,a1若不适合Sn-Sn-1,则用 分段函数的形式表示.

变式训练2

已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,

则其通项公式为__________.

解析:当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n- 1)+1]=6n-5,显然当n=1时,不满足上式.
?2,n=1, ? 故数列的通项公式为an=? ?6n-5,n≥2. ?

?2,n=1, ? 答案:an=? ?6n-5,n≥2 ?

考点三

由数列的递推公式求通项

[例3]

根据下列条件,确定数列{an}的通项公式.

(1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1(n≥2); (3)已知数列{an}满足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an.

解析:(1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), an+1+1 ∴ =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3, an+1 又a1+1=2,∴an+1=2·n-1,∴an=2·n-1-1. 3 3 n-1 (2)∵an= a (n≥2), n n-1 n-2 1 ∴an-1= an-2,…,a2=2a1. n-1 1 2 n-1 a1 1 以上(n-1)个式子相乘得an=a1··· …· = = . 23 n n n

(3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 n?3n+1? = (n≥2). 2 1 当n=1时,a1= ×(3×1+1)=2符合公式, 2 3 2 n ∴an= n + . 2 2

方法点睛

已知数列的递推关系,求数列的通项时,通

常用累加、累乘、构造法求解. 当出现an=an-1+m时,构造 等差数列;当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an an =an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现 =f(n)时,用累乘 an-1 法求解.

变式训练3

根据下列条件,求数列的通项公式an.

(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n; n+2 (2)在数列{an}中,an+1= n an,a1=4; (3)在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1;
2 (4)在数列{an}中,an+1=3an,a1=3.

解析:(1)由an+1-an=2n,把n=1,2,3,…,n-1(n≥2) 代入,得(n-1)个式子. 累加即可得(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=2+22+ 2?1-2n-1? 23+…+2n-1,所以an-a1= , 1-2 即an-a1=2n-2,所以an=2n-2+a1=2n-1. 当n=1时,a1=1也符合,所以an=2n-1(n∈N*).

n+2 an+1 n+2 (2)由递推关系an+1= a ,a =4,有 = . n n 1 an n an-1 a2 a3 4 a4 5 n an 于是有 =3, = , = ,…, = , = a1 a2 2 a3 3 an-2 n-2 an-1 n+1 , n-1 an n?n+1? 将这(n-1)个式子累乘,得a = 2 . 1 n?n+1? 所以当n≥2时,an= a1=2n(n+1). 2

当n=1时,a1=4符合上式,所以an=2n(n+1)(n∈N*). (3)由an+1=2an+1,得an+1+1=2(an+1). 令bn=an+1,所以{bn}是以2为公比的等比数列. 所以bn=b1·n-1=(a1+1)·n-1=2n+1, 2 2 所以an=bn-1=2n 1-1(n∈N*).


(4)由已知,an>0,在递推关系式两边取对数,有 lgan+1 =2lgan+lg3. 令 bn=lgan,则 bn+1=2bn+lg3. 所以 bn+1+lg3=2(bn+lg3),所以{bn+lg3}是等比数列. 所以 bn+lg3=2n 1· 2lg3=2nlg3. 所以 bn=2 lg3-lg3=(2 -1)lg3=lgan.所以 an=3
n n 2n-1


.

考点四

数列单调性及其应用
?10? 已知数列{an}的通项an=(n+1) ?11? n(n∈N+),试问 ? ?

[例4]

该数列{an}中有没有最大项?若有,求最大项的项数;若没 有,说明理由.

解析:∵an+1-an=(n+2)
n9-n

?10? + ?10? ?10? n 1 n ? ? -(n+1) ?11? = ?11? ?11 ? ? ? ? ?

11

.

当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an; 故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列中 有最大项为第9,10项.

方法点睛

①数列可以看作是一类特殊的函数,因此要

用函数的知识,函数的思想方法来解决.②数列的单调性是 高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性 问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作 差法,②作商法,③结合函数图像等方法.

变式训练4 N*).

已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+24n(n∈

(1)求{an}的通项公式; (2)当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少?

解析:(1)n=1时,a1=S1=23. n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)= -2n+25.经验证,a1=23符合an=-2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N*).

(2)方法一:∵Sn=-n2+24n, ∴n=12时,Sn最大且Sn=144. 方法二:∵an=-2n+25,∴an=-2n+25>0,有n< 25 2. ∴a12>0,a13<0,故S12最大,最大值为144.

易错矫正(十九) 忽视数列与函数的区别致误 [试题] 已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单 ) B.(-∞,3) D.(-∞,3]

调递增,则k的取值范围是( A.(-∞,2] C.(-∞,2)

错解:错选A;因为an是关于n的二次函数,其定义域为 k 正整数集,故若{an}递增,则必有 ≤1,故k≤2. 2

错因:函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区 别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数 列单调,其所在函数不一定单调,关键原因在于数列是一个 定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊 函数.故对于数列单调性的判断一般要通过比较an+1与an的 大小来判断:若an+1>an,则数列为递增数列;若an+1<an, 则数列为递减数列.

正解:由an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1- k,又于{an}单调递增,故应有an+1-an>0,即2n+1-k>0 恒成立,分离变量得k<2n+1,故只需k<3即可.

答案:B



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