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北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:概率(含答案)

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:概率
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模理科)若实数 a, b 满足 a + b ≤ 1 ,则关于 x 的方程 x - 2 x + a + b = 0 有实数根
2 2 2

的概率是 A.

( B.



1 4

3 4

C.

3π + 2 4π

D.

π- 2 4π

2 . (2013 届东城区一模理科) 某游戏规则如下: 随机地往半径为 1 的圆内投掷飞标, 若飞标到圆心的距离大于

1 , 2

则成绩为及格;若飞标到圆心的距离小于

1 1 1 ,则成绩为优秀;若飞标到圆心的距离大于 且小于 ,则成 4 4 2
( )

绩为良好,那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 A.

3 16

B.

1 4

C.

3 4

D.

1 16

3 . (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得每组

至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是 A.

( D.



2 21

B.

4 63

C.

1 21

2 63
( )

4 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球,

则恰有一个红球的概率是 A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 5 . (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )设不等式组 ? x ≤ 4, 表示的平面区域为 D .在 ? y ? ?2 ?

区域 D 内随机取一个点,则此点到直线 y +2=0 的距离大于 2 的概率是 A.





4 13

B.

5 13

C.

8 25

D.

9 25

二、填空题 6 . (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )已知随机变量 X 的分布

列如下,则 EX 的值等于

X
P

1 1 2

2 1 3

3

m

? y ? x ? 1, ? 7 . 北 京 市 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 3 月 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已知 区 域 ? ? {( x, y ) ? y ? 0, } , ( ? x ? 1, ?

? y ? ? x ? 1, ? M ? {( x, y ) ? } ,向区域 ? 内随机投一点 P ,点 P 落在区域 M 内的概率为 ? y ? 0, ?
三、解答题

.

8 . (2013 届北京大兴区一模理科)期末考试结束后,随机抽查了某校高三(1)班 5 名同学的数学与物理成绩,如

下表: 学生 数学 物理
A1 A2 A3 A4 A5

89 87

91 89

93 89

95 92

97 93

(1)分别求这 5 名同学数学与物理成绩的平均分与方差,并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。 从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中同学的物理成绩高于 90 分的人 数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X)的值.

9 . (2013 届北京丰台区一模理科)在一次抽奖活动中,有甲、乙等 6 人获得抽奖的机会。抽奖规则如下:主办方

先从 6 人中随机抽取两人均获奖 1000 元,再从余下的 4 人中随机抽取 1 人获奖 600 元,最后还从这 4 人中 随机抽取 1 人获奖 400 元。 (Ⅰ)求甲和乙都不获奖的概率; (Ⅱ)设 X 是甲获奖的金额,求 X 的分布列和均值 EX 。

10. (2013 届北京海滨一模理科)在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”

和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计 如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级

等级

11. (2013 届北京市延庆县一模数学理)空气质量指数 PM 2.5 (单位: ? g / m )表示每立方米空气中可入肺颗粒
3

物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:

甲、 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数 PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如 甲城市 乙城市 茎叶图所示: 3 4 (Ⅰ)根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内 6 哪个城市空气质量总体较好?(注:不需说明理由) 7 (Ⅱ)在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市 8 9 空气质量类别均为优或良的概率; 0224 896 151 8 230 8 3 5 6 7 8 9 204 5 4 697 807 1809

(Ⅲ) 在乙城市 15 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数, 求 X 的分布列及数学期望.

12. (2013 届北京西城区一模理科)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行学业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

13. (2013 届东城区一模理科)某班联欢会举行抽奖活动,现有六张分别标有 1,2,3,4,5,6 六个数字的形状

相同的卡片,其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片,且奖品个数与卡片上所标数字相同,游戏规则如下:每 人每次不放回抽取一张,抽取两次. (Ⅰ)求所得奖品个数达到最大时的概率; (Ⅱ)记奖品个数为随机变量 X ,求 X 的分布列及数学期望.

14. (2013 届房山区一模理科数学)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可入肺颗粒物. 我

国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值, PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 35 即 在 微克/立方米 ? 75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立 方米以上空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随 机的抽取 15 天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎, 个位为叶) . (Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据,求 恰有一天空气质量达到一级的概率;
PM2.5 日均值(微克/立方米)

2 3 4 6 7 8 9

8 7 4 3 9 6 2

1 5 8 3 5

4 5

3

(Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ? 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ? 的分布列和数学 期望; (Ⅲ)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中平均有多少天 的空气质量达到一级或二级.

15.(2013 届门头沟区一模理科)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路网畅通或拥堵的概念性指数

值,交通指数取值范围为 0~10,分为五个级别,0~2 畅 通;2~4 基本畅通;4~6 轻度拥堵;6~8 中 度拥堵;8~10 严重拥堵. 早高峰时段,从北京市交通指挥中心随机选取了四环以内的 50 个交通路段,依据其交通指数数据绘制的直 方图如右图. (Ⅰ)这 50 个路段为中度拥堵 (Ⅱ)据此估计,早高峰四环以 0.24 有一个是严重拥堵的概率是多 0.2 0.16 0.1 频率 组距 的有多少个? 内 的 三 个 路 段 至少 少?

3

4

5

6

7

8

9 交通指数

(III)某人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟,基本畅通为 30 分钟,轻度拥堵为 36 分钟;中度拥堵为 42 分钟;严重拥堵为 60 分钟,求此人所用时间的数学期望.

16. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小题满分 13 分) 某

地区举办了一次数学知识应用竞赛.有近万名学生参加,为了分析竞赛情况,在参赛学生中随机抽取了 40 名学生的成绩,并根据他们的成绩制作了频率分布直方图(如图所示) . (1) 试估计这 40 名学生成绩的众数; (2) 试估计这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的人数; (3) 从参加活动的学生中任取 5 人,求这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90? 之间的概率.

频率 组距
0.050 0.045 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 60 65 70 75 80 85 90 95 100 分数

17. (北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理)试题 )甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1

个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,现在从这两个箱子里各随机摸出2个球,求 (Ⅰ)摸出3个白球的概率; (Ⅱ)摸出至少两个白球的概率; (Ⅲ)若将摸出至少两个白球记为 1 分,则一个人有放回地摸 2 次,求得分 X 的分布列及数学期望。

18. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)生产 A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:

指标大于或等于 82 为正品, 小于 82 为次品.现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下:

测试指

[70,76)
标 元件 A 元件 B

[76,82)
12

[82,88)
40 40

[88,94)
32 29

[94,100]
8

8

7

18

6

(Ⅰ)试分别估计元件 A,元件 B 为正品的概率; (Ⅱ)生产一件元件 A,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元 .在(Ⅰ)的前提下, (ⅰ)记 X 为生产 1 件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ⅱ)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

19. (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每 )

次命中的概率为

3 2 ,每命中一次得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 2 分,没 4 3

有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (I)求该射手恰好命中两次的概率; (II)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX ; (III)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率.
20. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试





题 ) 某工厂甲、 乙

两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带上每隔 品,称其重量(单位:克)是否合格,分别记录抽查数 茎叶图(如右). (Ⅰ)根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量 说明哪个车间的产品的重量相对稳定;

2 12 4 4311 11 025 7 10 89

一小时抽一包产 据,获得重量数据

的均值与方差,并

(Ⅱ)若从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,求所抽取两件样品重量之差不超过 2 克的概率.

21. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)为了解甲、乙两厂的产品的质

量,从两厂生产的产品中随机抽取各 10 件,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的 茎叶图:

甲厂 9 0

乙厂

3

9

6

5 8

1

8

45 6 9 0 3

1

50

3 2

1

0 3

规定:当产品中的此种元素含量满足≥18 毫克时,该产品为优等品. (Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率; (Ⅱ)从乙厂抽出的上述 10 件产品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件产品中优等品数 ? 的分布列及其数学 期望 E (? ) ; (Ⅲ)从上述样品中,各随机抽取 3 件,逐一选取,取后有放回,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的 概率.

22.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校 (

学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示) 解决下列问题: 频率分布表
频率分布直方图 频率 组距
0.040

组别

分组 [50 , 60) [60 , 70) [70 , 80) [80 , 90)

频 数 8

频率

x



第1组

0.16


第2组

a



0.008 y 50 60 70 80 90 100

第3组

20

0.40

成绩(分)

第4组



0.08

第5组

[90 , 100] 合计

2 ▓

b


(Ⅰ)写出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含

80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组 的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 ? 表示所抽取的 2 名同学中来自第 5 组的人数,求 ? 的分布列及其数学期望.

23.【解析】北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租 (

情况,现随机抽取了这两种车型各 100 辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 出租 天数 车辆 数 B 型车 出租 天数 车辆 数 1 14 2 20 3 20 4 16 5 15 6 10 7 5 1 5 2 1 0 3 3 0 4 3 5 5 1 5 6 3 7 2

(I)从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是 A 型车的概率; (Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概 率; (Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从 A,B 两种车型中购买一辆,请你根据 所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.

24.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )甲、乙、丙三人独立破译同一份密码,已 (

知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为 、 、p, 且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破

1 1 2 3

译出密码的概率为

1 . 4

(Ⅰ)求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率; (Ⅱ)求 p 的值; (Ⅲ)设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX .

25. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) (本小题满分 13 分)在某校组织的一次篮球定点投

篮测试中,规定每人最多投 3 次,每次投篮的结果相互独立.在 A 处每投进一球得 3 分,在 B 处每投进一球 .. 得 2 分,否则得 0 分. 将学生得分逐次累加并用 ? 表示,如果 ? 的值不低于 3 分就认为通过测试,立即停止 .... 投篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种:方案 1:先在 A 处投一球,以后都在 B 处 投;方案 2:都在 B 处投篮.甲同学在 A 处投篮的命中率为 0.5 ,在 B 处投篮的命中率为 0.8 . (Ⅰ) 甲同学选择方案 1. ① 求甲同学测试结束后所得总分等于 4 的概率; ② 求甲同学测试结束后所得总分 ? 的分布列和数学期望 E? ; (Ⅱ)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:概率参考答案 一、选择题 1.

C 2. A
3.

【答案】B

解:将正整数 1, 2,3, 4,5,6,7 随机分成两组,使得每组至少有一个数则有
1 2 3 4 5 6 C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? C7 ? 27 ? 2 ? 126 种,因为 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 28 ,所以要使两组中各数之

和相,则有各组数字之和为 14.则有 7 ? 6 ? 1 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ; 7 ? 5 ? 2 ? 6 ? 4 ? 3 ? 1 ;

7 ? 4 ? 3 ? 6 ? 5 ? 2 ?1; 7 ? 4 ? 2 ?1 ? 6 ? 5 ? 3 ; 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 7 ? 6 ?1; 6 ? 4 ? 3 ?1 ? 7 ? 5 ? 2 ; 8 4 6 ? 5 ? 2 ? 1 ? 7 ? 4 ? 3 ; ? 5 ? 3 ? 7 ? 4 ? 2 ? 1 共 8 种, 两组中各数之和相等的概率是 6 ? 所以 , 126 63

选 B.
4.

【答案】C 解:从袋中任取 2 个球,恰有一个红球的概率 P ?
1 1 C2C2 4 2 ? ? ,选 C. 2 C4 6 3

5.

【答案】D 解:不等式对应的区域为三角形 DEF,当点 D 在线段 BC 上时,点 D 到直线 y +2=0 的距离等于 2,所以要使点 D 到 直 线 的 距 离 大 于 2 , 则 点 D 应 在 三 角 形 BCF 中 。 各 点 的 坐 标 为

BC B(?2,,C (4,,D(?6, 2),E(4, 2),F (4, ,所以 DE ? 10,EF ? 5, ? 6, 0) 0) ? ? 3)

S CF ? 3 , 根 据 几 何 概 型 可 知 所 求 概 率 为 P ? ?BCF S?DEF

1 ? 6?3 9 2 ? ? , 选 1 ?10 ? 5 25 2

D.

二、填空题 6.

5 3

7.

1 2
解: (Ⅰ)5 名学生数学成绩的平均分为: (89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 ) ? 93 5 名学生数学成绩的方差为:

三、解答题 8.

1 5

1 [(89 ? 93) 2 ? (91 ? 93) 2 ? (93 ? 93) 2 ? (95 ? 93) 2 ? (97 ? 93) 2 ] ? 8 5 1 5 名学生物理成绩的平均分为: (87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93) ? 90 5
5 名学生物理成绩的方差为:

1 24 [(87 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (92 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ] ? 5 5
因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大,所以,估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定. (Ⅱ)由题意可知, X ? 0 , 1 , 2

P( X ? 0) ?

0 2 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

P( X ? 1) ?

1 1 C2 ? C2 2 ? 2 C4 3

P( X ? 2) ?

2 0 C2 ? C2 1 ? 2 C4 6

随机变量 X 的分布列是 X P ( X ) 0 1 2

1 6

2 3

1 6

1 2 1 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 3 6
9.

解: (Ⅰ)设“甲和乙都不获奖”为事件 A ,

????????????1 分

则 P(A)=

2 1 1 C4 C2 C2 1 ? 1? 1 ? , 2 C6 C4 C4 10

答:甲和乙都不获奖的概率为

1 . ??????????????5 分 10

(Ⅱ)X 的所有可能的取值为 0,400,600,1000,?????????????6 分 P(X=0)=

3 C2 3 1 1 C2 1 3 1 , P(X=400)= 5 ? ? ? , P(X=600)= 5 ? ? ? , 2 2 8 C6 4 4 8 C6 4 4 8
1 C5 C52 1 1 3 ? 2 ? ? ? , ????????????????10 分 2 C6 C6 4 4 8

P(X=1000)=

∴X 的分布列为 X P 0 400 600 1000

3 8

1 8

1 8

3 8
?????11 分

∴E(X)=0×

3 1 1 3 +400× +600× +1000× =500(元). 8 8 8 8
??????????13 分

答: 甲获奖的金额的均值为 500(元).

10.解: (I)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人,

所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人??????1 分 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ??????3 分
(II) 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为

1 ? (40 ? 0.2) ? 2 ? (40 ? 0.1) ? 3 ? (40 ? 0.375) ? 4 ? (40 ? 0.25) ? 5 ? (40 ? 0.075) ? 2.9 40
??????7 分 (Ⅲ)设两人成绩之和为 ? ,则 ? 的值可以为 16,17,18,19,20??????8 分

P(? ? 16) ?

2 C6 15 ? , 2 C10 45 1 1 2 C6C2 C2 13 ? 2 ? , 2 C10 C10 45

P(? ? 17) ?

1 1 C6C2 12 ? 2 C10 45 1 1 C2C2 4 ? 2 C10 45

P(? ? 18) ?

P(? ? 19) ?

P(? ? 20) ?

2 C2 1 ? 2 C10 45

所以 ? 的分布列为

X P

16

17

18

19

20

15 45

12 45

13 45

4 45

1 45

??????11 分 所以 Eξ ? 16 ?

15 12 13 4 1 86 ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 45 45 45 45 45 5 86 ??????13 分 5
???2 分

所以 ? 的数学期望为

11.解: (Ⅰ)甲城市空气质量总体较好.

(Ⅱ)甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天,任取 1 天,空气质量类别为优或良的概率为

10 2 ? , 15 3

???4 分

乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天,任取 1 天,空气质量类别为优或良的概率为 ???6 分 在 15 天内任取 1 天,估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为

5 1 ? , 15 3

2 1 2 ? ? . 3 3 9
???8 分

(Ⅲ) X 的取值为 0,1,2 ,

???9 分

P( X ? 0) ?

2 C50 C10 3 C 2C 0 C 1C 1 10 2 ? , P( X ? 1) ? 5 2 10 ? , P( X ? 0) ? 5 2 10 ? 2 C15 21 7 21 C15 C15

X 的分布列为:
X P

0
3 7

2

12. (Ⅰ)解:依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 (3 ? 5) : (2 ? 2) ? 2 :1 ,????1 分

10 21 3 10 2 2 数学期望 EX ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 7 21 21 3

2 21
???13 分

所以,从甲组抽取的学生人数为

2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 .?2 分 3 3
??3 分

设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 则 P( A) ?

C1 ? C1 15 3 5 , ? 2 C8 28
15 . 28
????5 分 ???6 分

故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 (Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,1, 2,3 .

P( X ? 0) ?

2 C5 ? C1 5 2 , ? 2 1 C8 ? C4 28

P( X ? 1) ?

2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 ? 2 1 ? , 2 C8 ? C1 C8 ? C4 56 4 2 C3 ? C1 3 2 P( X ? 3) ? 2 1 ? .?????10 分 C8 ? C4 56

2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 P( X ? 2) ? 2 1 ? 3 2 5 1 2 ? , C8 ? C4 C8 ? C4 28

所以,随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

5 28

25 56

9 28

3 56
??????11 分

EX ? 0 ?

5 25 9 3 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 28 56 28 56 4

??????13 分

13. (Ⅰ)由题意可知所得奖品个数最大为 10,概率为:

p?

2 A2 1 ? . 2 A6 15

(Ⅱ) X 的可能取值是: 0, 2, 4,6,8,10 .

1 1 1 4 5 5 5 15 1 1 1 4 1 1 ?4. 所以 EX ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 8 ? ? 10 ? 5 5 5 15 15 15

X p

0

2

4

6

8

10

1 15

1 15

14. (Ⅰ)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天

记“从 15 天的 PM 2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件 A
1 C4 ? 11 44 C2 则 P( A) ? ? 3 C15 91

??????????????3 分

(Ⅱ) ? 的可能值为 0,1, 2,3 ,

????????4 分

P(? ? 0) ?

3 C50C10 24 ? 3 C15 91

P(? ? 1) ?

1 2 C5C10 45 ? 3 C15 91

P(? ? 2) ?

1 C52C10 20 ? 3 C15 91

P(? ? 3) ?

3 0 C5 C10 2 ? 3 C15 91

?????????????????8 分 所以 ? 的分布列为

?

P

0 24 91

1 45 91

2 20 91

3 2 91

?????????????9 分

E? ?

24 45 20 3 ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 1 91 91 91 91

????????????10 分

(Ⅲ) 15 天的空气质量达到一级或二级的频率为

10 2 ? 15 3

??????11 分

2 1 365 ? ? 243 , 3 3
所以估计一年中有 243 天的空气质量达到一级或二级. ?????? 13 分 (说明:答 243 天,244 天不扣分)
15.解: (Ⅰ) (0.2 ? 0.16) ?1? 50 ? 18

1 3

这 50 路段为中度拥堵的有 18 个. (Ⅱ)设事件 A “一个路段严重拥堵” ,则 P( A) ? 0.1

???????????3 分

事件 B “至少一个路段严重拥堵” ,则 P( B) ? (1 ? P( A))3 ? 0.729

P(B) ? 1 ? P(B) ? 0.271
所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是 0.271 ?????8 分 (III)分布列如下表:

X P

30 0.1

36 0.44

42 0.36

60 0.1

EX ? 39.96
此人经过该路段所用时间的数学期望是 39.96 分钟.???????????13 分
16.解:(1) 77.5;

???????????????3 分 (2) 所求为:直线 x ? 72 与直线 x ? 84 之间的直方图的面积 ? 40 , 因此, (3 ? 0.035? 5 ? 0.045? 4 ? 0.040) ? 40 ? 19.6 ?????????7 分 ?????8 分

答:这 40 名学生的成绩在 ?72,84? 之间的有 20 人. (答 19 人也算对)

(3) 设这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90?之间为事件 A , 因为 (0.04 ? 0.02) ? 5 ? 0.3 ??????????????10 分
3

?3? 所以 P( A) ? C ? ? ? 10 ?
2 5

2

?7? ? ? ? 0.3087 ? 10 ?

??????????????12 分

答:这 5 人中恰有 2 人的成绩在 ?80, 90?之间的概率为 0.3087.
17.解: (I)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件

???13 分

Ai ? (i ? 0,1, 2,3), 则

P( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? 2 ? . C52 C3 5

………………..3 分

(Ⅱ) 设“至少两个白球”为事件 B,则
2 1 1 2 C C 2 CC3CCC21 C1 1 P( A2 ) ? 32 ? 22 ?2 222 2 ? 2 ? , ? ? 2 C5 C3C5 C35 C2 2 C 3

B ? A2 ? A3 ,又

1

1

1

且 A2,A3 互斥,所以

P( B) ? P( A2 ) ? P ( A3 ) ?

1 1 7 ? ? . 2 5 10 ………………..6 分

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2.

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 49 P( X ? 2) ? ( ) 2 ? . 10 100 P( X ? 0) ? (1 ?
所以 X 的分布列是 X P 0 1 2

9 100
E( X ) ? 0 ?

21 50

49 100
………………..13 分 ??????1 分 ??????2 分 ??????3 分

X 的数学期望

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

18. (Ⅰ)解:元件 A 为正品的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 ? . 元件 B 为正品的概率约为 100 4
(Ⅱ)解: (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 .

4 3 3 P ( X ? 90) ? ? ? ; 5 4 5 4 1 1 P ( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 3 3 P( X ? 45) ? ? ? ; 5 4 20 1 1 1 P( X ? ?15) ? ? ? . 5 4 20

??????7 分

X
P

90

45

30

?15

3 5

3 20

1 5

1 20

??????8 分

3 3 1 1 EX ? 90 ? ? 45 ? ? 30 ? ? (?15) ? ? 66 . 5 20 5 20
(ⅱ)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件. 依题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 , 所以 n ? 4 ,或 n ? 5 . 设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 A , 则 P ( A) ? C5 ( ) ?
4 4

??????9 分

解得 n ?

19 . 6
??????11 分

3 4

1 3 5 81 ?( ) ? . 4 4 128

??????13 分

19.解:(I)记:“该射手恰好命中两次”为事件 A ,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件 B ,“该射手第二次射

击甲靶命中”为事件 C ,“该射手射击乙靶命中”为事件 D . 由题意知, P ?B ? ? P ?C ? ?

所以 P? A? ? P BC D ? P BC D ? P BCD

?

? ?

3 2 , P ?D ? ? , 4 3

? ?

?

? P?B ?P?C ?P D ? P?B ?P C P?D ? ? P B P?C ?P?D ?

? ?

??

??

?

3 3 ? 2? 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3

?

7 16

(II)根据题意, X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.

3? ? 3? ? 2? 1 ? , P ? X ? 0 ? ? P B C D ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 4? ? 4? ? 3 ? 48 ?

?

?

P? X ? 1? ? P BC D ? P BC D ?

?

? ?

?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3?

?

1 . 8

P? X ? 2 ? ? P BC D ? P BC D ? P? X ? 3? ? P BC D ? P BCD ?

?

? ?

?

3 3 ? 2? ? 3? ? 3 ? 2 11 , ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 4 4 ? 3? ? 4? ? 4 ? 3 48 3 ? 3? 2 ? 3? 3 2 1 ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , 4 ? 4? 3 ? 4? 4 3 4

?

? ?

?

P? X ? 4 ? ? P?BCD ? ?
故 X 的分布列是

3 3 2 3 ? ? ? , 4 4 3 8

X

0

1

2

3

4

P

1 48

1 8

11 48

1 4

3 8

所以 EX ? 0 ?

1 1 11 1 3 17 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 48 8 48 4 8 6

(III)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件 A1 ,“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶 射 击 未 命 中 ” 为 事 件 B1 ,“ 该 射 手 向 甲 靶 射 击 命 中 2 次 且 向 乙 靶 射 击 命 中 ” 为 事 件 B2 , 则

A1 ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件. P? A1 ? ? P?B1 ? ? P?B2 ?
?
?

3 ? 3? ? 2? ? 3? 3 ? 2? 3 3 2 ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 4 ? 4? ? 3? ? 4? 4 ? 3? 4 4 3
1 . 2 1 2
2 2

所以,该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为

20.解: (Ⅰ)设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 X 甲 、 X 乙 ,方差分别为 s甲 、 s乙 ,



X甲 ?

122 ? 114 ? 113 ? 111 ? 111 ? 107 ? 113 , 6 124 ? 110 ? 112 ? 115 ? 108 ? 109 X乙 ? ? 113 , 6

????????1 分 ????????2 分

2 s甲 ?

1? 2 2 2 122 ? 113? ? ?114 ? 113? ? ?113 ? 113? ?? 6

2 2 2 ? ?111 ? 113? ? ?111 ? 113? ? ?107 ? 113? ? ?

? 21 ,
1 2 2 2 2 s乙 ? ??124 ? 113? ? ?110 ? 113? ? ?112 ? 113? ? 6
2 2 2 ? ?115 ? 113? ? ?108 ? 113? ? ?109 ? 113? ? ?

????????4 分

? 29.33 ,

????????6 分

2 2 由于 s甲 ? s乙 ,所以 甲车间的产品的重量相对稳定;????????7 分

(Ⅱ)从乙车间6件样品中随机抽取两件,结果共有 15 个:

?124,110? , ?124,112?, ?124,115?, ?124,108?, ?124,109?, ?110,112? , ?110,115?, ?110,108?, ?110,109?, ?112,115?, ?112,108? , ?112,109? , ?115,108?, ?115,109?, ?108,109? ?110,112? , ?110,108? , ?110,109? , ?108,109? .
所以 .??????9 分

设所抽取两件样品重量之差不超过2克的事件为 A,则事件 A 共有 4 个结果: ??????11 分 ??????13 分

P ? A? ?

4 . 15

21.解: (I)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为

6 3 ? . 10 5

乙厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为 (II) ? 的取值为 0,1,2,3.

5 1 ? . ??????..2 分 10 2

3 1 C50 ? C5 C5 ? C52 5 1 P(? ? 0) ? ? , P(? ? 1) ? ? , 3 3 C10 12 C10 12

P(? ? 2) ?

1 3 C52 ? C5 5 C5 1 ? , P(? ? 3) ? 3 ? 3 C10 12 C10 12

所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P

1 12

5 12

5 12

1 12

E ? 故 ?的数学期望为(?) 0 ?

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2 ????????9 分

(III) 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取的优等品数甲厂 2 件,乙厂 0 件”, B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙厂 1 件”

3 2 1 1 27 P( A) ? C32 ( ) 2 ( ) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 2 2 500 3 3 11 1 2 81 3 1 P( B) ? C3 ( ) ? C3 ( ) ( ) ? 5 2 2 1000
抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件的概率为 P( A) ? P( B) ?

27 81 27 ? ? . ?13 分 500 1000 200

22.解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . ??????4 分

(Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人. 从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有
2 C6 ? 15 种情况.

????????????????????????6 分

设事件 A :随机抽取的 2 名同学来自同一组,则

P( A) ?

2 2 C4 ? C2 7 ? . 2 C6 15

所以,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是

7 . ??????????8 分 15

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,则

P(? ? 0) ?

2 C4 C1C1 8 C2 1 6 2 ? ? , P(? ? 1) ? 4 2 2 ? , P(? ? 2) ? 2 ? . 2 2 C6 15 5 C6 15 C6 15

所以, ? 的分布列为

?
P

0

1

2

2 5

8 15

1 15

????????????????12 分

所以, E? ? 0 ?

2 8 1 2 ? 1? ? 2 ? ? . ??????????????13 分 5 15 15 3

23.解: (I)这辆汽车是 A 型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数 30 ? ? 0.6 出租天数为3天的A,B型车辆数总和 30 ? 20
这辆汽车是 A 型车的概率为 0.6 (II)设“事件 Ai 表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为 i 天” , “事件 B j 表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为 j 天” ,其中 i, j ? 1,2,3,...,7 则该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 ??????3 分

P( A1B3 ? A2 B2 ? A3B1 ) ? P( A1B3 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A3B1 ) ? P( A1 ) P( B3 ) ? P( A2 )P( B2 ) ? P( A3 )P( B1 )
5 20 10 20 30 14 ? ? ? ? ? 100 100 100 100 100 100 9 ? 125 ?

??????5 分 ??????7 分

该公司一辆 A 型车,一辆 B 型车一周内合计出租天数恰好为 4 天的概率为 ??????9 分 (Ⅲ)设 X 为 A 型车出租的天数,则 X 的分布列为

9 125

X
P

1 0.05

2 0.10

3 0.3 0

4 0.3 5

5 0.15

6 0.03

7 0.02

设 Y 为 B 型车出租的天数,则 Y 的分布列为

Y
P

1 0.14

2
0.20

3
0.2 0

4 0.1 6

5 0.15

6 0.10

7

[Y.COM/]

0.05

E ( X ) ? 1 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 3 ? 0.30 ? 4 ? 0.35 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.03 ? 7 ? 0.02 =3.62

E (Y ) ? 1 ? 0.14 ? 2 ? 0.20 ? 3 ? 0.20 ? 4 ? 0.16 ? 5 ? 0.15 ? 6 ? 0.10 ? 7 ? 0.05
???12 分 一辆 A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为 3.62 天, 类车型一个星期出租天数的平均值为 3.48 天. B 从出租天数的数据来看,A 型车出租天数的方差小于 B 型车出租天数的方差,综合分析,选择 A 类型的出租

=3.48

车更加合理 .

??????13 分

24.记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,依题意有

1 1 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? p, 且 A1 , A2 , A3 相互独立. 2 3
(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

1 2 2 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 1 ? ? ? . 2 3 3
(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 B ,则有

???????3 分

1 2 1? p , P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? (1 ? p ) ? 2 3 3 1 1? p 1 ? ,p? . 所以 4 3 4
(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1,2,3 . 所以 P ( X ? 0) ?

???????5 分 ????????7 分 ????????8 分

1 , 4

P( X ? 1) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
? 1 1 1 3 1 2 1 11 ? ? ? ? ? ? ? , 4 2 3 4 2 3 4 24

P( X ? 2) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 )
1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 1 1 1 1 P( X ? 3) = P ( A1 ? A2 ? A3 ) = ? ? ? . 2 3 4 24 X 分布列为: 0 X 1 P 4
????????12 分 所以, E ( X ) ? 0 ?

????????11 分

1 11 24

2 1 4

3 1 24

1 11 1 1 13 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 4 24 4 24 12

??????13 分

25. (Ⅰ)在 A 处投篮命中记作 A ,不中记作 A ;在 B 处投篮命中记作 B ,不中记作 B ;

① 甲同学测试结束后所得总分为 4 可记作事件 ABB ,则

P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
② ? 的所有可能取值为 0, 2,3, 4 ,则

??????2 分

P(? ? 0) ? P( ABB ) ? P ( A) P ( B ) P ( B ) ? 0.5 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.02
P(? ? 2) ? P( ABB ) ? P( ABB ) ? P( A) P(B) P( B ) ? P( A) P( B ) P(B)
? 0.5 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.5 ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.16

P(? ? 3) ? P(A) ? 0.5
P(? ? 4) ? P( ABB) ? P( A) P(B) P(B) ? 0.5 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.32
??????6 分

? 的分布列为:
?
0 0.02 2 0.16 3 0.5 4 0.32

P

??????7 分

E? ? 0 ? 0.02 ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.5 ? 4 ? 0.32 ? 3.1 ,

??????9 分

(Ⅱ)甲同学选择方案 1 通过测试的概率为 P ,选择方案 2 通过测试的概率为 P2 , 1

P ? P(? ? 3) ? 0.5 ? 0.32 ? 0.82 1 P2 ? P( BBB) ? P( BBB) ? P( BB) = 2 ? 0.8 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.896
因为 P2 ? P 1 所以 甲同学应选择方案 2 通过测试的概率更大 ??????13 分



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