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2015等比数列前n项和教案(公开课)


课程名称

§2.5 等比数列的前 n 项和
1 课时 授课时间 2015 年 9 月 18 日

授课课时

教学目标

知识与技能目标:
1.理解并掌握等比数列前 n 项和公式 的推导过程、公式的特点; 2.掌握并理解“错位相减法”的解题思想; 3.能应用公式解决与之有关的简单问题;

过程与方法目标:
1. 通过启发、引导、分析、类比、归纳,培养学生解决问题的能力; 2.从探求公式的过程,培养学生建模意识,提高探究问题的能力;

情感态度与价值观:
1.通过生活中有趣的实例,鼓励学生积极思考,激发学生对知识的探究精神和严 肃认真的科学态度,培养学生的类比、归纳的能力; 2.在探究活动中学会思考,学会解决问题的方法; 3.通过对有关实际问题的解决,体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习 的兴趣.

教学重点

1.等比数列前 n 项和公式的推导; 2.等比数列前 n 项和公式的简单应用。

教学难点

错位相减法推导等比数列前 n 项和公式。

教学方法

以多媒体辅助教学,引导学生分析求解,师生合作,师生互动。

1

教 学 过 程
教学环节 一、 创设情境 教学内容 教师活动 学生活动 聆听 故事,对 故事结果 提 出 质 疑.

国际象棋起源于古代印度, 相传国王要 讲述棋盘上 奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么,发 的数学故事, 激发 明者说“在棋盘第一格放 1 粒小麦,第二格 学生的学习兴趣. 放 2 粒,第三格放 4 粒,依次类推,每个格 子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦 粒数的 2 倍,直到第 64 格。 ”国王不假思索 欣然答应,请问国王能否满足发明者的要 求? 提出问题:发明者需要多少小麦?

二、 问题探究

围 绕 教 学 重 思考讨论 点抛出核心问题, 以问题开启学生 智慧。 设置递进问 发现 题 . 协助学生找到 棋 盘 里 的 问题, 引导学生分 麦 粒 数 是 析该数列的特点. 一 个 公 比 为 2 的等 比数列. 引导学生发 发 现 理 现 “错位相减法” , 解、欣 赏 错位相 减 讲授计算过程. 法.

1. 问题一

问题一:棋盘格子里的麦粒数分别是多 少?

1,21 ,2 2 ,23 ,?,263
2. 问题二 问题二: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 =?
1 2 63

S64 ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ?? 263



2S 64 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 ②
由①-②得:S 64

? 2 64 ?1 ? 1.845?1019
学生课后 做“称小 麦,数小 麦”实验. 学生活动

3. 问题三

利用高中学 问题三: 如何换算 1.845?1019 粒的计量 单位? 生好动的特点,安 排学生课后做“称 小麦,数小麦”实 验. 教学内容 教师活动

教学环节

2

4. 解决问题

如果 1000 粒麦粒重为 40 克,那么这些

诠释 7077 亿吨,

麦粒的总质量就是 7300 多亿吨.根据统计 开阔学生视野. 资料显示,全世界小麦的年产量约为 6 亿 吨,就是说全世界都要 1000 多年才能生产 这么多小麦, 国王无论如何是不能实现发明 者的要求的.

享受劳 动成果, 激 发学习热 情

三、 课题研究 1. 反思问题

反 思 公 比 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 的计算过程。
1 2 3

63

S64 ? 1 ? 21 ? 22 ? 23 ? ?? 263



引导学生反思: 为什么①式两边乘 以 2?②式产生的必 要性是什么?

反思

2S 64 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 263 ? 264 ②
64 19 由①-② :S 64 ? 2 ?1 ? 1.845?10 得

2. 提出课题

如何计算公比为 q 的等比数列前 n 项 和?即 a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 n?1

水到渠成提出课题

思考讨论

??

3. 类比建模

类比建立计算模型:

S64 ? 1? 21 ? 22 ? 23 ??? 263
相 减



2S64 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
1 2 3 63

64



由①-② :S ? 264 ?1 64 得 类 建 比 模

参与构 计算模型, 师生共同 建 计 算 模 【由于前 板 演 模 型 的 生 成 过 型. 期做了大量 程. 的铺设工 作,学生很 容易构建计 算模型】 引导学生建立

sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? ? ? a1qn?1
相 减



qsn ?
得:

a1q ? a1q2 ? ? ? ? ? a1qn?1 ? a1qn
(1? q) ? Sn ? a1 ? a1qn
教学内容



由①-②

教学环节

教师活动

学生活动
3

4. 推导公式

(1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
( 1)当 q ? 1 时, S n ? na 1; ( 2)当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? an ? q ? 1? q 1? q

引导学生对 对 q 进 行 分类讨论 q 进行文类讨 参与公式的 论, 推导公式. 推导.

公式特点:区别 q ? 1和q ? 1两种情况;当

q ? 1 时,若已知 a1 , q, n 用公式①求和;若
已知 a1 , q, an 用公式②求和. 等比数列的前 n 项和公式的推导 2 等比数列的前 n 项和公式的推导 3 教师提示,引 知识拓展, 导学生探究 公 式 的 其 它 提升思维。 推导方法。 参 与 小 组 讨 小组讨论, 论,作出评价 尝试解答, 分析,明示结 听 取 教 师 果. 点评.

5? ( 1 ? 1n ) ? 5? ?? 5? ? ? 5? ?0 公式应用 (1) 5 ? ? ? ? ? 1?1 n个
1? (1 ? 2 n ) n ?1 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? ? ? ( ? 2 ) ? 基础应用 (2) 1 ? (?2)
1.

四、

例 1 是非判断题 :

1? (1 ? 2 n ) (3) 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1? 2
1 2 3 n

例 2 求下列等比数列中前 8 项的和: (1)已知

1 1 1 , , ? 2 4 8
1 , q ? 0. 243

学生口述,教 小组合作, 师 板 演 解 题 尝试解决. 过程.

(2)已知 a1 ? 27, a9 ? 【课堂练习】

及时巩 固, 灵活运 根据下列各题中的条件,求相应的等比数 演,教师巡视 用公式。 列的前 n 项和 指导,及时点 评学生的解题 (1) a1 ? 3, q ? 2, n ? 6 ; 过程. 学生板 (2) a1 ? ?2.7, q ? ? , a n ? 教学环节
1 3 1 . 90

教学内容

教师活动

学生活动

4

2. 拓展应用

例 3 求和
a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n?1 ? a n

巡 视 指 感性判 导, 参与讨论, 理 性 分 及时评价,规 小 组 合 尝试解 范解题步骤. 最后听 师讲解. 引导学生 回顾本节课所 学内容。将新 知识纳入知识 体系中,用多 媒体展示出全 新知识体系.

断 析 作 决 教

五、 课堂小结

等比数列前n项和公式

? na1

q ?1
q ?1

Sn ?

a1 (1 ? q n ) ? 1? q

回 顾 本节课所 学内容,完 善构建知 识体系。

a1 ? an q 强调:①注意分类讨论的思想! ?
等比数列求和时必须弄清 q=1 还是 q≠1.② 运用方程的思想,五个量 “知三求二”. 2. 公式的推导方法: 错位相减法 (重在过程)

1? q

q ?1

六、 布置作业

1.阅读教材 P.55 到 P.58; 2.必做题 P61------1,2, 3 选做题 P61 页------4 探究题 P61 页------5

布置作业

记录作业

板书设计

等比数列 前 n 项和公式

§2.5 等比数列前 n 项和公式 公式推导 课堂练习 例题讲解

5


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