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2018届高三数学(理)一轮复习考点规范练:第八章 立体几何44 Word版含解析

考点规范练 44 立体几何中的向量方法 基础巩固 1.直线 l 的方向向量 s=(-1,1,1),平面 α 的法向量为 n=(2,x2+x,-x),若直线 l∥平面 α,则 x 的值为( ) A.-2 B.- C. D.± 2.已知平面 α 的一个法向量为 n=(1,-,0),则 y 轴与平面 α 所成的角的大小 为( ) A. B. C. D. 3. 如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,以 CD,CB,CE 所在 直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M 在 EF 上,且 AM ∥平面 BDE,则 M 点的坐标为( ) A.(1,1,1) B. C. D. 4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上,且,N 为 B1B 的中点,则||为( ) A.a B.a C.a D.a 5. 如图,过正方形 ABCD 的顶点 A,作 PA⊥平面 ABCD.若 PA=BA,则平面 ABP 和平面 CDP 所成的二面角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的 正弦值为( ) A. B. C. D. 7.如图,在正四棱锥 S-ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 . 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,且 =(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).对于结论: ①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面 ABCD 的法向量;④.其中正确的 是 .(填序号) 9. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形, 侧面 PAD⊥底面 ABCD,M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 .(填序号) 10. (2016 全国乙卷,理 18)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°. (1)证明:平面 ABEF⊥平面 EFDC; (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值. ?导学号 37270484? 能力提升 11. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别在 A1D,AC 上,且 A1E=A1D,AF=AC,则( ) A.EF 至多与 A1D,AC 之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 12. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为线段 BD 的中点.设点 P 在线 段 CC1 上,直线 OP 与平面 A1BD 所成的角为 α,则 sin α 的取值范围是( ) A. B. C. D. ?导学号 37270486? 13. 如图,等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB,二面角 C-AB-D 的余弦值为,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 EM,AN 所成角的余弦值等 于 . ?导学号 37270487? 14. 如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上除 A,B 外的一个动点,DC 垂直 于半圆 O 所在的平面,DC∥EB,DC=EB,AB=4,tan∠EAB=. (1)证明:平面 ADE⊥平面 ACD; (2)当三棱锥 C-ADE 体积最大时,求二面角 D-AE-B 的余弦值. ?导学号 37270488? 高考预测 15. 如图,在四棱锥 A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点. (1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角 F-AE-B 的余弦值; (3)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值. ?导学号 37270489? 参考答案 考点规范练 44 立体几何中 的向量方法 1.D 解析 当线面平行时,直线的方向向量垂直于平面的法向量,故 -1× 2+1× (x2+x)+1× (-x)=0,解得 x=± 2.B 为 θ, 解析 可知 y 轴的方向向量为 m=(0,1,0),设 y 轴与平面 α 所成的角 则 sin θ=|cos<m,n>|, ∵cos<m,n>==-, ∴sin θ=, ∴θ= 3.C 解析 设 M(x,x,1).由已知得 A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),则 =(x-,x-,1),=(,-,0),=(0,-,1). 设平面 BDE 的一个法向量为 n=(a,b,c), 则 解得 令 b=1,则 n=(1,1,). 又 AM∥平面 BDE,所以 n=0, 即 2(x-)+=0,得 x= 所以 M 4.A 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N 设 M(x,y,z), ∵点 M 在 AC1 上,且, ∴(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z). ∴x=a,y=,z=, 得M ∴||= =a. 5.B 解析 (方法一)建立如图①所示的空间直角坐标系,不难求出平面 APB 与平面 PCD 的法向量分别为 n1=(0,1,0),n2=(0,1,1),故平面 ABP 与平面 CDP 所成二面角的余弦值为,故所求的二面角的大小是 45°. 图① 图② (方法二)将其补成正方体.如图②,不难发现平面 ABP


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