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2012届高三数学上册第一次月考测试题4


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乌鲁木齐市第一中学 2011—2012 学年高三第一次月考

数学试题(文科)

(考试范围: 集合与简易逻辑、 不等式 (含绝对值不等式) 函数、 、 导数、三角函数及解三角形、数列) 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 l 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和 座位号填写在答题卡上。 2.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答 题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答 案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 (选择题 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.设全集 U=R,集合 A = {x | x 2 ? 2 x < 0} , B = {x | x > 1} ,则集合 A I ?U B= ( )
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A. {x | 0 < x < 1} C. {x | 0 < x < 2} 2.下列函数图象中不正确的是 ... ( )

B. {x | 0 < x ≤ 1} D. {x | x ≤ 1}

3.已知点 P(tan α , cos α ) 在第三象限, 则角 α 的终边在 ( A.第一象限 ) C.第三象限
y = x+

B.第二象限
3

D.第四象限
2 x 中,奇函数的

4.下列三个函数:① y = x + 1 ;② y = sin 3x ;③ 个数是 A.0 ( B.1 ) C.2

D.3

5.给出如下四个命题: ① 若“ p 且 q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题; ② 若 等 差 数 列 {an } 的 前
(10,
S10 S S ), (100, 100 ), (110, 110 ) 共线; 10 100 110

n

项 和 为 Sn , 则 三 点

③ “?x∈R,x2+1≥1”的否定是 “ ? x∈R,x2+1≤1”; ④ 在 ?ABC 中,“ A > B ”是“ sin A > sin B ”的充要条件.
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其中正确的命题的个数是 .. ( A.4 B.3 D.1 6.在等比数列{an}中,a1 = 1 ,公比|q|≠1, am= a1 若 则 m= A.9 ( B.10 ) C.11 D.12
·

) C . 2

a 2 · a3 · a 4 · a5 ,

?x + y ≥ 0 7.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y + 4 ≥ 0 ,则 2 x + y 的最小值是 ? ?x ≤1 ?

( A. ? 3 C. 0

) B D. 1 .
?2

8、三个数 60.7 , 0.7 6 , log 0.7 6 的大小顺序是 ( A. 0.7 6 < log 0.7 6 < 60.7 C. log 0.7 6 < 6 0.7 < 0.7 6 ) B. 0.7 6 < 6 0.7 < log 0.7 6 D. log 0.7 6 < 0.7 6 < 60.7

9.函数 y = ln x ? 6 + 2 x 的零点一定位于的区间是 ( A. (0,1) ) C. (2,3)
π
4

B. (1,2)

D. (3,4)

10.将函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式是 (
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A. y = 2 cos 2 x C. y = 1 + sin(2 x + )
4

B. y = 2sin 2 x
π

D. y = cos 2 x

11.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1 = ?11, a 4 + a6 = ?6, 则当 Sn 取 最小值时,n 等于( A.6 B.7 D.9 12. 利用导数, 可以判断函数 y = x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函 数 A. ( ,
) 2 2 3 5 C. ( π , π ) 2 2

) C.8


π 3π

) B. (π ,2π ) D. (2π ,3π )

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . 函 数 f ( x) = 3x + sin x + 1 ( x ∈ R ) , 若 f (t ) = 2 , 则 f (?t ) 的 值 为
1 4

. .

14.已知 tan α = , 则 cos 2α + sin 2 α 的值为 15.已知 f ( x) = ?

, x≤0 ?cos πx 4 ,则 f ( ) 的值为__________. 3 ? f ( x ? 1) + 1 , x > 0
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16.下列命题:① 设 a , b 是非零实数,若 a < b ,则 ab 2 < a 2b ;② 若
a < b < 0 ,则
y=

1 1 > ; a b
x2 + 3 1 4 + =1 2 +2 x 的最小值是 2;④若 x 、 y 是正数,且 x y ,

③ 函数

则 xy 有最小值 16. 其中正确命题的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. 17. 本小题满分 9 分) ( 设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,
a = 4, c = 13 , sin A = 4sin B .

(1) b 边的长; 求 (2) 求角 C 的大小; (3) 求三角形 ABC 的面积 S 。

18. (本小题满分 16 分)已知右图是函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0) 的部分图象 (1)求函数解析式; 分) (3 (2)当 x ∈ R 时,求该函数图象的对称轴方程和对称中心坐标; (4 分) (3)当 x ∈ R 时,写出 f ( x) 的单调增区间; 分) (3 (4)当 x ∈ R 时,求使 f (x) ≥ 1 成立的 x 的取值集合. 分) (3 (5)当 x ∈ [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 分) (3
12 2

π π

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19.本小题满分 12 分) ( 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S n = (m + 1) ? ma n 且 对于任意的正整数 n 都成立,其中 m 为常数,且 m < ?1 (1)求证:数列 {a n } 是等比数列(4 分) (2) 设数列 {a n } 的公比 q = f (m) , 数列 {bn } 满足:1 = a1 , n = f (bn ?1 ) b b ( n ≥ 2 , n ∈ N ) ,求证:数列 { 的前 n 项和 Tn
1 } 是等差数列,并求数列 {bn bn +1 } bn
1 3

20. 本小题满分 10 分) ( 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足两个关系:①C(x)=
k (0 ≤ x ≤ 10), ②若不建隔热层, 3x + 5

每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20
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年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式; (4 分) (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

. 21. (本小题满分 13 分)设函数 f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0) (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值范 围; (Ⅲ)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f(x)≤1 在 x∈[-2,2]上恒 成立,求 m 的取值范围.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) > 2 的解集; (Ⅱ) ?x ∈ R ,使 f ( x) ≥ t 2 ?
11 t ,求实数 t 的取值范围. 2
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参考答案

第Ⅰ卷 (选择题 60 分) 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求,将正确答案的字母填到下表中) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 A 6 C 7 B 8 D 9 C 10 A 11 A 12 B

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 . 函 数 f ( x) = 3x + sin x + 1 ( x ∈ R ) , 若 f (t ) = 2 , 则 f (?t ) 的 值 为 0 .
1 4

14.已知 tan α = , 则 cos 2α + sin 2 α 的值为 15.已知 f ( x) = ?

16/17



, x≤0 ?cos πx 4 ,则 f ( ) 的值为____1/2______. 3 ? f ( x ? 1) + 1 , x > 0

16.下列命题:① 设 a , b 是非零实数,若 a < b ,则 ab 2 < a 2b ;② 若
a < b < 0 ,则 1 1 > ; a b

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③ 函数

y=

x2 + 3 1 4 + =1 x 2 + 2 的最小值是 2;④若 x , y 是正数,且 x y ,

则 xy 有最小值 16. 其中正确命题的序号是 ② ④ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤. 17. 本小题满分 9 分) ( 设三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,
a = 4, c = 13 , sin A = 4sin B .

(1) b 边的长; 求 (2) 求角 C 的大小; (3) 求三角形 ABC 的面积 S 。 解 : ( 1 ) 依 正 弦 定 理
a b = sin A sin B



b sin A = a sin B …………………………1 分

又 a = 4, sin A = 4sin B , b = 1 ∴ 分 ( 2
cos C =

…………………………3















a 2 + b 2 ? c 2 16 + 1 ? 13 1 = = ………………………5 分 2ab 2 × 4 ×1 2



0° C = 60°



C



180°





…………………………6 分 ) 三 角 形
ABC



3
S=







1 1 ab sin C = × 4 × 1× sin 60° = 3 ………………9 分 2 2

18. (本小题满分 16 分)已知右图是函数 f ( x) = A sin(ω x + ? )( A > 0, ω > 0)
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的部分图象 (1)求函数解析式; 分) (3 (2)当 x ∈ R 时,求该函数图象的对称轴方程和对称中心坐标; (4 分) (3)当 x ∈ R 时,写出 f ( x) 的单调增区间; 分) (3 (4)当 x ∈ R 时,求使 f (x) ≥ 1 成立的 x 的取值集合. 分) (3 (3 (5)当 x ∈ [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 分)
12 2

π π

解: (1)由图象可得: A = 2 ,—————— ————————————————1 分
T = 2(
2π π 2π ? ) =π = ,∴ω = 2 ————3 分 3 6 ω

π

又2

??

ω

=

π
6

, ∴? =

π
6

——————————

——5 分 所以 f ( x) = 2 sin(2 x + ) ——————————6 分 (3)由 2kπ ?
kπ ?

π

π π
2

6

≤ 2x +

π
6

≤ 2 kπ +

π
2

, k ∈ Z 得—8 分

π
3

≤ x ≤ kπ +

6

, k ∈ Z —————————————————

————9 分 所以 f ( x) 的增区间是 [kπ ? , kπ + ], (k ∈ Z ) —————————
3 6

π

π

——10 分 (4)由
f ( x) ≥ 1得 sin( x +

π
6

)≥

1 2 ,……………………10 分
5π ,k ∈ Z, 6
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所以, 2kπ +

π
6

≤ x+

π
6

≤ 2lπ +

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解得: 2kπ ≤ x ≤ 2kπ +

2π ,k ∈ Z 3

所以, f ( x) ≥ 0成立的x 的取值集合 {x | 2kπ ≤ x ≤ 2kπ + 12 分 (5)Q x ∈ [ , ],      2 x + ∈ [ , ∴
π π
12 2

2π , k ∈ Z } …… 3

π π

π

π 7π
3 6

当 2 x + = ,即 x = 时, f ( x) 取得最大值 2;当 2 x +
π
6 2 6
2

π

6

]

π
6

=

7π 6

即 x = 时, f ( x) 取得最小值-1,故 f ( x) 的值域为[-1,2] 19.本小题满分 12 分) ( 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , S n = (m + 1) ? ma n 且 对于任意的正整数 n 都成立,其中 m 为常数,且 m < ?1 (1)求证:数列 {a n } 是等比数列(4 分) 数列 {bn } 满足:1 = a1 , n = f (bn ?1 ) b b (2) 设数列 {a n } 的公比 q = f (m) , ( n ≥ 2 ,n ∈ N ) ,求证:数列 {
1 } 是等差数列,并求数列 {bn bn +1 } 的 bn
1 3

前 n 项和 Tn

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20. 本小题满分 10 分) ( 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑 物每年的能源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足两个关系:①C(x)=
k (0 ≤ x ≤ 10), ②若不建隔热层, 3x + 5

每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式; (4 分) (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

21. (本小题满分 13 分)设函数 f(x)=x3+ax2-a2x+m(a>0) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间;
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(Ⅱ)若函数 f(x)在 x∈[-1,1]内没有极值点,求 a 的取值 范围; (Ⅲ)若对任意的 a∈[3,6],不等式 f(x)≤1 在 x∈[-2,2]上恒 成立,求 m 的取值范围. (x+a), 解: (Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x- a )
3

又 a>0,∴当 x<-a 或 x> a 时 f′(x)>0;
3

当-a<x< a 时,f′(x)<0.
3

∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-a)( a ,+∞) , ,
3

单调递减区间为(-a, a )(4 分) .
3

(Ⅱ)由题设可知,方程 f′(x)=3x2+2ax-a2=0 在[-1,1]上 没有实根 ∴ a>3. 分) (Ⅲ)∵a∈[3,6],∴由(Ⅰ)知 a ∈[1,2],-a≤-3
3 ? f ′(?1) < 0 ? ? f ′(1) < 0 ?a > 0 ?





得 (8

又 x∈[-2,2] ∴f(x)max=max{f(-2),f(2)} 而 f(2)-f(-2)=16-4a2<0 ∴ f ( x ) (10 分) 又∵f(x)≤1 在[-2,2]上恒成立 ∴f(x)max≤1 即-8+4a+2a2+m≤1
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( - 2 ) = - 8+4a+2a2+m

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即 m≤9-4a-2a2,在 a∈[3,6]上恒成立 ∵9-4a-2a2 的最小值为-87 ∴m≤-87. (13 分)

22、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) = 2 x + 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) > 2 的解集; (Ⅱ) ?x ∈ R ,使 f ( x) ≥ t 2 ? 解 : ( 1
11 t ,求实数 t 的取值范围. 2



1 ? ? ? x ? 3, x < ? 2 ? 1 ? f ( x ) = ? 3 x ? 1, ? ≤ x < 2 2 ? x + 3, x ≥ 2 ? ? ?



---------------------------------------------2 分 当 x < ? ,? x ? 3 > 2, x < ?5,∴ x < ?5 当 ? ≤ x < 2,3x ? 1 > 2, x > 1,∴1 < x < 2 当 x ≥ 2, x + 3 > 2, x > ?1,∴ x ≥ 2 综上所述 {x | x > 1或x < ?5} ----------------------5 分
1 2 1 2

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