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【创新方案】2014版高中数学 第二讲 圆的参数方程教学课件 新人教版A版选修4-4


圆的参数方程 (1)在 t 时刻,圆周上某点 M 转过的角度是 θ,点 M 的坐 标是(x,y),那么 θ=ωt(ω 为角速度).设|OM|=r,那么由三
x y 角函数定义,有 cos ωt= r ,sin ωt= r ,即圆心在原点 O,
? x=rcosωt (t 的圆的参数方程为 ? ? ? ?y=rsinωt

半径为 r

为参数).其中参数

t 的物理意义是: 质点做匀速圆周运动的时间 .

(2)若取 θ 为参数,因为 θ=ωt,于是圆心在原点 O,半 径为 r
? ?x=rcos θ 的圆的参数方程为? (θ ? y = r sin θ ?

为参数).其中参数 θ

的几何意义是:OM0(M0 为 t=0 时的位置)绕点 O 转到



时针旋

OM

的位置时,OM0 转过的角度.

(3)若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程 为
? ?x=x0+Rcos θ ? ? ?y=y0+Rsin θ

(0≤θ<2π) .

[例1]

圆(x-r)2+y2=r2(r>0),点M在圆上,O为原点,

以∠MOx=φ为参数,求圆的参数方程. [思路点拨]
[ 解]

根据圆的特点,结合参数方程概念求解.

如图所示,

设圆心为 O′,连 O′M,∵O′为圆心, ∴∠MO′x=2φ.
? ?x=r+rcos ∴? ? ?y=rsin 2φ.

2φ,

(1)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件, 否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成
? ?x=r+rcos ? ? ?y=rsin φ.

φ,

(2)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.

1.已知圆的方程为x2+y2=2x,写出它的参数方程.
解:x2+y2=2x 的标准方程为(x-1)2+y2=1, 设 x-1=cos θ,y=sin θ,则
? ?x=1+cos 参数方程为? ? ?y=sin θ

θ,

(0≤θ<2π).

2.已知点 P(2,0),点 Q

? ?x=cos θ 是圆? ? ?y=sin θ

上一动点,求 PQ 中

点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
解:设中点 M(x,y).则 ? ?x=2+cos θ, 2 ? ? ? 0+sin θ y= , ? 2 ? 1 ? ?x=1+2cos θ, 即? ?y=1sin θ, ? 2

(θ 为参数)

这就是所求的轨迹方程. 1 它是以(1,0)为圆心,以 为半径的圆. 2

[例2]

若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求2x+y的最值. (x-1)2+(y+2)2=4表示圆,可考虑利用圆的

[思路点拨]

参数方程将求2x+y的最值转化为求三角函数最值问题. [解] 令 x-1=2cos θ,y+2=2sin θ,则有
x=2cos θ+1,y=2sin θ-2, 故 2x+y=4cos θ+2+2sin θ-2. =4cos θ+2sin θ=2 5sin(θ+φ). ∴-2 5≤2x+y≤2 5. 即 2x+y 的最大值为 2 5,最小值为-2 5.

圆的参数方程突出了工具性作用,应用时,把圆 上的点的坐标设为参数方程形式,将问题转化为三角

函数问题,利用三角函数知识解决问题.

3. 求原点到曲线

? ?x=3+2sin θ, ? C: ? ?y=-2+2cos θ

(θ 为参数)的最短距离.

解:原点到曲线 C 的距离为: ?x-0?2+?y-0?2= ?3+2sin θ?2+?-2+2cos θ?2 = 17+4?3sin θ-2cos θ? = 3 2 17+4 13? sin θ- cos θ? 13 13

= 17+4 13sin?θ+φ?≥ 17-4 13= ? 13-2?2= 13-2. ∴原点到曲线 C 的最短距离为 13-2.

4.已知圆

? ?x=cos θ, C? ? ?y=-1+sin

θ

与直线 x+y+a=0 有公共点,

求实数 a 的取值范围.
? ?x=cos θ, 解:法一:∵? ? ?y=-1+sin

θ

消去 θ,

得 x2+(y+1)2=1. ∴圆 C 的圆心为(0,-1),半径为 1. |0-1+a| ∴圆心到直线的距离 d= ≤1. 2 解得 1- 2≤a≤1+ 2.

法二:将圆 C 的方程代入直线方程,得 cos θ-1+sin θ+a=0, π 即 a=1-(sin θ+cos θ)=1- 2sin(θ+ ). 4 π ∵-1≤sin(θ+ )≤1,∴1- 2≤a≤1+ 2. 4



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