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【精选】高二数学下学期期末模拟试题理

2018-2019 学年度第二学期高二年级期末考试

数学(理科)试卷
分值:150 分 时间:120 分钟 一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)

1.设全集 I ? R ,集合 A ? {y | y ? log2 x x ? 2} , B ? {x | y ? x ?1} ,则( )

A. A B ? A

B. A ? B

C. A B ? ?

D. A (CI B) ? ?

2. i 是虚数单位, z ? 1 ?a ? R? 在复平面内对应的点位于直线 y ? 2x 上, 则 a ? ( )
a?i

A. 1 2

B. 2

C. ?2

D. ? 1 ∴∴∴。,、 2

3.已知实数 a、b、c、d 成等差数列,且曲线 y=ln(x+2)-x 取得极大值的点坐标为(b,c),则 a+d

等于(

)∴∴∴。,、

A. -1

B. 0

C. 1

D. 2

4.设 m、n 是不同的直线,? 、? 是不同的平面,有以下四个命题:

①若? ? ? , m//? ,则 m? ?

②若 m? ? , n ? ? ,则 m// n ∴∴∴。,、

③若 m? ? , m? n ,则 n //?

④若 n ? ? , n ? ? ,则 ? // ? .∴∴∴。,、

其中真命题的序号为( )

A. ①③

B. ②③

C. ①④

D. ②④∴∴∴。,、

5.将两颗骰子各掷一次,设事件 A=“两个点数不相同”,B=“至少出现一个 6 点”,则概率

P(A|B)等于( )∴∴∴。,、

A.

B.

C.

D.

6. 设 为等差数列 的前 项和,若

, ,则

A.

B.

C.

D.

7.已知函数 f(x)=sinx-cosx,且 f ??x? ? 2 f ?x?,其中 f ??x?是f ?x?的导函数 ,则

1 ? sin 2 x =( )A ? 19

cos2 x ? sin 2x

5

B. 19 5

C. 11 3

D. ? 11 3

8.5 本不同的书全部分给 4 个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为( )

-1-

A.240 种

B.120 种

C.96 种

D.480 种

9.椭圆

x2 25

?

y2 16

? 1 的左、右焦点分别为

F1 ,

F2

,弦

AB



F1 ,若 ?ABF2

的内切圆的周长为

2? , A, B 两点的坐标分别为 ? x1, y1 ? , ? x2, y2 ? ,则 y2 ? y1 ? ( )

A. 5 3

B. 10 3

C. 20 3

D. 5 3

10.已知函数 f ?x? ? 2 x?m ?1为偶函数,记 a ? f ?log 0.5 3? ,b ? f ?log 2 5? ,c ? f ?2m? ,

则 a,b, c 的大小关系为 ( )

A.a ? b ? c

B.a ? c ? b

C . c ? a ?b D.b ? c ? a

11.如图,P 是正四面体 V-ABC 的面 VBC 上一点,点 P 到平面 ABC 距离与到点 V 的距离相等,

则动点 P 的轨迹是(

)∴∴∴。,、

A.直线

B.抛物线

C.离心率为 2 2 的椭圆 3

D.离心率为 3 的双曲线

12、已定义在 R 上的函数 f (x) 无极值点,且对任意 x ? R 都有 f ( f (x) ? x3 ) ? 2,若函数

g(x) ? f (x) ? kx 在[?1, 2] 上与 f (x) 具有相同的单调性,则实数 k 的取值范围为( )∴∴∴。,、

A. (??, 0]

B. (??,12]

C.[0, ??)

D.[1, ??)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请将正确答案填在答题卷相应位置)

13.已知函数

f

?x?

?

f

'?1? x2

?

x ?1,则

1
?0

f

?x?dx

?

.

14.2018 年春季,世界各地相继出现流感疫情,这已经成为全球性的公共卫生问题.为了考察

某种流感疫苗的效果,某实验室随机抽取 100 只健康小鼠进行试验,得到如下列联表:∴∴∴。,、

感染

未感染

总计

注射

10

40

50

未注射

20

30

50

总计

30

70

100

参照附表,在犯错误的概率最多不超过

的前提下,可认为“注射疫苗”与“感染

流感”有关系.∴∴∴。,、

-2-

【参考公式:

K2

?

?a

?

n?ad ? bc?2 b??c ? d??a ? c??b

?

d

?

.】

P(K 2 ? k0 )

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

15.已知抛物线 y2 ? 4x 的准线与双曲线 x2 ? y2 ? 1交于 A, B 两点,点 F 为抛物线的交点, a2 4

若 ?FAB 为正三角形,则双曲线的离心率是

.∴∴∴。,、

16.已知直线 l : ?m ? 2? x ? ?m ?1? y ? 4 ? 4m ? 0 上总存在点 M ,使得过 M 点作的圆 C :

x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的两条切线互相垂直,则实数 m 的取值范围是

.∴∴∴。,、

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)已知 a , b 均为正实数,求证: b ? a ? a ? b . ab

18.(本小题满分 12 分)
在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 且 a 2 ? b2 ? c2 ? 3ab . (1)求角 C 的值; (2)若 ?ABC为锐角三角形,且 c ? 1 ,求 3a ? b 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? CB , AB ? AA1 , ?BAA1 ? 60 0 (1)证明: AB ? A1C ; (2)若平面 ABC ? 平面 AA1B1B , AB ? CB ,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦
值.
20、(本小题满分 12 分)某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区,已知从新校区到
-3-

老校区有两条公路,汽车走公路①堵车的概率为 1 ,不堵车的概率为 3 ;汽车走公路②堵车

4

4

的概率为 p ,不堵车的概率为1? p .若甲、乙两辆汽车走公路①,丙汽车由于其他原因走公

路②,且三辆车是否堵车相互之间没有影响.∴∴∴。,、
(1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 7 ,求走公路②堵车的概率; 16
(2)在(1)的条件下,求三辆汽车中被堵车辆的个数? 的分布列和数学期望.

21、(12 分)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不同的 A、B 两点.

(Ⅰ)如果直线 l 过抛物线的焦点,求

的值;

(Ⅱ)如果

=﹣4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ? ex ( e 为自然对数的底数). ex
(1)求 f (x) 的单调区间;
(2)是否存在正实数 x 使得 f (1? x) ? f (1? x) ,若存在求出 x ,否则说明理由;

-4-

高二班考数学理答案 一、选择题 1B, 2A, 3B, 4D ,5A, 6B,7A,8A,9B,10C,11C,12A 二、填空题(本大题共 20 分)

13、 7 6

14. 0.05 15. 57 3

16. ?2 ? m ?10

三、解答题(本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.解:方法一:

因为 a , b 均为正实数, b ? a ? 2 b , a ? b ? 2 a ,

a

b

两式相加,得 b ? a ? a ? b ? 2 a ? 2 b ,

a

b

所以 b ? a ? a ? b . ab
方法二:

b ? a ? a ? b ? b ? a ? a ? b ? (a ? b)( 1 ? 1 ) ? ( a ? b)( a ? b) a ? b

ab

ab

ba

ab

? ( a ? b)2( a ? b) ? 0. ab

所以 b ? a ? a ? b . ab

18. 解:(Ⅰ)

,即

,

,

为三角形内角,

;

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

,即

-------6 分

,又

为锐角三角形,

-5-

解得:

,

,

,

由正弦定理得:

,即

,

,

,

,

,则

.

---------12 分∴∴∴。,、

19. (Ⅰ)取 的中点 ,连接

。因为

,所以

由于



,故

为等边三角形,所以

因为

,所以

平面

,又

平面

,故

(Ⅱ)由(Ⅰ)知



又平面

平面

,交线为 ,所以 平面

,故

两两互相垂直。

。 。
----4 分

以 为坐标原点, 的方向为 轴的正方向, 为单位长,建

立如图所示的空间直角坐标系



由题设知









是平面

的法向量,则

,即



可取

,故,所以 与平面

所成角的正弦值为 ---------12 分

20.

(1)由已知条件得 C21

1 4

3 4

?1?

p?

?

? ??

3 4

2
? ??

p? 7 16

,即 3p ? 1 ,则 p ? 1 , 3

答: p 的值为 1 . 3

-6-

(2)解:? 可能的取值为 0,1,2,3,

P ??

? 0? ?

3 4

3 4

2 3

? 3 , P??
8

? 1? ? 7 , P ??
16

? 2? ?

1 4

1 4

2 3

?

C21

1 4

3 4

1 ? 1, 36

P?? ? 3? ? 1 1 1 ? 1 ,
4 4 3 48

? 的分布列为:

所以 E? ? 0 3 ?1 7 ? 2 1 ? 3 1 ? 5 ,答:数学期望为 5 .

8 16 6 48 6

6

21、【解答】解:(Ⅰ)由题意:抛物线焦点为(1,0)

?012 3 3711
P 8 16 6 48

设 l:x=ty+1 代入抛物线 y2=4x 消去 x 得,

y2﹣4ty﹣4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2)

则 y1+y2=4t,y1y2=﹣4



=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2

=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2

=﹣4t2+4t2+1﹣4=﹣3.

(Ⅱ)设 l:x=ty+b 代入抛物线 y2=4x,消去 x 得

y2﹣4ty﹣4b=0 设 A(x1,y1),B(x2,y2)

则 y1+y2=4t,y1y2=﹣4b



=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2

=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2 =﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b=b2﹣4b 令 b2﹣4b=﹣4,∴b2﹣4b+4=0∴b=2. ∴直线 l 过定点(2,0).

22.解:(1)函数 y ? f (x) 的单调递减区间是 ?1, ???,单调递增区间为 ???,1? .

(2)不存在正实数 x 使得 f (1? x) ? f (1? x) 成立,

事实上,由(1)知函数 y ? f (x) 在 (??,1) 上递增,

而当 x ??0,1?,有 y ??0,1? ,在 ?1, ???上递减,有 0 ? y ? 1, 因此,若存在正实数 x 使得 f (1? x) ? f (1? x) ,必有 x ??0,1?.

-7-

令 F(x) ? f (1? x) ? f (1? x) ? x ?1 ? (x ?1)ex , ex
令 F '(x) ? x(ex ? 1 ) ,因为 x ?(0,1) ,所以 F '(x) ? 0 ,所以 F(x) 为 (0,1) 上的增函数,所 ex
以 F(x) ? F(0) ? 0 ,即 f 1( ?x) ? f1( ?)x ,故不存在正实数 x 使得 f (1? x) ? f (1? x) 成立.
-8-



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