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2011高考数学真题考点分类新编:考点37圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系(新课标地区)


圆的方程、直线与圆、 考点 37 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题 2011· 安徽高考文科· 1.(2011·安徽高考文科·T4)若直线 3x + y + a = 0 过圆 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y = 0 的圆心, 则 a 的值为( (A)-1 ) (B) 1 (C)3 (D)-3

【思路点拨】将圆的方程化为标准形式,得到圆心坐标,代入直线方程求出 a . 思路点拨】
( 【精讲精析】选 B.圆的方程 x 2 + y 2 + 2 x ? 4 y = 0 可变形为 x + 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 5 ,所以 精讲精析】

圆心坐标为(-1,2) ,代入直线方程得 a = 1 . (2011· 江西高考理科· 9) T 若曲线 C1 : 2 + y 2 —2 x =0 与曲线 C : y ( y ? mx ? m) = 0 x 2. 2011· 江西高考理科·
2

有四个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 (
3



A. (— 3 , C. [—
3 3

3 3

3

3

) ]

B. (— 3 ,0)∪(0, 3 ) D.( -∞, -
3 3



3 3

)∪(

3 3

,+∞)

【思路点拨】先根据方程 y(y-mx-m)=0,得出 y=0 或 y-mx-m=0,再根据直线与圆 思路点拨】 的位置关系,易得 m 的取值范围. 【精讲精析】选 B. 讲精析】
Qy(y ? mx ? m) = 0,∴y = 0或y ? mx ? m = 0, 当y = 0时,很明显直线y = 0与圆x2 + y2 ? 2x = 0有两个不同交点, 当y ? mx ? m = 0时,要使直线与圆有两个不同交点, ? y ? mx ? m = 0 需联立? 2 2 ,得:(m2 +1)x2 + (2m2 ? 2)x + m2 = 0, ?x + y ? 2x = 0 由? > 0, 得:m∈(? 3 3 ,0) ∪(0, ). 3 3

3.(2011·江西高考理科·T10)如右图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 2011·江西高考理科· 10) 的大圆内壁的逆时针方向滚动, 和 N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么, M

当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M,N 在大圆内所绘出的图形大致是 (



思路点拨】 【思路点拨】小圆在滚动的过程中,一直与大圆内切,其直径为大圆的半径, 且一直过大圆的圆心,易得点 M,N 在大圆内所绘出的图形. 【精讲精析】选 A.当小圆在滚动的过程中,一直与大圆内切,由于其直径为大 精讲精析】 圆半径,故小圆在滚动过程中必过大圆的圆心,所以点 M,N 在大圆内所绘出的 图形大致是 A. 二、填空题 4. ( 2011 · 江 苏 高 考 · T 14 ) 设 集 合 A = {( x, y ) |
B = {( x, y ) | 2m ≤ x + y ≤ 2m + 1, x, y ∈ R} , 若 A ∩ B ≠ φ ,

m ≤ ( x ? 2) 2 + y 2 ≤ m 2 , x, y ∈ R} , 2

则实数 m 的取值范围是

______________ 思路点拨】 【思路点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系,解题的关键是找出集合所代 表的几何意义,然后结合直线与圆的位置关系,求得实数 m 的取值范围. 答案: ≤ m ≤ 2 + 2 由 A ∩ B ≠ φ 得,A ≠ φ , 所以 m 2 ≥ 【精讲精析】 精讲精析】 当 m≤0 时 ,
2 ? 2m 2 = 2 ? 2m > ?m , 且 2 ? 2m ? 1 2 =
1 2
m 1 , m ≥ 或m ≤ 0. 2 2

2 ? 2m > ? m , 又 2 1 2

2 + 0 = 2 > 2m + 1 , 所以集合 A 表示的区域和集合 B 表示的区域无公共部分; m ≥ 当 2 ? 2m ≤ m, 或 2 ? 2m ? 1 2
1

时,只要
2

≤ m, 解得 2 ? 2 ≤ m ≤ 2 + 2 或 1 ?

2 2 ≤ m ≤ 1+ , 2 2

所以,实数 m 的取值范围是 ? ,2 + 2 ? . ?2 ? ? ? ,B(1,3)两点,圆 5.(2011·辽宁高考文科·T13)已知圆 C 经过 A(5,1) 2011·辽宁高考文科· 13)

心在 x 轴上,则 C 的方程为___________. 【思路点拨】可设圆心坐标 C (x,0) ,利用 CA = CB ,求出圆心和半径,再写出圆 思路点拨】 的标准方程. 【精讲精析】选 A,设 C (x,0) ,由 CA = CB ,得 ( x ? 1) 2 + 9 = ( x ? 5) 2 + 1 精讲精析】 解得 x = 2 .∴ r = CA = 10 , ∴圆 C 的标准方程为 ( x ? 2) 2 + y 2 = 10 . 答案: ( x ? 2) 2 + y 2 = 10 三、解答题 2011·新课标全国高考文科 新课标全国高考文科· 20) 6. ( 2011· 新课标全国高考文科 · T 20 ) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线
y = x 2 ? 6 x + 1 与坐标轴的交点都在圆 C 上

(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 x ? y + a = 0 交于 A,B 两点,且 OA ⊥ OB ,求 a 的值. 【思路点拨】第(1)问,求出曲线 y = x 2 ? 6 x + 1 与坐标轴的 3 个交点,然后通过 思路点拨】 3 个点的坐标建立方程或方程组求得圆 C 的方程; 第(2)圆,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , OA ⊥ OB ? OA ? OB = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0 ,利用直线方 程 x ? y + a = 0 与圆的方程联立,化简 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,最后利用待定系数法求得 a 的 值. (Ⅰ)曲线 y = x 2 ? 6 x + 1 与坐标轴的交点为(0,1) ± 2 2 ,0) (3 【精讲精析】 精讲精析】 故可设圆的圆心坐标为(3,t)则有 解得 t=1,则圆的半径为 所以圆的方程为(x2

uuu uuu r r

3 + (t -1) = 2 2
2 2

3 + (t ?1)
2
2

( ) +t
2

2

2

= 3.

3) + (y- 1) = 9 .

(Ⅱ)设 A( x1 , y1) B( x2 , y 2) 其坐标满足方程组

x? y+a =0

(x ?3) + ( y ?1) = 9
2 2

消去 y 得到方程 2 x + (2a ? 8) x + a ? 2a + 1 = 0
2 2

由已知可得判别式△=56-16a-4 a >0 由韦达定理可得 x + x = 4 ? a , x x = a
1 2

2

2

? 2a + 1

1

2


2

由 OA ⊥ OB 可得 x1 x2 + y1 y 2 = 0. 又 y 1 = x1 + a,y 2 = x2 + a .所以 2 x1 x2 + a( x1 + x2) + a = 0
2



由①②可得 a=-1,满足△>0,故 a=-1.



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