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方程的根与函数的零点(第一课时)


3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1方程的根与函数的零点
约公元50-100年前编成的 《九章算术》给出了一次方 程、二次方程和正系数三次 方程的求根方法

13世纪,南宋数学家秦九韶 给出了求任意次代数方程的 正根的解法

3.1.1方程的根与函数的零点
阿拉伯数学家花拉子米的 《还原与对消计算概要》第 一次给出了一元二次程的一 般解法,并用几何方法对这 一解法给出了证明

19世纪挪威数学家阿贝尔 证明了五次及五次以上一 般方程没有求根公式

3.1.1方程的根与函数的零点
问题1:下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系? 方程

函数 函 数 的 图 象
方程的实数根

x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3
y
2 1

x2-2x-3=0

y y
2 2

5 4
3 2 1
-1

-1 0 -11
-3 -4 -2

3

x
-1

1

0

12

x

0

1 2

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=1 (1,0)

无实数根

函数的图象 与x轴的交点

无交点

3.1.1方程的根与函数的零点
问题2:二次函数的图象与x轴交点和相应二次方程的根有何关系?
判别式 △>0 2-4ac △ =b 方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a>0)的根
的实数根x1 、x2
y

△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y

△<0 没有实数根

函数y= +bx +c(a>0)的图象

ax2

y

x1
函数的图象 与 x 轴的交点

0

x2

x
0

x1

x

0

x

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

3.1.1方程的根与函数的零点

3.1.1方程的根与函数的零点
一、函数零点的定义

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数 叫作函数y=f(x)的零点(zero point).
特别注意:零点不是点,零点是实数 例1、求下列函数的零点 (1) f(x)= -x 2 -2x+3

(2) f(x)=log 2 x

x1 = -3 x 2 =1
归纳:求零点的方法 (1)方程法 (2)图象发

x=1

3.1.1方程的根与函数的零点
一、方程的根与函数零点的关系
函数y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标 函数y=f(x)的图象与 x轴有交点

方程f(x)=0 的实数根

函数y=f(x) 的零点

方程f(x)=0 有实数根

函数y=f(x) 有零点

区别:零点对于函数而言,根对于方程而言.

3.1.1方程的根与函数的零点
问题3:现在有两组镜头(如图所示),哪一组镜头能说明人的行 程一定曾渡过河?

第Ⅰ组









第Ⅱ组









3.1.1方程的根与函数的零点
问题3:将河流抽象成x轴,将前后的两个位置视为A、B两点。请问 当A、B与x轴怎样的位置关系时,AB间的一段连续不断的函 数图象与x轴一定会有交点?

y
b

O

a

x

问题4:A、B与x轴的位置关系,如何用数学符号(式子)来表示?

f (a) ? f (b) ? 0

3.1.1方程的根与函数的零点
二、函数零点的存在性定理

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f(a) · f(b)<0,那么,函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有零点.即存在c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个c也就方程f(x)=0的根.
y
O c a b x

3.1.1方程的根与函数的零点
辨析1:若函数y=f(x)在区间[a,b]上不连续,但f(a)·f(b)<0,则f(x) 在区间(a,b)内一定没有零点么? (不一定)
c1 c2 b

b

a

x

a

x

辨析2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,但f(a)·f(b)>0,则f(x)在 区间(a,b)内一定没有零点么? (不一定)
c1 c2

b b x a x

a

3.1.1方程的根与函数的零点
辨析3:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在 区间(a,b)内一定只有一个零点么?
(不一定,有几个零点不确定) b a x a b x

思考:增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点? (单调)
推论:在零点存在的条件下,如果函数在[a , b]上具有单调性, 函数f(x)在区间(a , b)上可存在唯一零点。

3.1.1方程的根与函数的零点
辨析4:若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定能够得出f(x)在 [a,b]上连续,或者一定有f(a)·f(b)<0么? (不一定)
c1

c2 b

c1

c2

a

x

a

b

x

结论:函数零点存在性定理不可逆的。

3.1.1方程的根与函数的零点
例2、已知函数f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:

X

1

2 9

3 -7

4 11

5 -5

6 -12

f(x) 23

问:那么函数在区间[1 , 6]上的零点至少有几个,哪些区 间上一定存在零点
答案:至少有3个零点 分别在区间 (2, 3),(3,4),(4,5)上

3.1.1方程的根与函数的零点
例3:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 (函数的部分取值和函数图象已给出 ) 1 2 3 4 5 6 x f(x)
-4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094

7

8

9

7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表和图可知
f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,

y
14 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6

说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 增函数,所以它仅有一个零点。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.

..

.

.

.

.

.

.

x

3.1.1方程的根与函数的零点
归纳总结,提高认识 1.函数零点的定义

2.函数的零点与方程的根的等价关系
3.函数零点的存在性定理

3.1.1方程的根与函数的零点
布置作业,独立探究

必做题
优化探究课时作业 (十八)

思考题
函数f(x)=lnx+2x-6在区 间内有零点,你能想到办 法求出这个零点吗?


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