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2007.3.19运用导数求函数的极值与最值的习题课


运用导数求函数的极值与最值的习题课
方法回顾 基础练习

能力练习

综合训练

本课小结

作业: 作业:课本 P A 组第 6、7 题 、

73

运用导数求函数的极值与最值的习题课
今天,我们就运用导数求函数的最值这一方法做训练. 今天,我们就运用导数求函数的最值这一方法做训练. 运用导数求函数的最值这一方法做训练
首先,回忆导数法求函数的最值的步骤 首先,回忆导数法求函数的最值的步骤: 导数法 最值
上的最值的方法步骤: 方法步骤 求可导函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最值的方法步骤: 可导函数 ⑴求方程 f ′( x ) = 0 ; 的根的函数值与端点处的函数值 ⑵比较 f ′( x ) = 0 的根的函数值与端点处的函数值 其中最大的一个是最大值, f ( a ) 、 f ( b ) 大小 ,其中最大的一个是最大值 ,最小 的一个是最小值, 上的最值. 的一个是最小值,得出函数 f (x ) 在 [a, b] 上的最值.
注:极值点不一定是最值点,最值点若在区间内部必 极值点不一定是最值点, 是极值点. 是极值点.

基础练习: 基础练习: 练习 1.函数 y = ( x + 1)3 当 x = ?1 时( C ) 函 (A)有极大值 (B)有极小值 (C)即无极大值,也无极小值 即无极大值, (D)无法判断 2.函数 y=1+3x -x3 有( D ) 极小值极小值( A) 极小值-2,极大值 2 ( B) 极小值-2,极大值 3 极小值极小值(C ) 极小值-1,极大值 1 ( D ) 极小值-1,极大值 3

3.函数 y = 4 x ? x 4 ,在 [?1, 2] 上的最大、最小值分别为( 上的最大、 B (A) 3 、 5 (B) 3 、 8 (C) ?5, ?8 (D) 0, ?5 ? ?

)

能力练习: 能力练习: 1.已知函数 f ( x ) = x 3 + 3ax 2 + 3(a + 2) x + 1 有极 大值又有极小值, 的取值范围是______. 大值又有极小值,则 a 的取值范围是______. 2.若 2.若 0 ≤ x ≤
的最大值是

( ?∞ , ?1) U (2, +∞ )
3

π
2

, 则 f ( x ) = cos x ? cos x

1 上的最值. 3.试求函数 y = 4 x + 在 (0, +∞ ) 上的最值. x

2 3 . 92

最小值为 3,无最大值
1答案 答案 3答案 答案

已知函数 f ( x ) = x 3 + 3ax 2 + 3(a + 2) x + 1 有极大 1. 值又有极小值, 的取值范围是______. 值又有极小值,则 a 的取值范围是______.

解: f ( x ) 有极大值又有极小值的充分必要条件 ∵ 有两个不同实根. 是 f '( x ) = 0 有两个不同实根. ∵ f '( x ) = 3 x + 6ax + 3(a + 2) , 令 f '( x ) = 0 得方程 3 x 2 + 6ax + 3(a + 2) = 0 由 ? > 0 得 (2a )2 ? 4(a + 2) > 0,即a 2 ? a ? 2 > 0, ∴ a ∈ ( ?∞ , ?1) U (2, +∞ )
2

1 上的最值. 3.试求函数 y = 4 x + 在 (0, +∞ ) 上的最值. x
2

1 解:∵ y ′ = 8 x ? 2 x 1 令 y ′ = 0 解得 x = 2 当 x 变化时, y 随 x 的变化情况如下 表: x 1 1 1 0< x< x= x> 2 2 2 y′ 0 + y ↘ 极小值 ↗ 3,无最大值 ∴最小值为 3,无最大值

综合训练: 综合训练: 3 2 2 已知函数 f ( x) = x + 2 x + x ? 4,g( x) = ax + x ? 8 . 的极值; ⑴求函数 f ( x ) 的极值;

⑵若对任意的 x ∈ [0, ∞ ) 都有 f (x)≥g(x), + 求实数 a 的取值范围.

(1)答案 答案

(2)答案 答案

已知函数 f ( x) = x3 + 2x2 + x ? 4 g( x) = ax2 + x ? 8 . , 的极值; ⑴求函数 f (x) 的极值;

gx 的取值范围. ⑵若对任意的 x ∈[0, ∞) 都有 f(x)≥ ( ),求实数 a 的取值范围 + 1 2 解:⑴ f ( x) = 3 x + 4 x + 1 令f ( x) = 0 解得 x1 = ?1或x2 = ? ⑴ 3 变化时, 的变化情况如下: 当 x 变化时, f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下:

∴当 x=-1 时, f ( x ) 取得极大值为 ? 4 ; 1 112 . 当 x = ? 时, f ( x ) 取得极小值为 ? 3 27

已知函数 f ( x) = x3 + 2x2 + x ? 4 g( x) = ax2 + x ? 8 . , 的极值; ⑴求函数 f (x) 的极值;

gx 的取值范围. ⑵若对任意的 x ∈[0, ∞) 都有 f(x)≥ ( ),求实数 a 的取值范围 + 3 2 ⑵设 F ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) = x + ( 2 ? a ) x + 4 Q F ( x ) ≥ 0在 [ 0, ∞ ) 恒成立 ? F ( x )min ≥ 0,x ∈ [ 0, ∞ ) + +
F 若 2 ? a ≥ 0,显然 ( x)min = 4 > 0 ;若 2?a < 0 F′ (x) = 3x2 +(4?2a)x 若 , 2a ? 4 ′( x ) = 0,解得 x = 0,x = 令F 3 2a ? 4 2a ? 4 当0 < x < 时, F ′( x ) < 0; 当 x > 时, F ′( x ) > 0; 3 3 3 2 ?2a?4? ?2a?4? ?2a?4? ∴当 x ∈ ( 0, ∞ ) 时, F(x)min =F? + 0 ? 0 ?≥即 3 ? ?(a?2)? 3 ? +4≥ ? 3 ? ? ? ? ? 满足题意. 解不等式得a ≤ 5, 2 < a ≤ 5 当x = 0时, F ( x ) = 4 满足题意 ∴

综上所述 a 的取值范围为 (?∞,5]

课堂小 课堂小结: 1.在求函数的极值和最值时,要注意极值和最值的区别 在求函数的极值和最值时,
能列表的应采用列表的方法. 能列表的应采用列表的方法

新新 新新 新新 新新 源 源源源源源 源 源源源源源 源 源源源源源 源 源源源源源
h t p w ww. x k y g c m/w x c / :/ jt .o

特特特特 特特特特 特特特特 特特特特 王新王 王新王 王新王 王新王
wx c k @1 2 c o m t 6.

新新 新新 新新 新新 源 源源源源源 源 源源源源源 源 源源源源源 源 源源源源源
h t p w ww. x k y g c m/w x c / :/ jt .o

特特特特 特特特特 特特特特 特特特特 王新王 王新王 王新王 王新王
wx c k @1 2 c o m t 6.

2.不等式恒成立问题,常常转化为求函数的最值,例如: 不等式恒成立问题,常常转化为求函数的最值,例如: 不等式恒成立问题 f(x)≥0 对 x∈R 恒成立 ? f(x)的最小值≥0 成立, ≥ 的最小值≥ 成立, ∈ 的最小值 f(x)≤0 对 x∈R 恒成立 ? f(x)的最大值≤0 成立; ≤ 的最大值≤ 成立; ∈ 的最大值

课外思考题: 课外思考题 3 2 1. 已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数 在[- ,2]上有最 为常数)在[-2, ] [-2, ] . 大值 3,那么此函数在[- ,2]上的最小值为 -37 ,那么此函数在[- 2.思考题:设函数 f(x)=(x+1) (x+1),若对所有的 ( ) +1)ln( +1), x≥0,都有 f(x)≥ax 成立,求实数 a 的取值范围. 成立, 的取值范围. ≥ ( )

作业:课本 P A 组第 6、7 题 作业: 、

( ?∞ , 1 ]

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