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2.2.3向量数乘运算及其几何意义(第2课时)


平面向量的线性运算
——向量数乘运算

平面向量共线定理

共线定理
对于向量a和b,以及实数? 问题1:如果b ? ? a,那么向量a和b是否共线? 问题2:如果向量a和b共线,那么是否存在一 个 实数,使得b ? ? a ?

向量a(a ? 0)与b共线,当且仅当有唯一 一个实数?,使得b ? ? a 即a(a ? 0) // b ? 存在唯一? ? R,使得b ? ? a

定理的应用: 证明 向量共线 证明 三点共线: AB ? ? BC ? A, B, C三点共线 证明 两直线平行: AB ? ? CD ? AB // CD ? ?

? ? AB // CD AB, CD不在同一条直线上? ?

1[课本例题]已知任意两个非零向量 a, b,作OA ? a ? b, OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b, 判断A、B、C三点的位置关系 .

C

B

3b

A

a

b

2b b
O

a

[类似题] 已知非零向量e1和e2不共线,如果AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 e1 ? e2 , 证明:ABD三点共线. 2.[逆向使用 ] 已知非零向量e1和e2不共线,欲使k e1 ? e2和 e1 ? k e2 共线,确定实数k的值.

?

?

探究:
问题:已知OA和OB不共线, AC ? t AB( t ? R), 试用OA和OB表示OC .
1 特例:对于OC ? (1 ? t )OA ? t OB ,当t ? 时,你知道其几何意义 吗? 2

OA ? OB 中点公式向量表示法: C为AB中点,则 OC ? 2

一般地:对于OC ? ? OA ? ? OB , A, B , C三点共线与? , ?的值有什么关系?

A, B, C三点共线 ? 存在实数? , ?,且? ? ? ? 1, 使得OC ? ? OA ? ? OB

探究:
问题:A, B , C是不共线的三点,G是△ABC内一点,若 GA ? GB ? GC ? 0,则G在三角形内的什么位置?

G是△ABC重心 ? GA ? GB ? GC ? 0(G在△ABC内 )
OA ? OB 类比:C为线段AB中点,则OC ? 2 G为△ABC的重心,则 OG与OA, OB, OC有什么关系?

G是△ABC重心, O为平面内不同于G的任意一点, 1 则OG ? OA ? OB ? OC 3

?

?


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