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第21讲 模拟退火算法


数学建模与数学实验
模拟退火算法

实验目的
实验内容
1、模拟退火算法基本理论 2、实例 3、实验作业

学习模拟退火算法的基本原理与方法。

模拟退火算法基本理论

模拟退火算法(Simulated Annealing Algorithm)是一种随 机类全局优化方法。

它来源于热力学中固体物质的退火冷却过程。将固体加温

至充分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温度升

高变为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每

个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为最小

模拟退火算法基本理论

对于一个自变量为 X 目标函数为 f ( X ) 的极小化问题, 设 fk ? f ( X k ) 、 fk ?1 ? f ( X k ?1 ) 。 若 fk ?

f k ?1 ,则接受 X k ?1 为当前点,作为下一次迭代的初

值继续进行迭代运算,直到满足收敛结束条件; 若 fk ?

f k ?1 ,则 X k ?1 可能被接受也可能被拒绝,接受的概

率为 Boltzmann 概率 p ,当然拒绝的概率为 1 ? p 。

模拟退火算法基本理论

Boltzmann 概率 p 也称为接受概率,定义如下:
? f ?f ? p ? exp ? ? k ?1 k ? T ? ?

其中, T 为控制参数, 在模拟退火算法的迭代寻优过程

中,T 必须缓慢减少,控制参数变化太快,会使优化陷入 局部极值点。

模拟退火算法的应用
一元函数优化问题

例:利用遗传算法计算函数 f ( x) ? x cos(5? x) ? 3.5 在区间 [?1, 2.5] 上的最值
说明:关键是新的迭代点的随机产生以及对其的接受模式。

新的迭代点 X k ?1 可以由 X k 附近某个范围(比如 ? 邻域,其中 ? 不能 取得太小,否则会陷入局部极值点。)内随机产生。

源代码请见本目录:exp12_2_3.m

模拟退火算法的应用
一元函数优化问题——最大值优化过程

模拟退火算法的应用
一元函数优化问题——最大值求解结果

模拟退火算法的应用
一元函数优化问题——最小值优化过程

模拟退火算法的应用
一元函数优化问题——最小值求解结果

模拟退火算法的应用
多元函数优化问题
例:利用模拟退火算法求解多峰的 Shubert 函数 f ( x, y) 在区域 [?10,10] ? [?10,10] 上的最值,其中 f ( x, y ) ?

? k cos ? ?? k ? 1? x ? k ? ?g? k cos ? ?? k ? 1? y ? k ? ?。
k ?1 k ?1

5

5

模拟退火算法的应用
多元函数优化问题——最大值优化过程

模拟退火算法的应用
多元函数优化问题——最大值求解结果

模拟退火算法的应用
多元函数优化问题——最小值优化过程

模拟退火算法的应用
多元函数优化问题——最小值求解结果



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