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上海市金山区2010届高三上学期期末考试(数学)

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上海市金山区 2010 届高三上学期期末考试 高三数学试卷
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、座位号填写清楚. 2.本试卷共有 23 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.集合 A ? ( x, y ) y ? x ? 2 , B ? ( x, y ) y ? ? x ,则 A ? B ? _______________. 2010.01

?

?

?

?

1 6 ) 的二项展开式中,常数项是第______项. x 1 ? i 2010 ) ? _________( i 为虚数单位) 3.计算: ( . 1? i 3 ? ? 4.若 cos ? ? ,且 ? ? (0, ) ,则 cos(? ? ) ? ____________. 5 2 3
2.在 ( x ?
2

? 5.在 ?ABC 中,若 ?A ? 120 , AB ? 5 , BC ? 7 ,则 AC ? ____________.

6.若 f ( x ) ?

3x ? 2 1 ( x ? 1) ,则 f ?1 ( ) ? ____________. x ?1 2

7.已知矩阵 A ? ?

? 3 ?1? ? 2 1? ? ,计算: AB ? _______________. ? ,矩阵 B ? ? ?1 0? ?5 7 ?

8.设数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? 1 ,公差为 1 , ?bn ? 也是等差数列, b1 ? 0 ,公差为 2 , 则 lim

b1 ? b2 ? ? ? bn ? ____________. n ?? n ? a3n

9.某小镇对学生进行防火安全教育知晓情况调查,已知该小镇的小学生、初中生、高中生 分别有 1400 人、1600 人、800 人,按小学生抽取 70 名作调查,进行分层抽样,则在初中 生中的抽样人数应该是____________. 10.连续掷两次骰子,出现点数之和等于 4 的概率是____________(结果用数值表示) . 11.已知点 P(3cos ? ,3sin ? ) ,点 Q(1, 3) ,其中 ? ??0, ? ? ,则 PQ 的取值范围是 _________________. 12.下图是某算法的程序框图,该算法可表示 分段函数 y ? f ( x) , 则其输出结果所表示的分 段函数为 f ( x) ? _______________________.

??? ?

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13.已知,在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ,分别给出下列 四个条件: ⑴ tan( A ? B) cos C ? 0 ; ⑵ sin( B ? C ) cos( B ? C ) ? 1; ⑶ a cos A ? b cos B ; ⑷ sin 2 ( A ? B) ? cos2 C ? 0 . 若满足条件_____________, ?ABC 是等腰直角三角形. 则 (只需填写其中一个正确的序号) 14.若 f ( n) 为 n ? 1所表示的数字的各位数字之和, n 为正整数) ( ,例如:因为
2

142 ? 1 ? 197 , 1 ? 9 ? 7 ? 17 ,所以 f (14) ? 17 .记 f1 (n) ? f (n) , f2 (n) ? f ? f1 (n)? ,
?, fk ?1 (n) ? f ? fk (n)? , k 为正整数) ( ,则 f 2010 (11) ? _____________. 二、选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 15.已知函数 y ? 2sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0 )在区间 ?0, 2? ? 的图像如图所示,那么 ? 的 值等于 (A) 1 (C) (B) 2 (D) ( )

1 2

1 3

16.若向量 a ? ( 3,1) , b 是不平行于 x 轴的单位 向量,且 a ? b ? 3 ,则 b ?

?

?

? ?

?





(A) (

3 1 , ) 2 2

(B) ( ,

1 3 ) 2 2
1 z

(C) ( ,

1 3 3 ) 4 4

(D) (1, 0) ( )

17.下列说法错误的是 (A)若 z ? C ,则 z ? 1的充要条件是 z ? (B)若 z ? sin ? ? i cos ? (其中 0 ? ? ?
2

?
2

) ,则 (

1? z 2 ) ?0 1? z

(C)若方程 x ? bx ? c ? 0 的系数不都是实数,则此方程必有虚数根 (D)复数 (a ? b) ? (a ? b)i 为纯虚数的充要条件是 a 、 b ? R ,且 a ? b

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18.若函数 f ( x ) 、 g ( x) 的定义域和值域都是 R ,则“ f ( x) ? g ( x) , x ? R ”成立的充 要条件是 (A)存在 x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) (C)对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? ( )

(B)有无数多个实数 x ,使得 f ( x) ? g ( x)

1 ? g ( x) (D)不存在实数 x ,使得 f ( x) ≥ g ( x) 2

三、解答题(本大题满分 78 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知点 A(?1, 0) ,点 B(1, 0) ,又点 P( x ? 1, y ) 在 x 轴的下方,设 a ? PA ? PB ,

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? a b b ? AP ? AB , c ? BP ? BA ,且 ? 0. c d
⑴求 a 、 b 、 c 关于 x 、 y 的表达式; ⑵求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ,并求当 y 取最小值时 P 点的坐标.

20. (本题满分 12 分)

g 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) , g ( x) ? (k ? 1) x ,记 F (x) ? f (x) ? (x) ,且 F ( x) 为
偶函数. ⑴求实常数 k 的值; ⑵求证:当 m ≤ 1 时,函数 y ? f (2 x) 与函数 y ? g (2 x ? m) 的图像最多只有一个交点.

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21. (本题满分 16 分) 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,又函数 y ? f ( x) 在区间

??1,1? 上是奇函数,又知 y ?
⑴ f (1) ? f (4) 的值;

f ( x) 在区间 ?0,1? 上的图像是线段,在区间 ?1, 4? 上的图像是

一个二次函数图像的一部分,且在 x ? 2 时,函数取得最小值 ?5 .求:

⑵ y ? f ( x) 在 x ??1, 4? 上的函数解析式; ⑶ y ? f ( x) 在 x ? ? 4,9? 上的函数解析式.

22. (本题满分 18 分) 已知等差数列 ?an ? 满足:a1 ? a2 n?1 ? 2n ,(n ?N? ) ,设 Sn 是数列 ? 记 f (n) ? S2n ? Sn . ⑴求 an ; (n ?N )
? ⑵比较 f (n ? 1) 与 f ( n) 的大小; (n ?N ) ?

?1? ? 的前 n 项和, ? an ?

⑶如果函数 g ( x) ? log2 x ?12 f (n)(其中 x ? ? a, b? )对于一切大于 1 的自然数 n ,其函数 值都小于零,那么 a 、 b 应满足什么条件?

23. (本题满分 20 分) 已知函数 f ( x) ? log a

1 ? mx 在定义域 D 上是奇函数,其中 a ? 0 且 a ? 1 . x ?1
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⑴求出 m 的值,并求出定义域 D ; ⑵判断 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性,并加以证明; ⑶当 x ? (r , a ? 2) 时, f ( x ) 的值的范围恰好为 (1, ??) ,求 a 及 r 的值.

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