9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> >>

高中新课程数学(苏教)二轮复习精选第一部分 25个必考问题专项突破《必考问题21二项式定理》课件_图文

必考问题21 二项式定理 及数学归纳法

抓 住 命 题 方 向

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

【真题体验】 1.(2012· 苏北四市调研)已知 an=(1+ 2)n(n∈N*) (1)若 an=a+b 2(a,b∈Z),求证:a 是奇数; (2)求证: 对于任意 n∈N*都存在正整数 k, 使得 an= k-1+ k.
1 2 2 3 3 证明 (1)由二项式定理,得 an=C0 + C 2 + C ( 2) + C ( 2) n n n n n +?+Cn n( 2) , 2 2 4 4 2 2 4 所以 a=C0 + C ( 2) + C ( 2) +?= 1 + 2C + 2 Cn+?, n n n n 2 4 因为 2C2 + 2 Cn+?为偶数,所以 a 是奇数. n

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

(2)由(1)设 an=(1+ 2)n=a+b 2(a, b∈Z), 则(1- 2)n=a-b 2, 所以 a2-2b2=(a+b 2)(a-b 2)=(1+ 2)n(1- 2)n=(1-2)n, 当 n 为偶数时, a2=2b2+1, 存在 k=a2, 使得 an=a+b 2= a2+ 2b2= k+ k-1, 当 n 为奇数时,a2=2b2-1,存在 k=2b2,使得 an=a+b 2= a2 + 2b2= k-1+ k, 综上,对于任意 n∈N*,都存在正整数 k,使得 an= k-1+ k.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

2.(2010·江苏,23)已知△ABC的三边长都是有理数.

(1)求证:cos A是有理数;
(2)求证:对任意正整数n,cos nA是有理数.
b2+c2-a2 (1)证明 设三边长分别为 a,b,c,cos A= 2bc , ∵a,b,c 是有理数, b2+c2-a2 是有理数,分母 2bc 为正有理数,又有理数集对 于除法具有封闭性, b2+c2-a2 ∴ 必为有理数,∴cos A 是有理数. 2bc

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

(2)证明 ①当 n=1 时,显然 cos A 是有理数; 当 n=2 时,∵cos 2A=2cos2A-1,因为 cos A 是有理数, ∴cos 2A 也是有理数; ②假设当 n≤k(k≥2)时,结论成立,即 cos kA、cos(k-1)A 均是有 理数. 当 n=k+1 时,cos(k+1)A=cos kAcos A-sin kAsin A 1 =cos kAcos A-2[cos(kA-A)-cos(kA+A)]

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

1 1 =cos kAcos A-2cos(k-1)A+2cos(k+1)A 解得:cos(k+1)A=2cos kAcos A-cos(k-1)A ∵cos A,cos kA,cos(k-1)A 均是有理数, ∴2cos kAcos A-cos(k-1)A 是有理数, ∴cos(k+1)A 是有理数. 即当 n=k+1 时,结论成立. 综上所述,对于任意正整数 n,cos nA 是有理数.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

【高考定位】 高考对本内容的考查主要有: (1) 二项式定理的简单应用,B级要求; (2)数学归纳法的简单应用,B级要求 【应对策略】

(1)对于二项式定理只要掌握二项式定理、通项、项的
系数的求法,掌握赋值法即可. (2) 数 学 归 纳 法 主 要 是 用 来 解 决 与 自 然 数 有 关 的 命 题.通常与数列、不等式证明等基础知识和基本技能相结 合来考查逻辑推理能力,要了解数学归纳法的原理,并能 加以简单的应用.
抓住命题方向 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

必 备 知 识 方 法

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

必备知识 1.二项式定理
n 1 n 1 n r r (1)二项式定理:(a+b)n=C0 b+?+Cr b +?+ na + Cn a na
- -

n n Cn b ,上式中右边的多项式叫做 ( a + b ) 的二项展开式,其中 n

Cr n(r=1,2,3,?,n)叫做二项式系数,式中第 r+1 项叫做展开
n r r 式的通项,用 Tr+1 表示,即 Tr+1=Cr b; na


(2)(a+b)n 展开式中二项式系数 Cr n(r=1,2,3,?,n)的性质: ①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即 Cr n=
-r Cn n ;

1 2 n n 0 2 1 3 n 1 ②C 0 + C + C +?+ C = 2 ; C + C +?= C + C +?= 2 . n n n n n n n n


抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

2.数学归纳法

运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基
( 或 递 推 基 础 ) 证 明 当 n 取 第 一 个 值 n0(n0∈N*)时命题成 立,第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,只要 完成这两步,就可以断定命题对从n0开始的所有的正整 数都成立,两步缺一不可.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

必备方法 1.二项式定理 (1)求二项式定理中有关系数的和通常用“赋值法”.
n-r r (2)二项式展开式的通项公式 Tr+1=Cr a b 是展开式的第 r+1 n

项,而不是第 r 项. 2.数学归纳法 (1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与 归纳假设的结构相同的形式,然后利用归纳假设,经过恒等变 形,得到结论.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

(2) 利用数学归纳法证明三角恒等式时,常运用有关的三角 知识、三角公式,要掌握三角变换方法. (3) 利用数学归纳法证明不等式问题时,在由 n= k 成立,推

导n=k+1成立时,过去讲的证明不等式的方法在此都可利
用. (4)用数学归纳法证明整除性问题时,可把n=k+1时的被除 式变形为一部分能利用归纳假设的形式,另一部分能被除 式整除的形式.

(5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

热 点 命 题 角 度

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

命题角度一 二项式定理的应用 [命题要点] (1)二项展开式中的二项式系数和展开式系数; (2)求二项展开式的特定项;(3)二项展开式的性质的应用.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

【例1】? (2012·南师附中模拟)若二项式(1+2x)n展开式中第 6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的 项.

[审题视点]根据展开式中第6项与第7项的系数相等,得到关
于n的方程,解得n,再写出二项展开式系数,由二项式系 数的性质得到结果. [听课记录]

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

解 ∵在(1+2x)n 的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,
5 6 6 ∴C5 n2 =Cn2 ,

∴n=8, ∴二项式系数是 Cr 8,
r 1 r r 1 由 Cr 8≥C8 且 C8≥C8 ,
- +

得 r=4,
4 即展开式中二项式系数最大的项是第 5 项为 C4 2 8 .

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

二项式系数的最大项与展开式系数的最大项不同,本
r r 题的第 r+1 项的二项式系数是 Cr ,而展开式系数却是 2 C8,解 8

题时要分清.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

【突破训练 1】 (2012· 盐城模拟)已知数列{an}的首项为 1,p(x)=
n 1 n -1 2 2 n -2 n-1 n- a1 C 0 (1 - x ) + a C x (1 - x ) + a C x (1 - x ) +?+ a C n 2 n 3 n n n x 1 n (1-x)+an+1Cn x n

(1)若数列{an}是公比为 2 的等比数列,求 p(-1)的值; (2)若数列{an}是公比为 2 的等差数列,求证:p(x)是关于 x 的 一次多项式.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

(1)解 法一 由题设知,an=2n-1.
0 1 p( - 1) = 1· Cn ( - 1)0· 2n + 2· Cn ( - 1)1· 2n n 0 2n· Cn ( - 1) · 2 n 0 n 1 1 n 1 2 2 n 2 =C0 ( - 2) · 2 + C ( - 2) · 2 + C ( - 2) · 2 +?+ n n n
- - -1

2 + 22· Cn ( - 1)2· 2n

-2

+?+

n 0 Cn 2 n(-2) ·

=(-2+2)n =0.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

法二

若数列{an}是公比为 2 的等比数列,则 an=2n-1,故 p(x)=
- - - -

n 1 n 1 2 n 2 1 n 1 C0 +C2 +?+ C n (1 n (1 - x) + C n (2x)(1 - x) n (2x) (1 - x) n (2x) n -x)+Cn (2x)n=[(1-x)+2x]n=(1+x)n.

所以 p(-1)=0. (2)证明 若数列{an}是公差为 2 的等差数列,则 an=2n-1.
- - -

n 1 n 1 n 1 n 1 n p(x)=a1C0 (1 - x ) + a C x (1 - x ) +?+ a C x (1 - x ) + a C + n 2 n n n n 1 n

xn
n 1 n -1 2 2 n -2 = C0 (1 - x ) + (1 + 2)C x (1 - x ) + (1 + 4)C x (1 - x ) +?+(1+ n n n n 2n)Cn nx n n 1 2 2 n 2 n n 1 =[C0 (1 - x ) + C1 x (1 - x ) + C x (1 - x ) +?+ C x ] + 2[C n n n n nx(1
- -

2 n-2 n n -x)n-1+2C2 x (1 - x ) +?+ C n nx ].
抓住命题方向 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

由二项式定理知,
n 1 n 1 2 n 2 n n C0 +C2 +?+Cn n(1 - x) + C n x(1 - x) nx (1 - x) n x = [(1 - x)+ x]
- -

=1. 因为 kC k n=k· n! ?n-1?! -1 =n· =nCk n-1, k!?n-k?! ?k-1?!?n-k?!

n -1 2 2 n-2 n 所以 C1 x (1 - x ) + 2C x (1 - x ) +?+nCn n n nx n 1 1 2 n 2 n 1 n =nC0 x (1 - x ) + n C x (1 - x ) +?+ n C n-1 n -1 n-1x
- - - -1 n-1 0 n-1 1 n-2 =nx[Cn +Cn +?+Cn ] -1(1-x) -1x(1-x) n-1x

=nx[(1-x)+x]n-1=nx, 所以 p(x)=1+2nx. 即 p(x)是关于 x 的一次多项式.
抓住命题方向 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

命题角度二 数学归纳法的应用 [命题要点] (1)证明代数恒等式;(2)证明不等式问题;(3)证

明三角恒等式;(4)证明整除性问题.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

【例 2】?

? x ?? x? ? x? (2012· 南京模拟)记?1+2??1+22???1+2n?的展开式中,x ? ?? ? ? ?

的系数为 an,x2 的系数为 bn,其中 n∈N*. (1)求 an; p ?? q? 1? (2)是否存在常数 p,q(p<q),使 bn=3?1+2n??1+2n?,对 n∈ ? ?? ? N*,n≥2 恒成立?证明你的结论.

[审题视点]可以先用特殊值代入,求出p,q得到猜想,再用 数学归纳法证明猜想的正确性. [听课记录]
必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

抓住命题方向

上页 下页 返回



(1)根据多项式乘法运算法则,得

1 1 1 1 an=2+22+?+2n=1-2n. 1 7 (2)计算得 b2=8,b3=32. p ?? q? 1? 代入 bn=3?1+2n??1+2n?,解得 p=-2,q=-1. ? ?? ? 1 ? 1? 1 1 2 1 1? ? ?? 下面用数学归纳法证明 bn=3?1-2n-1??1-2n?=3-2n+3×4n(n≥2 ? ? ?? 且 n∈N*)
上页 下页 返回

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

1 ①当 n=2 时,b2=8,结论成立. 1 1 2 1 ②设 n=k 时成立,即 bk=3-2k+3×4k, 则当 n=k+1 时, ak 1 1 2 1 1 1 bk+1=bk+ k+1= - k+ × k+ k+1- 2k+1 3 2 3 4 2 2 2 1 1 2 1 = - k+1+ × k+1. 3 2 3 4 由①②可得结论成立.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

运用数学归纳法证明命题 P(n),由P(k)成立推证

P(k + 1) 成立,一定要用到条件 P(k) ,否则不是数学归纳法
证题.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

1 5 1 4 【突破训练 2】 (2012· 泰州中学调研)已知多项式 f(n)= n + n 5 2 1 3 1 + n - n. 3 30 (1)求 f(-1)及 f(2)的值; (2)试探求对一切整数 n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结 论. 解 (1)f(-1)=0,f(2)=17

(2)先用数学归纳法证明,对一切正整数 n,f(n)是整数. ①当 n=1 时,f(1)=1,结论成立.
抓住命题方向 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

1 5 1 4 1 3 ②假设当 n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即 f(k)=5k +2k +3k 1 1 1 1 5 4 -30k 是整数, 则当 n=k+1 时, f(k+1)=5(k+1) +2(k+1) +3(k 1 +1) - (k+1) 30
3 5 1 4 2 3 3 2 4 5 C0 k + C k + C k + C k + C k + C 5 5 5 5 5 5 = + 5 4 1 3 2 2 1 4 0 3 1 2 2 3 C0 k + C k + C k + C k + C C k + C k + C k + C 4 4 4 4 4 3 3 3 3 + - 2 3

1 (k+1)=f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1. 30
上页 下页 返回

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

根据假设 f(k)是整数,而 k4+4k3+6k2+4k+1 显然是整数. ∴f(k+1)是整数,从而当 n=k+1 时,结论也成立. 由①、②可知对一切正整数 n,f(n)是整数. (Ⅰ)当 n=0 时,f(0)=0 是整数 (Ⅱ)当 n 为负整数时,令 n=-m,则 m 是正整数,由(Ⅰ)知 f(m) 是整数, 1 1 1 1 5 4 3 所以 f(n)=f(-m)=5(-m) +2(-m) +3(-m) -30(-m) 1 5 1 4 1 3 1 =-5m +2m -3m +30m=-f(m)+m4 是整数. 综上,对一切整数 n,f(n)一定是整数.
抓住命题方向 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

阅 卷 老 师 叮 咛

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

20.证明步骤要完整,变形要有依据

一、证明的两个步骤缺一不可
【例1】? 求证:2n>2n+1(n≥3). 解 用数学归纳法证明: 第一步:(1)n=3时,23=8,2×3+1=7,不等式2n>2n+ 1(n≥3)成立.

第二步:(2)假设n=k(k≥3,且k∈N*) 时 , 不 等 式 成
立,即 2k > 2k + 1 ,则 2k + 1 = 2·2k > 2(2k + 1) = 4k + 2 = 2(k+1)+2k>2(k+1)+1,即2k+1>2(k+1)+1.所以当n =k+1时也成立.
抓住命题方向 必备知识方法 热点命题角度 阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

老师叮咛: 不验证初始值的正确性就没有归纳的基 础,没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法,证明的两 个步骤缺一不可.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

二、正确写出从n=k(k≥n0,k∈N*)到n=k+1时应添加的项 【例2】? 用数学归纳法证明(n+1)(n+2)?(n+n)=

2n·1·3·?·(2n-1),从k到k+1,左边需要增乘的代数
式为________. 解析 当n=k时,左边=(k+1)(k+2)·?·(k+k), 当 n = k + 1 时,左边= [(k + 1) + 1][(k + 1) + 2]·?·[(k + 1)+(k+1)]

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

=(k+2)(k+3)?(k+k)(k+k+1)(k+k+2) ?k+k+1??k+k+2? =(k+1)(k+2)?(k+k) k+1 =(k+1)(k+2)?(k+k)[2(2k+1)], 所以从 k 到 k+1,左边需要增乘的代数式为 2(2k+1). 答案 2(2k+1)

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回

老师叮咛:要关注从n=k(k≥n0,k∈N*)到n=k+1时两

个式子之间的实质区别,不能只看表面现象,正确写出从n
=k(k≥n0,k∈N*)到n=k+1时应添加的项,才能进行正确 的变形.如本题中就不能只添加k+1+k+1=2k+2.

抓住命题方向

必备知识方法

热点命题角度

阅卷老师叮咛

上页 下页 返回



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图