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对数与对数运算第3课时 换底公式


第二章
2.2.1 对数与对数运算

第二章
第 3 课时 换底公式

课前自主预习

温故知新 1.指数式与对数式的互化:ax=N? logaN=x (a>0,且 a≠1).

2.对数的运算性质:如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0, 那么, (1)loga(M· N)= logaM+logaN ; M log M-log N a a (2)loga N = ; (3)logaMn= nlogaM (n∈R).

自主预习 1.(1)计算 log48,log42 与 log28 的值,看它们之间有什 么关系?
3 1 log48 , ,3,log28= . 2 2 log42

[答案]

(2)计算 log1 000100 的值,看它们与 lg100,lg1 000 的值有 何联系?

[答案]

lg100 log1 000100=lg1 000.

新课教学 换底公式:

log c N (a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) log a N ? log c a
由对数的定义可以得: N ? a p ,

证明:设 log a N ? p

? log c N ? log c a
log c N ? p? log c a

p

? log c N ? p log c a

log c N 即证得 log a N ? log c a

这个公式叫做换底公式

新课教学 其他重要公式1:

log a m

n N ? log a N m
n
n

证明:由换底公式

N log a ? log am ? m a m log
a

N

n

n log

N a a a

log

即证得

N n ? log a m

log a m

n N ? log a N m
n

其他重要公式2:

1 log a b ? a, b ? (0,1) ? (1,??) logb a
log c N 证明:由换底公式 log a N ? log c a log b b log 取以b为底的对数得: a b ? log b a 1 logb b ? 1 ? log a b ? log b a
还可以变形,得 log a b ? logb a ? 1

4.利用换底公式求值: 2 (1)log54· 85= 3 . log

10 (2)log89· 2732= log . 9

[解析]

lg4 lg5 2 (1)原式= · = . lg5 lg8 3

lg9 lg32 2lg3 5lg2 10 (2)log89· 2732=lg8×lg27=3lg2×3lg3= 9 . log

思路方法技巧

命题方向 1 换底公式的应用

[例 1]

1 1 1 (1)计算 log2 · 3 · 5 . log log 25 8 9

(2)若 log34· 48· 8m=log42,求 m 的值. log log [分析] (1)将底统一成以 10 为底的常用对数; (2)等式左

边前一个对数的真数是后面对数的底数,利用换底公式很容 易进行约分求解 m 的值.

[解析]

1 1 1 lg25 lg8 lg9 (1)原式= lg2 · · lg3 lg5

?-2lg5?· ?-3lg2?· ?-2lg3? = =-12. lg2lg3lg5 lg4 lg8 lgm lg2 1 (2)由题意,得lg3· · =lg4=2, lg4 lg8 1 ∴lgm=2lg3,即 lgm=lg3 ,
1 2

∴m= 3.

规律总结: 换底公式可将不同底的对数换算为常用对数 或自然对数,是对数运算中非常重要的工具.在运用换底公 式时,若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论如 1 n n n logab=log a;logaa =n,logbb =mlogab;lg2+lg5=1 等,将 b 会达到事半功倍的效果.

(1)log927; (2)log32· 25 log59. log

[解题流程] 对数运算 ――→ 结果 性质

换底公式 原式 ――→ 同底数的对数式 及常用结论

(1)解法一:(换成以10为底)

:log 27=
9



lg 3 =
2

lg 3

3

lg 27 lg 9

3 lg 3 = 2 lg 3

3 . 2

log327 log333 3log33 解法二: (换成以 3 为底): 927= log = = log39 log332 2log33 3 = . 2 m 3 3 解法三:(利用 loganb = n logab):log927=log323 =2log33
m

3 = . 2 (2)log32· 25log59= log

lg 2 lg 5 lg 9 lg 9 lg 3 2 lg 3 ? ? ? ? ? ?2 . lg 3 lg 2 lg 5 lg 3 lg 3 lg 3

2

[例 2] [分析]

已知 log189=a,18b=5,用 a、b 表示 log3645. 本题是不同底数的对数之间的运算, 解答本题可

先利用换底公式化成同底的对数,然后根据对数的运算法则 求解.

[解析]

解法一:log189=a,18b=5,∴log185=b,

log1845 log18?9×5? log189+log185 ∴log3645=log 36= = log18?18×2? 1+log182 18 a+b = 18=2-a. 1+log18 9 a+b

解法二:∵log189=a,18b=5,∴lg9=alg18,lg5=blg18. lg9+lg5 lg45 lg?9×5? ∴log3645= = = lg36 182 2lg18-lg9 lg 9 alg18+blg18 a+b = = . 2lg18-alg18 2-a

设 log83=a,log35=b,试用 a,b 表示 log25.

[解析] b· 833=3ab. log

log35 解 法 一 : log25 = = b· 23 = b· 2333 = log log log32

解法二:因为 lg3=alg8,lg5=blg3, lg5 blg3 lg3 所以 lg25=lg2=1 =3blg8=3ab. lg8 3

探索延拓创新

命题方向 3 附加条件求值问题

[例 3]

2 1 已知 3 =4 =36,求 + 的值. a b
a b

[题眼直击]

2 1 1 a b 欲求 + ,需想办法由 3 =4 =36 求出 与 a b a

1 ,有两种办法:一种是直接由对数定义将 3a=4b=36,化成 b 对数式,另一种是 3a=4b=36 中的各等号两边取对数,可以 取以 6 为底,也可以取常用对数.

[解题流程]

[解析] b=log436.

解:∵3a=4b=36,∴由对数定义得 a=log336,

1 1 由换底公式,得 =log363, =log364, a b 2 1 ∴a+b=2log363+log364=log369+log364=log3636=1.

解法二:对 3a=4b=36 等号两边取常用对数, 得 alg3=blg4=lg36, 1 lg3 1 lg4 ∴ = , = , a lg36 b lg36
2 2 1 2lg3 lg4 lg3 ×4 ∴a+b=lg36+lg36= lg36 =1.

1 1 设 3 =5 = 15,则a+b=________.
a b

[答案]

2

[解析]

将 3a=5b= 15的两边取常用对数得,

1 lg15 lg15 alg3=blg5=2lg15,∴a=2lg3,b=2lg5, 1 1 2lg3 2lg5 2lg15 ∴ + = + = =2. a b lg15 lg15 lg15

课堂基础巩固

9 4 1.(2012· 全国高考数学文科试题安徽卷)log 2 ×log 2 =

(

) 1 A. 4 C.2 1 B. 2 D.4

[答案]

D
lg9 lg4 2lg3 2lg2 log29×log34= × = × =4 lg2 lg2 lg2 lg3

[解析]

2.log34· 48· 8m=log416,那么 m=( log log 7 A.2 C.-18 B.9 D.27

)

[答案]

B

3. 给出下列 4 个等式: ①log372=2log37; ②log253=5log23; 2 ③log84=3;④log A.1 C.3
24=4.其中正确的等式的个数为(

)

B.2 D.4

[答案] C

x 4.已知 2 =3 ,则 =( y
x y

) 3 D.lg2

lg2 A.lg3

lg3 B.lg2

2 C.lg3

[答案]
[解析]

B
x ∵2 =3 ,∴log22 =log23 ,∴x=ylog23,∴ = y
x y x y

lg3 log23=lg2.故选 B.

1 5 5.计算 lg -lg +lg12.5-log89· 278 的值等于( log 2 8 1 A.3 C.3 5 B.3 2 D.-3

)

[答案]

A

[解析]
-1

1 5 因为 lg -lg +lg12.5-log89· 278 log 2 8

lg9 lg8 =lg2 -(lg5-lg8)+lg25-lg2-lg8· lg27 2lg3 =-lg2-lg5+3lg2+2lg5-lg2-3lg3 2 2 1 =lg5+lg2- =1- = .故选 A. 3 3 3

6. log32=m, 35=n, lg5 用 m, 表示为________. 若 log 则 n

[答案]

n m+n

log35 log35 [解析] lg5= = log310 log3?2×5? log35 n = = . log32+log35 m+n

7.已知 log32=a,3b=5,试用 a、b 表示 log3 30.

[解析] ∴log3

根据题意得:b=log35 1 1 30= log3(3×10)= (1+log310) 2 2

1 1 = (1+log32+log35)= (1+a+b). 2 2

课堂小结
? 1、换底公式:

log c N (a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) log a N ? log c a

2、其他公式: log m a

n N ? log a N m
n

1 log a b ? a, b ? (0,1) ? (1,??) log b a

点滴积累 丰富人生

谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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