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湖北省老河口市第二中学2014-2015学年高二下学期期末数学(文)试题

湖北省老河口市第二中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试 文科数学试题
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分) 的准线方程为( )

1.抛物线

A. 2.已知

B.

C.

D. 的直线 交椭圆于 两点,若

是椭圆的两个焦点,过 )

的周长为 8,则椭圆方程为(

A. 3.已知抛物线 曲线交于点

B. ,圆 (如图所示) ,则

C. ,过点

D. 作直线 ,自上而下依次与上述两 . ( )

A.等于 1

B.最小值是 1

C.等于 4

D.最大值是 4

4.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 12 x ? a ,其中 a ? 16 ,则 f ( x ) 零点的个数是 ( ) A.0 个或 1 个 B.1 个或 2 个 C. 2 个 D.3 个

5. 设双曲线

的渐近线方程为

, 则该双曲线的离心率为 (



A.

B.2

C.

D.

6.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( A. 7 米/秒 7. 曲线 ) B. 6 米/秒 在点 C. 5 米/秒 D. 8 米/秒 上

处的切线为 , 则直线 上的任意点 P 与圆 )

的任意点 Q 之间的最近距离是(

A. 8.已知函数

B.

C. 的图象在 ) C.

D.2 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的

面积为 2,则实数 的值为( A.2 B.

D. ,则双曲线的离心率

9.双曲线虚轴上的一个端点为 M,两个焦点为 F1 F2, 为( )

A.

B.

C. )

D.

10.下列命题错误的是 ( A、 命题 “若 无实数根,则 B、“ ”是“ ,使得 , 则方程 ”

有实数根”的逆否命题为“若方程

”的充分不必要条件 ,则 均为假命题 ,均有

C、对于命题 D、 若

为假命题,则

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分

二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分)

11.下列五个命题: ① ② ; 的充要条件是 ; ; ;

③将钟的分针拨快 10 分钟,则分针转过的角度是 ④若 , ,则 的最小值为

⑤若函数

对任意的

都有

则实数

的取值范围是

. (写出所有正确命题的序号)

其中正确命题的序号为

12.已知直线

是函数

的切线,则实数
2

______.

13.已知命题 p:? x∈R,使 tanx=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}.下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧( q)”是假命题;③命题“( p)∨q”是真命题; ④命题“( p)∨( q)”是假命题.其中正确的是________.(填所有正确命题的序号)

14.若函数



处取极值,则



15.设

分别是椭圆

的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是

的中点,

,则 P 点到椭圆左焦点距离为________. 评卷人 得分 三、解答题(75 分)

16. (本小题满分 12 分)已知





(1)当 (2)对一切

时,求函数 ,

的单调区间; 恒成立,求实数 的取值范围.

17. (本小题满分为 16 分)已知函数 (1)若 (2)若 ,求函数 ,求函数



的极值,并指出极大值还是极小值; 在 上的最值;

(3)若

,求证:在区间

上,函数

的图象在

的图象下方.

a (a ? 0) , (1)求函数 f ( x) 的单调区间; x 3 (2)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值是 ,求 a 的值。 2
18.(6 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? 19. (本小题满分 13 分)已知动点 P 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比值为

. (Ⅰ)求动点 P 的轨迹的方程; (Ⅱ) 若过点 F 的直线与点 P 的轨迹相交于 M, N 两点 (M, N 均在 y 轴右侧) , 点 设 A,B,M,N 四点构成的四边形的面积为 S,求 S 的取值范围. 20. (本题满分 6 分, 第 (Ⅰ) 问 6 分, 第 (Ⅱ) 问 6 分) 已知函数 (Ⅰ)当 (Ⅱ)若函数 时,求 的最小值; 、 ,

在区间(0,1)上为单调函数,求实数 的取值范围

21. (本小题满分 10 分)设 函数 (Ⅰ)当 时,求 的极值;

.

(Ⅱ)设 (Ⅲ)当 时,求

上单调递增,求 的取值范围; 的单调区间. 参考答案

1.D 【解析】

试题分析:



,抛物线开口向上,且

,所以其准线方程为

,选 考点:抛物线的标准方程及其几何性质. 2.D 【解析】 试题分析:本题是根据椭圆的性质来解答的,由 且 c=1,又 所以得 的周长为 8,知 4a=8,得 a=2, , ,知椭圆的焦点在 x 轴上,

所以得椭圆的标准方程为 考点:椭圆标准方程的性质. 3.A 【解析】 试题分析:设直线 ,根据抛物线定义得

.故选 D.

,代入抛物线方程,得 , 故

.设 ,

, ,所以

,而 选 A. 考点:直线与二次曲线位置关系. 4.B

,代入上式,得

.故

( ? ?, ? 2) 【解析 】 因为 f ' ( x) ? 3x 2 ? 12 , 设 f ' ( x) ? 3x2 ? 12 ? 0 , 得 x ? ?2 , 所以 f ( x ) 在
( ? 2, 2) (2, ? ?) 和 上单调递增, f ( x ) 在 上单调递减,因此, f ( x ) 在 x ? ?2 时取得极大值
f (?2) ? a ? 16 , f ( x ) 在 x ? 2 时取得极小值 f (2) ? a ? 16 ,
由 a ? 16 得, a ? 16>0 , a ? 16 ? 0 ,因此 f ( x ) 与 x 轴的交点有 1 个或 2 个 . 考点:考察函数单调性,函数极值的判断以及零点的判定方法. 5.C 【解析】

试题分析:由题可知,双曲线

的渐近线方程为

,于是有

,即

,由

,得到

,即



考点:双曲线的渐近线定义双曲线的离心率 6.C 【解析】 2 试题分析:∵物体的运动方程为 s=1-t+t ,s′=-1+2t,s′|t=3=5。 考点:导数的应用。 7.A 【解析】 试题分析: 又 ,∴ , ,故切线 方程为: 为圆心,以 为半径的圆,圆心 , 到 的距离

表示的是以

,∴直线 上的任意点

与圆

上的任意点

之间的最

近距离是

,故选



考点:抛物线的标准方程、圆的标准方程、点和圆的位置关系. 8.C 【解析】 试题分析:因为 率为 ,故函数 ,此时切线方程为 的图象在 即 处的切线的斜 ,令

,令

,所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为

,所以

,故选 C.

考点:1.导数的几何意义;2.三角形的面积计算公式. 9.B 【解析】

试 题 分 析 : 根 据 双 曲 线 对 称 性 可 知 ∠ OMF2=60° , ∴

,即

,∴

,∴

.故选 B.

考点:双曲线的简单性质. 10.D 【解析】 试题分析:命题若“若 ,但 的充分不必要条件 , 为假命题 ,或 则 ”的逆否命题为“若 ,得 ,或 ,则 ,“ ” ; 对;由 能推出 ” 均

”是“ 为假命题, 则

对; 特称命题的否定是全称命题, 对; 若 错

为一真一假,

考点:命题的真假性. 11.②. 【解析】① ② 的充要条件是 ,左边 ,右边 ,错误;

,正确; ,错误; ;

③将钟的分针拨快 10 分钟,因为是顺时针旋转,则分针转过的角度应是④若 , , ,因为 的符号不定,所以 的最小值为

⑤若函数

对任意的

都有

, 即函数为

减函数,则

,解得

,错误;故选②.

考点:命题真假性的判定. 12. .

【解析】

试题分析:设切点为 ∴ ∴ , .

,则

,∴

,又∵



考点:利用导数研究函数在某点上的切线方程. 13.①②③④ 2 【解析】命题 p:? x∈R,使 tanx=1 正确,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也正确, ∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧( q)”是假命题;③命题“( p)∨q”是真命题; ④命题“( p)∨( q)”是假命题.

14.3 【解析】

试题分析: 考点:函数导数与极值 15.4 【解析】



处取极值

试题分析:因为

,所以 的中点, ,



又因为 P 为椭圆上一点,M 是 所以 ,所以

,所以 P 点到椭圆左焦点距离为 4.

考点:椭 圆 的 性 质 .

16. (1) 【解析】

的单调递增区间

,递减区间是

;(2)

.

试题分析: (1) 区间;

时,求导,解



可得函数

的递增区间和递减

(2)对一切



恒成立



恒成立,

令 试题解析: (1)

,求 时,

在区间 ,

上的最小值即可. -





,当









所以

的单调递增区间 ,

,递减区间是 恒成立,即 恒成立.

(2)对一切

也就是



恒成立.

令 在 上

,则 ,在 上 ,所以 ,因此, 在 处取极小值,也是最

小值,即

考点:导数与函数单调性、极值、不等式恒成立与分离参数.

17 . ( 1 )

的 极 小 值 是

, 无 极 大 值 .( 2 )













上恒成立,



区间

上递减,

在区间

上,函数

的图象在

的图象下方【解析】

试题分析: (1)首先由函数

即可得出其定义域为

,然后求出其导

函数并判断导函数大于 0 和小于 0 时自变量 满足的区间, 进而判断函数的单调区间, 从而可 得到函数的极值; (2)若 以函数 在 ,首先求出其导函数并易判断其导函数在 上恒为正的,所

上的递增,即可求出函数

的最大值和最小值; (3)要证明在区间

上 , 函 数

的 图 象 在

的 图 象 下 方 , 即 证 明

在 断函数的单调性,进而比较函数 论. 在

上恒小于 0,于是求出其导函数并判

上的最大 值与 0 的大小关系即可得出证明的结

试题解析: (1) 当 时 上递增,

的定义域是 在

, 上递减;当 时

. 在

的极小值是

,无极大值.

( 2)

恒成立对





上递增,

证明:令





上恒成立,

在区间

上递减,

在区间

上,函数

的图象在

的图象下方-

考点:1. 导数在研究函数的极值中的应用;2.导数在求区间上的最值;3.导数在证明不等式 中的应用; 18. (1)在 (0, a ) 上是单调递减, ( a, ??) 上是单调递增的 (2) e

【解析】(1)由对数函数的性质可知,f(x)的定义域是(0, ?? ) 对函数 f ( x) ? ln x ?
'

a 1 a x?a ' 求导得 f ? x ? ? ? 2 ? x x x x2 ,

当f 当f

? x? >0,即 x>a 时,f(x)是增函数 ? x? >0,即,0<x<a 时,f(x)是减函数
3 ,不符合题意 2

'

所以 f(x) 在 (0, a ) 上是单调递减, ( a, ??) 上是单调递增的 (2)当 0<a≤1 时,f(x)的最小值为 f(1)=a,此时 a=

3 ,此时 a= e 2 a 3 当 a≥e 时,f(x)的最小值是 f(e)=1+ e > 2 ,不符合题意
当 1<a<e 时,f(x)的最小值是 f(a)=lna+1= 所以 a= e

19. (Ⅰ)动点 P 的轨迹的方程 【解析】

. (Ⅱ)面积 S 的取值范围是



试题分析: (Ⅰ)设动点

,根据题意 可得

,化简即可得 方程为

. (Ⅱ)由(Ⅰ) ,轨迹是以 ON, 设直线 MN 方程为 , 点

为焦点,离心率为 ,

的椭圆,如图,连结 OM、 ,

, 由于 M, N 均在 y 轴右侧, 则

, 且

, 则

.联立 数的关系可得 积 S 的范围.

消去 x,得 从而得四边形的面积(含

,利用根与系 ).然后利用函数的性质可求得面

试题解析: (Ⅰ)设动点

,则



化简得

. 4分

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,轨迹是以 MN 方程为 ,点

为焦点,离心率为 , ,

的椭圆,如图,连结 OM、ON,设直线

联立

消去 x,得









所以 由于 M,N 均在 y 轴右侧,则 , ,且 ,





, 8分



,则

,则

方法一、



故面积函数



单调递减,所以



所以面积 S 的取值范围是



方法二、



因为

,则



所以





,即



所以面积 S 的取值范围是 . 13 分 考点:1、轨迹方程;2、直线与椭圆的关系;3、函数的最值.

20. (Ⅰ)3; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: 数 为混合型函数,求其最小值一定要通过对其进行求导,找到增减区间;函 在区间是增函数和减函数进行讨论,同

在区间(0,1)上为单调函数,可以假设

样需要进行求导,来找到 的取值范围。 试题解析: (Ⅰ)已知函数的表达形式是 所以显然, 的取值范围是

;首先对

进行求导得到 ,得到 的最小值为 的增区间为

,求最大值和最小值问 ;令 。 ,得

题,需要求增减区间,那么令 到 的减区间为(0,1) ,所以

(Ⅱ)首先对 义域,所以只需对 么即求

进行求导得到 进行讨论。因为函数

,因为

是 的定

在区间(0,1)上为单调函数,那 配方得到

在区间(0,1)上或者恒大于 0 或者恒小于 0;将

,所以 间(0,1)上为增函数,那么若函数 要令 令 即可,解得 即可,解得

的对称轴为

,开口向上,在区 ,只需

在区间(0,1)上为单调增函数,即 ;若函数 ,所以

在区间(0,1)上为单调减函数,即只需 。

考点:1.利用导数求最值的应用;2.二次函数的性质.

21. (Ⅰ) (Ⅱ)

,没有极大值

(Ⅲ)当

时,函数的单调递减区间为

,单调递增区间为





时,函数的单调递减区间为

,单调递增区间为





时,函数的单调递减区间为



当 【解析】

时,函数的单调递减区间为

单调递增区间为

试题分析: (1) .求可导函数的极值求函数解析式的步骤一、 求导数 的根;三、检查 与方程

; 二、 求方程 在

的根左右值的符号,如果左正右负,那么 在这个根处取得极小值,

这个根处取得极大值,如果左负右正,那么 (2)若可导函数 在指定的区间

上单调递增(减) ,求参数问题,可转化为

恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到 (3)函数的单调性与导 数之间的关系 且不恒为 0 时单调递增, 且不恒为 0 时单调递减,如果有字

母系数,要注意分类讨论 试题解析: (Ⅰ)函数 的定义域为 1分



时,

,∴

2分





随 变化如下表:

— 减函数

0 极小值

+ 增函数

故, (Ⅱ)由题意,

,没有极大值. ,在

4分 上单调递增,[

在 设 在 上恒成立,

上恒成立, 5分

当 当 得 当 所以

时, 时, ,所以 时,

恒成立,符合题意. 在 , 在 上单调递增, 8分 上单调递减,不合题意,

6分 的最小值为 ,

(也可以用分离变量的方法)

10 分

(Ⅲ)由题意,

,令





10 分



,由



;由



11 分



,①当

时,





时,



时, ②当 时,

; ;

③当 13 分

时,



,

;

,

综上,当

时,函数的单调递减区间为

,单调递增区间为



当 当

时,函数的单调递减区间为 时,函数的单调递减区间为 ;

,单调递增区间为





时,函数的单调递减区间为

单调递增区间为



14 分

考点:函数的极值,单调性与导数及分类讨论思想



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