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山东省菏泽市高三数学上学期统考试题(b)理(扫描版)_图文

山东省菏泽市 2015 届高三理科数学上学期统考试题(B) (扫描版)

高三第一学期期中考试数学(理)试题答案 一、 选择题 1.D 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.C 9.C 10.A 二、填空题

11.

? 4

12.[2,4]

13.

3 π 8

14.(- ∞,-3) ∪(6, ﹢∞)

15. ①②④

三、解答题 16.(共 12 分)解: (1) f(x)=a·b =2sin x+2sinxcosx=2×

1 ? cos 2 x π +sin2x= 2 sin(2x- )+1 2 4 π π π π 3 π 由- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k ? z ,得 - +kπ ≤x≤ +kπ ,k ? z 2 4 2 8 8 π 3 π ∴f(x)的单调递增区间为[- +kπ , +kπ ]( k ? z ) -----6 分 8 8 π π π (2)由题意得,g(x)= 2 sin[2(x+ )- ]+1= 2 sin(2x+ )+1 6 4 12 7 π π 5 π π π 由 ≤x≤ 得, ≤2x+ ≤ ∴0≤g(x) ≤ 2 +1 ----12 分 12 4 12 12 4
2

∴g(x)的最大值为 2 +1,最小值为 0

∴-a≥3 或 4-a<-1, ∴a≤-3 或 a>5 ∴a 的取值范围是(-∞,-3] ∪(5,+ ∞). 18.(共 12 分)解:(1)∵ ∴ 即:cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-cosBsinA ∴sin(A+B)=2sin(B+C)即 sinC=2sinA (2)由(1)得,
2

……12 分



sin C =2 sin A

-----6 分

c sin C = =2 ∴c=2a a sin A
2 2

又∵b=2 ∴b =c +a -2ac·cosB

即 2 =4a +a -2a×2a×

2

2

2

1 , 4

解得 a=1(负值舍去),∴c=2,

又∵cosB=

1 15 ,∴sinB= , 4 4
-------12 分

故 S△ABC=

1 1 15 15 acsinB= ×1×2× = 2 2 4 4

19、(共 12 分)

20、(共 13 分)解:(1)∵h(x)=
,

㏑x ,(x>0) x

∴h’(x)=

1-lnx x
2

由 h (x)>0 且 x>0,得 0<x<e, , 由 h (x)<0 且 x>0,x>e ∴函数 h(x)的单调增区间是(0,e],单调减区间是[e,+∞) ∴当 x=e 时,h(x)max=

1 e
2

------6 分

(2)∵xf(x)≥-2x +ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立 2 2 即 xlnx-x ≥-2x +ax-12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立 亦即 a≤lnx+x+

12 对一切 x∈(0,+∞)恒成立 x
x +x-12
2

(x-3)(x+4) = x
2

12 设 ? (x)=lnx+x+ , ? ’(x) = x

x

2

∴在 ? (x)在(0,3]上递减,在[3,+∞)上递增 ∴ ? (x)min= ? (3)=7+ln3, ∴a≤7+ln3 --------13 分
2

21、(共 14 分)解:(1)f’(x)=x-ax = -ax(x-

1 ) a

∴当 f’(x)=0 时,x=0 或 x=

1 又∵a>0 a 1 )时,f’(x)>0; a

∴当 x∈(-∞,0)时,f’(x)<0;当 x∈(0, 当 x∈(

1 ,+∞)时,f’(x)<0 a

∴f(x)的极小值为 f(0)=0;f(x)的极大值为 f( (2) ∵a=e ∴g(x)=
x

1 1 )= ---5 分 a 6a 2
x

1 2 1 3 x x - ex +e (x-1) 2 3
x

g’(x)=x(e -ex+1)

①记 h(x)=e -ex+1 则 h’(x)=e -e 当 x∈(-∞,1)时,h’(x)<0,h(x)是减函数 当 x∈(1,+ ∞)时,h’(x)>0,h(x)是增函数 ∴h(x) ≥h(1)=1>0 则在(0,+ ∞)上,g’(x)>0;在(-∞,0)上,g’(x)<0 -第 3 页(共 4 页)∴函数 g(x)的单调递增区间是(0,+ ∞),单调递减区间是(-∞,0).—10 分 ②证明:x>0 时,g’(x)=x(e -ex+1) ≥1+㏑ x ,即 e -ex+1≥
x x

1 ? ㏑x x
1? x x

由①得,h(x)=e -ex+1≥1,记 ? (x)=1+㏑ x-x(x>0),则 ? ’(x)=
x

在区间(0,1)上, ? ’(x)>0, ? (x)是增函数; 在区间(1,+ ∞)上, ? ’(x)<0, ? (x)是减函数 ∴ ? (x) ≤ ? (1)=0,即 1+㏑ x-x≤0,

1 ? ㏑x ≤1 x
----14 分

∴e -ex+1≥1≥

x

1 ? ㏑x , ,即 g (x) ≥1+㏑ x 恒成立 x



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