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1.4.3正切函数的性质与图象


1.4.3 正切函数的图象、性质
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪

教学过程: 一、复习引入: 正弦函数、余弦函数的性质 二、讲解新课: 1、正切函数 y = tan x 的定义域是什么? 2、正切函数是不是周期函数?

π x | x ≠ + kπ , k ∈ z 2

π Q tan ( x + π ) = tan x x ∈ R, 且x ≠ kπ + , k ∈ z , 2
∴ π 是 y = tan x x ∈ R, 且x ≠ kπ +



π

, k ∈ z 的一个周期。 2

3、奇偶性:由诱导公式 tan( x ) = tan x, x ∈ R, 且x ≠ kπ + 可知,正切函数是奇函数,它的图象关于原点 O 对称。
1

π

,k ∈ z 2

练习正切线,画出下列各角的正切线:

4、单调性: 由正切线的变化规律可以得出,正切函数在 ( 切函数在开区间 ( 5、值域:

π π

π
2

+ kπ ,

π
2

, ) 是增函数,又由正切函数的周期性可知,正 2 2

+ kπ ), k ∈ Z 内都是增函数。

当 x 大于 当 x 小于

π
2

且无限接近

π
2

时,正切线 AT 向 y 轴的负方向无限延伸;

π
2

且无限接近

π
2

时,正切线 AT 向 y 轴的正方向无限延伸。

因此, y = tan x , x ∈ ( 6、作 y = tan x , x ∈

π π

, ) 内可以取任意实数,但没有最大值、最小值。 2 2

π π , 的图象 2 2

说明: (1)正切函数的最小正周期是 π ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数
2

y = tan x

x ∈ R ,且 x ≠

π
2

+ kπ (k ∈ z ) 的图象,称“正切曲线” 。
y

3 π 2

π



π
2

O

π
2

π

3 π 2

x

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x = kπ + 支曲线组成的。

π
2

( k ∈ Z ) 所隔开的无穷多

三、例题分析: 例 1、求函数 y = tan(

π

x + ) 的定义域、周期、单调区间 2 3

π

解:函数的自变量应满足:

π

2

x+

π

3

≠ kπ +

π

2

,k ∈Z

得 x ≠ 2k + , k ∈ Z , ∴所求定义域为 x | x ≠ 2k + , k ∈ Z 周期 T = 2 单调增区间是

1 3



1 3



1 5 + 2k , + 2k ( k ∈ z ) 3 3

五、课堂小结: 1、利用正切线画出正切函数图象及观察图象得出性质; 2、画一个周期的简图的方法(两线三点法) ; 3、在求定义域时特别注意正切函数自身有意义 六、课后作业
3

七、板书设计: 正切函数的性质与图象 正切函数的性质 图象 课后反思: 例题、练习

4


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