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江西省吉安市第一中学高二数学上学期期中试题 理

江西省吉安市第一中学 学年高二数学上学期期中试题 理

1. 直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与直线 4 x ? m y ? 7 ? 0 平行,则它们之间的距离为( )

A. 4

2 13 B. 13

5 13 C. 26

7 10 D. 20

2. 一束光线自点 P(1,1,1)发出,遇到平面 那么光所走的路程是( ) A.

xoy 被反射,到达点 Q(3,3,6)被吸收,

37

B.
2

47

C.

33

D.

57

3. 命题“ ?x ? R, x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题,是“ ? 16 ? a ? 0 ”的( ) A. 充要条件 C. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? A1 B1C1 D1 中 , M 、 N 分 别 为 棱 AA1 和 BB1 的 中 点 , 则 4. 在 正 方 体 A B C D

sin ? CM , D1 N ? 的值为( )
1 A. 9 4 5 B. 9 2 5 C. 9 2 D. 3

5. A、B 两点相距 4cm ,且 A、B 与平面 ? 的距离分别为 3cm 和 1cm ,则 AB 与平面 ? 所成 角的大小是( ) A. 30° B. 60° C. 90° D. 30°或 90°

6. 某圆的圆心在直线 y ? 2 x 上,并且在两坐标轴上截得的弦长分别为 4 和 8,则该圆的方 程为( ) A. C. D.

?x ? 2?2 ? ? y ? 4?2 ? 20

B.

?x ? 4?2 ? ? y ? 2?2 ? 20

?x ? 2?2 ? ? y ? 4?2 ? 20或?x ? 2?2 ? ? y ? 4?2 ? 20 ?x ? 4?2 ? ? y ? 2?2 ? 20或?x ? 4?2 ? ? y ? 2?2 ? 20
7. 正三棱锥 P ? ABC 中,∠APB=∠BPC=∠CPA=90°,PA=PB=PC= a ,点 M 是 AB 的中点,

一只蚂蚁沿锥体侧面由点 M 运动到点 C,最短路线长是( )
-1-

1? 5 a 2 A.

3 a B. 2

2? 2 a 2 C.

D.

10 a 2


8. 某四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于(

A. 1 9. 设点

B. 2

C. 3

D. 4

M ?x0 , 1? ,若在圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上存在点 N,使得∠OMN=30°,则 x0 的取值范
? 3 3? , ?? ? 3 3 ? ? D.

围是( )

A. ? 3,

?

3

?

? 1 1? ? , ? ? 2 2? ? B.

C. ?? 2, 2?

12. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,则下列四个命题:

-2-

① p 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A ? D1 PC 的体积不变; ② ③

p 在直线 BC1 上运动时,直线 AP 与平面 ACD1 所成角的大小不变; p 在直线 BC1 上运动时,二面角 P ? AD1 ? C 的大小不变;

④M 是平面 A1 B1C1 D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是过 D1 点的直线 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 第 II 卷(非选择题) 二、填空题: (本大题共 4 小题;每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 “ x ? ?2, 5? 或 x ? ?x | x ? 1或x ? 4?” 是假命题, 则 x 的取值范围是__________。 (最 后结果用区间表示) 14. 以棱长为 1 的正方体的各个面的中心为顶点的几何体的体积为__________。 15. 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 及直线 x ? y ? 5 ? 0 截圆 C 所得的弦长均为 10,则圆 C 的面积 是__________。 16. 下列四个命题:①圆 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 4 与 直线 x ? 2 y ? 0 相交,所得弦长为 2;
2 2

C. 3

D. 4

②直线 y ? kx 与圆 ?x ? cos? ? ? ? y ? sin ? ? ? 1恒有公共点;③若棱长为 3 的正方体的顶点
2 2

都在同一球面上,则该球的表面积为 108? ;④若棱长为 2 的正四面体的顶点都在同一球面

3 ? 上,则该球的体积为 2 。其中,正确命题的序号为__________。 (写出所有正确命的序号)
三、解答题: (共 6 大题,10+12+12+12+12+12=70 分)

-3-

17. 已知 k ? R 且 k ? 1 ,直线

l1 : y ?

k 1 x ? 1 l2 : y ? x?k 2 k ?1 和 。

(1)求直线 l1 ∥ l 2 的充分条件; (2)当 x ? ?? 1, 2? 时,直线 l1 恒在 x 轴上方,求 k 的取值范围。 18. 如图,在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E,F 分别是 AB,BD 的中点。

求证: (1)直线 EF∥面 ACD; (2)平面 EFC⊥面 BCD。

a? ? f ?x ? ? lg? ax2 ? x ? ? p 16 ? 的定义域为 R;命题 q : 3 x ? 9 x ? a 对一切的 ? 19. 设命题 :函数 实数 x 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围。
20. 圆 M 的圆心在直线 y ? ?2 x 上,且与直线 x ? y ? 1 相切于点 A(2,-1) , (1)试求圆 M 的方程; (2)从点 P(3,1)发出的光线经直线

y ? x 反射后可以照在圆 M 上,试求发出光线所

在直线的斜率取值范围。 21. 如图,在七面体 ABCDMN 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB ⊥平面 ABCD,且 MD=2,NB=1,MB 与 ND 交于 P 点。

(1)在棱 AB 上找一点 Q,使 QP∥平面 AMD,并给出证明; (2)求平面 BNC 与平面 MNC 所成锐二面角的余弦值。 22. 如图,在直角坐标系 xOy 中,圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴负半轴交于点 A,过点 A 的直
2 2

-4-

线 AM,AN 分别与圆 O 交于 M,N 两点。

(1)若

k AM ? 2, k AN ? ?

1 2 ,求△AMN 的面积;

- 5 )作圆 O 的两条切线,切点分别为 E,F,求 PE ? PF ; (2)过点 P( 3 3,
(3)若

k AM ? k AN ? ?2 ,求证:直线 MN 过定点。

-5-

参考答案: 第 I 卷(选择题) 1. C 2. D 11. C 12. C 3. A 4. B 5. D 6. C 7. D 8. B 9. A 10. C

第 II 卷(非选择题)

13. [1, 2) 三、解答题

1 14. 6

15. 27?

16. ②、④

18. 【解析】 (1)∵E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD,

∵EF∥ ? 面 ACD,AD ? 面 ACD,∴直线 EF∥面 ACD; (2)∵AD⊥BD,EF∥AD,∴EF⊥BD, ∵CB=CD,F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD 又 EF ? CF=F,∴BD⊥面 EFC, ∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD
-6-

19. 【答案】 a ? 2 【解析】

?a ? 0 ? ? a2 a 2 △ ? 1 ? ?0 x, ax ? x ? ? ? 4 16 0 恒成立,则需满足 ? 试题解析:命题 p :对于任意的
?a?2

1? 1 1 1 ? q : g ?x ? ? 3 x ? 9 x ? ?? 3 x ? ? ? ? ? a ? 2? 4 4 4 ?
因为“

2

4分

p 且 q ”为假命题,所以 p , q 至少一假

p q (1)若 真 假,则 a ? 2 且

a?

1 4 , a 是空集。 1 1 , ?a?2 4 4 1 1 , a? 4 4

(2)若

p 假 q 真,则 a ? 2 且

a?

(3)若

p 假 q 假,则 a ? 2 且

a?

所以 a ? 2

20. 【答案】 (1) ?x ? 1? ? ? y ? 2?
2

2

? 46 , ?? 23 ? 2; (2) ?

46 ? ? 23 ?

【解析】 试题解析: (1) 由题意知: 过 A(2,-1)且与直线 x ? y ? 1 垂直的直线方程为: y ? x ? 3 ∵圆心在直线: y ? ?2 x 上,

? y ? ?2 x ?x ? 1 ?? ? y ? x ? 3 ? y ? ?2 即 M(1,-2) ∴由 ? ,且半径
r ?| AO1 |?

?2 ? 1?2 ? ?? 1 ? 2?2
2

? 2
2



∴所求圆的方程为: ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 2 。 (2)圆 M 关于直线

y ? x 对称的圆为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 2 ,
2 2

设发出光线为 y ? 1 ? k ?x ? 3? 。

-7-

化简得 kx ? y ? 3k ? 1 ? 0 ,由

2?

| ?2k ? 1 ? 3k ? 1 | 1? k
2

k??


46 23 ,

? 46 , ?? 23 所以发出光线所在直线的斜率取值范围为 ?
21. 【答案】

46 ? ? 23 ?



1 试题解析: (1)当 BQ= 3 AB 时,有 QP∥平面 AMD。
证明:因为 MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,所以 MD∥NB,

QB 1 QB NB BP NB 1 ? ? ? ? QA 2 QA MD ,所以在△MAB 中,OP∥AM。 PM MD 2 所以 ,又 ,所以
又 OP ? 面 AMD,AM ? 面 AMD,∴OP∥面 AMD。

(2)以 DA、DC、DM 所在直线分别为 x 轴、 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 D(0, 0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,M(0,0,2)N(2,2,1) ,所以 CM ? (0,-2,2) ,

y

CN ? (2,0,1) , DC ? (0,2,0) ,
? ?n1 ? CM ? 0 ?? 2 y ? 2 x ? 0 ? ? ?n ? CN ? 0 2 x ? z ? 0 ,所 x, y , z ) 设平面 CMN 的法向量为 n1 ? ( ,则 ? 1 ,所以 ?
以 n1 =(1,-2,-2) 。 又 NB⊥平面 ABCD,∴NB⊥DC,BC⊥DC,∴DC⊥平面 BNC,∴平面 BNC 的法向量为

n2 ? DC ? (0,2,0)
cos? ? | n1 ? n2 | | n1 | ? | n2 | ? 4 2 ? 3? 2 3

设所求锐二面角为 ? ,则 22.



-8-

16 528 【答案】 (1) 5 ; (2) 13 ; (3)见解析
【解析】

(3)由题知直线 AM 和直线 AN 的斜率都存在,且都不为 0,不妨设直线 AM 的方程

y ? k ?x ? 2? ,则直线 AN 的方程为

y??

? y ? k ? x ? 2? 2 ? 2 ?x ? 2? x ? y 2 ? 4 ,所以 k ,所以,联立方程 ?

2 ? 2k 2 ?x ? 2? 1 ? k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,得 x ? ?2 或 x ? 1 ? k 2

??

?

?

? 2 ? 2k 2 ? 2k 2 ? 8 ? 8k ? 4k ? ? ? M? , N ? 1? k 2 1? k 2 ? ? 4? k2 , 4? k2 ? ? ? ? ?, 所以 ,同理, ?
2 , 0 因为 x 轴上存在一点 D( 3 ) ? k DM ? 3k 3k k DN ? 2 k ? 2 ,同理 k ?2 。
2

所以,

所以

k DN

? 2 ? ? ? , 0? ? k DM ,所以,直线 MN 过定点 ? 3 ?。

-9-



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