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【整理2007--2011】历年高考试题分类汇编数学(理科)之专题


年高考试题数学(理科) 2011 年高考试题数学(理科) 选修系列: 选修系列:坐标系与参数方程
一、选择题: 选择题 1. (2011 年高考安徽卷理科 5) 5)在极坐标系中,点 (2,

π
3

) 到圆 ρ = 2 cos θ 的圆心的距离为
(D)

(A)2

(B)

4+

π2
9

(C)

1+

π2
9

3

【命题意图】本题考查了极坐标方程与平面直角坐标系中的一般方程的的互化,属于容易题. 【答案】D

3 2 2 角坐标方程为 x + y = 2 x ,即 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1 ,其圆心为(1,0) ,
∴所求两点间距离为 (1 ? 1) + ( 3 ? 0) = 3 ,故选 D.
2 2

【解析】极坐标系中的点(2,

π

)化为直角坐标系中的点为(1, 3 ) ;极坐标方程 ρ = 2 cos θ 化为直

2. (2011 年高考北京卷理科 3) 年高考北京卷理科 3)在极坐标系中,圆 ρ = ?2sin θ 的圆心的极坐标是 A. (1, )

π 2

B. (1, ? )

π 2

C. (1, 0)

D. (1, π)

【命题意图】本题考查极坐标方程与直角坐标系下方程的互化及点互化,是简单题. 【解析】 ρ = ?2sin θ ? x 2 + ( y + 1) 2 = 1 ,圆心直角坐标为(0,-1) : ,极坐标为 (1, ? 二、填空题: 填空题

π
2

) ,选 B。

? x = 8t 2 , 1.(2011 年高考天津卷理科 11)已知抛物线 C 的参数方程为 ? 年高考天津 天津卷理科 ) 为参数) ,若斜率 . ( t 为参数) 若斜率 , ? y = 8t.

坐标方程为 答案: x 2 + y 2 ? 4 x ? 2 y = 0 。 解析:做坐标系与参数方程的题,大家只需记住两点:1、 x = ρ ? cos θ , y = ρ ? sin θ ,2、 ρ 2 = x 2 + y 2 即可。根据已知 ρ = 2 sin θ + 4 cos θ = 2 ?

y

ρ

+4

x

ρ

, 化简可得:ρ 2 = 2 y + 4 x = x 2 + y 2 ,

所以解析式为:

x2 + y 2 ? 4x ? 2 y = 0

9)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 3. (2011 年高考湖南卷理科 9)

? x = cos α , ( α 为参数)在 ? y = 1 + sin α

极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ρ ( cos θ ? sin θ ) + 1 = 0 ,则 C1 与 C2 的交点个数为 答案:2 解析:曲线 C1 : x + ( y ? 1) = 1 ,C2 : x ? y + 1 = 0 ,由圆心到直线的距离 d =
2 2



| 0 ? 1 + 1| = 0 < 1 ,故 C1 与 2

C2 的交点个数为 2.
14)(坐标系与参数方程选做题) 4. (2011 年高考广东卷理科 14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为

5 2 ? ? x = 5 cos θ ?x = t ? (0≤θ <π ) 和 ? 4 (t ∈ R) ,它们的交点坐标为 ? ? y = sin θ ? ?y = t ?
【解析】 (1, 解析】

.

? x = 5 cos θ 2 5) ? (0≤θ < π ) 消去参数后的普通方程为 ≤ 5 ? y = sin θ

5 ? 4 ?x = t 2 x2 2 2 + y = 1(? 5 < x ≤ 5 ,0 ≤ y ≤ 1) ,? 4 消去参数后的普通方程为 y = x 联立两个曲线的普 5 5 ?y = t ? 2 2 5 ,所以它们的交点坐标为 (1, 5 ). 所以它们的交点坐标为 通方程得 x = ?5(舍)或x = 1, 所以y = 5 5
5. (2011 年高考湖北卷理科 14) 14)如图,直角坐标系 x Oy 所在的平面为 α ,直角坐标系 x ' oy ' Oy (其中 y ' 轴与 y 轴重合)所在平面为 β , ∠xox ' = 45o (Ⅰ)已知平面内有一点 P (2 2, 2) ,则点 P ' 在平面 α 内的射影 P 的坐标为 (Ⅱ)已知平面 β 内的曲线 C ' 的方程是 ( x '? 2) 2 + 2 y '2 ? 2 = 0 ,则曲线 在平面 α 内的射影 C 的方程是 答案: (2,2) ( x ? 1)2 + y 2 = 1 解析: P 为 设 (a, b) ,因为 y 轴与 y' 轴重合, P' y 轴距离为 2 2 , 故 到 到x . ;
C'

轴距离为 2,又因为∠xox'=45°,则 b=2,a= 2 2 × sin 45o = 2, 故 P(2,2).设面β内任意一点 P(x,y) 其在 α 内射影为 P′( x′, y ′) ,由平面图形可知, x = x′ ? sin 45o , y = y ′ ,即 x′ = 2 x , y ′ = y ,故方程为
( 2 x ? 1)2 + 2 y 2 ? 2 = 0, 即 ( x ? 1)2 + y 2 ? 1 = 0 .

6.(2011 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点, x 轴的 15) 正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1 : ?

? x = 3 + cos θ (θ 为参数)和曲线 C2 : ρ = 1 上, ? y = 4 + sin θ

则 AB 的最小值为 【答案】3 【解析】 :由 ?

? x = 3 + cos θ 得圆心为 C1 (3, 4), r1 = 1 ,由 ρ = 1 得圆心为 C2 (0, 0), r1 = 1 ,由平几知识知当 ? y = 4 + sin θ

A、B 为 C1C2 连线与两圆的交点时 AB 的最小值,则 AB 的最小值为

| C1C2 | ?2 = (3 ? 0) 2 + (4 ? 0) 2 ?2 = 5 ? 2 = 3 .
7.(2011 年高考上海卷理科 5) (2011 5)在极坐标系中,直线 ρ (2 cos θ + sin θ ) = 2 与直线 ρ cos θ = 1 的夹角大小 为 【答案】 arccos 。

2 5 5

2010 年高考数学分章汇编 (选修 4-4:坐标系与参数方程) :坐标系与参数方程)
一、选择题: 选择题 1. 2010 年高考安徽卷理科 7)设曲线 C 的参数方程为 ? (

? x = 2 + 3cos θ ( θ 为参数) ,直线 l 的方程为 ? y = ?1 + 3sin θ

x ? 3 y + 2 = 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为
A、1 7.B B、2

7 10 的点的个数为 10
C、3 D、4

【解析】化曲线 C 的参数方程为普通方程: ( x ? 2) 2 + ( y + 1) 2 = 9 ,圆心 (2, ?1) 到直线 x ? 3 y + 2 = 0 的 距离 d =

| 2 ? 3 × (?1) + 2 | 7 = 10 < 3 , 直线和圆相交, 过圆心和 l 平行的直线和圆的 2 个交点符合要求, 10 10



7 10 7 10 > 3? ,在直线 l 的另外一侧没有圆上的点符合要求,所以选 B. 10 10

[来源:Z§xx§k.Com]

【方法总结】解决这类问题首先把曲线 C 的参数方程为普通方程,然后利用圆心到直线的距离判断直线与 圆的位置关系,这就是曲线 C 上到直线 l 距离为 2. (2010 年 高

7 10 7 10 7 10 ,然后再判断知 > 3? ,进而得出结论. 10 10 10
考 湖 南 卷 理 科

3) 4. 2010 年高考北京卷理科 5)极坐标方程(p-1) θ ? π )=(p ≥ 0)表示的图形是 年高考北京卷理科 ( . ( (A)两个圆 (B)两条直线 (C)一个圆和一条射线 (D)一条直线和一条射线 【答案】C 解析:原方程等价于 ρ = 1 或 θ = π ,前者是半径为 1 的圆,后者是一条射线。 5 2010 年高考上海市理科 16) 16) ( 直线 l 的参数方程是 ? ( C) (A)(1,2) (A)(1,2) 【答案】C

? x=1+2t (t ∈ R) , l 的方向向量是 d 则 ? y=2-t
(D)(1,(D)(1,-2)

可以是 【答】

(B)(2,1)

(C)(-2,1) (C)(-2,1) )(

6. (2010 年高考重庆市理科 8) 直线 y =

? x = 3 + 3 cos θ 3 ? x + 2 与圆心为 D 的圆 ? , (θ ∈ [0, 2π )) 交 3 ? y = 1 + 3 sin θ ?
4 π 3 5 π 3

于 A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 (A)

7 π 6

(B)

5 π 4

(C)

(D)

【答案】C 解析:数形结合

∠1 = α ? 30 o

∠2 = 30 o + π ? β

由圆的性质可知 ∠1 = ∠2
∴ α ? 30 o = 30 o + π ? β

故α + β =

4 π. 3

二、填空题: 填空题: 1.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 ? (2010 13) 线 χ + γ + 3 = 0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x + 1) 2 + y 2 = 2

?χ = t ( t 为参数)与 χ 轴的交点,且圆 C 与直 ?γ = 1 + t


【解析】令 y=0 得 t=-1,所以直线 ?

?χ = t ( t 为参数)与 χ 轴的交点为(-1,0) ,因为直线与圆相切, ?γ = 1 + t | ?1 + 0 + 3 | = 2 ,故圆 C 的方程为 ( x + 1) 2 + y 2 = 2 。 2

所以圆心到直线的距离等于半径,即 r =

【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。 2. 2010 年高考广东卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中, 15) ( 曲线 ρ= 2sin θ 与 p cos θ = ?1 的交点的极坐标为______. 【答案】 ( 2,

3π ) 4

【解析】由极坐标方程与普通方程的互化式 ?

? x = ρ cos θ , 知,这两条曲线的普通方程分别为 ? y = ρ sin θ

? x = ?1, ? x = ρ cos θ , 3π x 2 + y 2 = 2 y, x = ?1 .解得 ? 由? 得点(-1,1)的极坐标为 ( 2, ). 4 ? y = 1. ? y = ρ sin θ
3. 2010 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)已知圆 C 的参数方程 ? ( 15) 坐标系与参数方程选做题)

? x = cos α ( α 为参 ? y = 1 + sin α

数), 以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ = 1 ,则直线 l 与圆 C 的 交点的直角坐标为 ____________ . 【答案】 (? 1,1), (1,1)
2 【解析】由题设知,在直角坐标系下,直线 l 的方程为 y = 1 ,圆 C 的方程为 x + ( y ? 1) = 1 . 2

? x 2 + ( y ? 1)2 = 1 ? x = ?1 ? x = 1 又解方程组 ? ,得 ? 或? . y =1 ? y = 1 ?y = 1 ?
故所求交点的直角坐标为 (? 1,1), (1,1) .

2009 年
1. 2009 广东理数 13) 坐标系与参数方程选做题) ( ( 若直线 l1 : ? ( s 为参数)垂直,则 k = 13.【解析】 ? .

? x = 1 ? 2t , ? x = s, (t为参数) 与直线 l2 : ? ? y = 2 + kt. ? y = 1 ? 2 s.

k × (?2) = ?1 ,得 k = ?1 . 2

2. 2009 天津理数 13) ( 设直线 l1 的参数方程为 ?

?x = 1+ t (t 为参数) 直线 l2 的方程为 y=3x+4 则 l1 与 l2 的 , ? y = 1 + 3t

距离为_______ 【答案】5 分之 3 倍根号 10 3. (2009 安徽 12)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度
w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

单位。已知直线的极坐标方程为 θ = 点 A 和 B,则|AB|=_______.

π

? x = 1 + 2 cos α ( ρ ∈ R ) ,它与曲线 ? ( α 为参数)相交于两 4 ? y = 2 + 2 sin α

【解析】 直线的普通方程为 y = x ,曲线的普通方程 ( x ? 1) 2 + ( y ? 2) 2 = 4 ∴ | AB |= 2 2 ? (
2

|1 ? 2 | 2 ) = 14 1+1

2008 年
1. (2008 广东 13) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1,C2 的极坐标方程分别为 ρ cos θ = 3 ,

ρ = 4 cos θ ? ρ ≥ 0,≤ θ < ? ,则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为 0 2
?

? ?

π?



?ρ = 2 3 π ? ρ cos θ = 3 π 13. 解析】由 ? 【解析】 ( ρ ≥ 0, 0 ≤ θ < ) 解得 ? ? π ,即两曲线的交点为 (2 3, 6 ) 。 2 ? ρ = 4 cos θ ?θ = 6 ?
2007 1(2007 广东 13)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? . 坐标系与参数方程选做题)

?x = t + 3 ?y = 3?t


(参数 t ∈ R ) 圆 C 的参数方程为 ? , 圆心到直线 l 的距离为 【答案】 (0,2) 2 倍根号 2 .

? x = 2 cos θ (参数 θ ∈ [ 0,π ) ) 则圆 C 的圆心坐标为 2 , ? y = 2 sin θ + 2



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